Алгебраические уравнения, разрешимые в гипергеометрических функциях (Лахтин)/Глава III/ДО

Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ — Глава III. О функціяхъ Шварца
авторъ Л. К. Лахтинъ

§ 8. Линейное преобразованіе на плоскости комплекснаго перемѣннаго  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

690

§ 9. Нѣкоторыя теоремы теоріи гипергеометрическихъ функцій  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

701

§ 10. Основныя свойства функцій Шварца  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

703

§ 11. Свойства сѣти треугольниковъ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

717

§ 12. Построеніе четырехъ типовъ сѣти треугольниковъ, у которыхъ сумма внутреннихъ угловъ больше $\pi$  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

724

---

Глава III.

О функціяхъ Шварца.

Мы изучили въ прошлой главѣ важнѣйшія свойства алгебраическихъ уравненій, корнями которыхъ служатъ отношенія частныхъ интеграловъ гипергеометрическаго уравненія.

Отношенія частныхъ интеграловъ гипергеометрическаго уравненія представляютъ собою функціи весьма замѣчательныя по своимъ свойствамъ.

Функціи эти впервые были изучены Шварцемъ и получили поэтому названіе функцій Шварца.

Теорія функцій Шварца находится въ тѣсной связи съ теоріей группъ линейныхъ подстановокъ.

Въ настоящей главѣ мы займемся разсмотрѣніемъ главнѣйшихъ свойствъ функцій Шварца. Но прежде, чѣмъ приступить къ этой задачѣ, остановимся нѣсколько на свойствахъ линейнаго преобразованія на плоскости комплекснаго перемѣннаго, а затѣмъ приведемъ тѣ теоремы теоріи гипергеометрическихъ функцій, которыми намъ придется пользоваться.

§ 8. Линейное преобразованіе на плоскости комплекснаго перемѣннаго.

Припомнимъ нѣкоторыя опредѣленія и теоремы, извѣстныя изъ теоріи функцій комплекснаго перемѣннаго.

Пусть даны два комплексныхъ количества:

$z=x+iy,\ z'=x'+iy'.$

По опредѣленію Коши мы назовемъ $z'$ функціею $z$, если $x'$ и $y'$ суть функціи $x$ и $y$. Величина $z'$ представится въ такомъ видѣ:

$z'=f(x,\;y).$

‎Это самое широкое опредѣленіе функціи комплекснаго перемѣннаго.

Моногенными функціями Коши назвалъ тѣ функціи, которыя удовлетворяютъ условію:

${\frac {\partial f(x,\;y)}{\partial x}}+i{\frac {\partial f(x,\;y)}{\partial y}}.$

‎Моногенныя функціи могутъ быть представлены въ такомъ видѣ:

$z'=F(z),$

‎гдѣ $F$ есть знакъ алгебраическихъ или трансцендентныхъ операцій, совершаемыхъ надъ величиной

$z=x+iy.$

‎Пусть $z'$ есть моногенная функція. Пусть точка $z$ описываетъ нѣкоторую кривую $C$, не проходящую 1) черезъ точки, въ которыхъ производная ${\frac {dz'}{dz}}$ обращается въ 0 или $\infty$, 2) черезъ критическія точки функціи $z'$; тогда точка $z'$ тоже опишетъ нѣкоторую кривую $C'$, въ безконечно малыхъ частяхъ подобную кривой $C$.

Такая кривая $C'$ называется подобнымъ отображеніемъ кривой $C$. Если кривая $C$ проходитъ черезъ критическія точки функціи $z'$ или черезъ такія точки, гдѣ производная ${\frac {dz'}{dz}}$ обращается въ 0 или $\infty$, то въ соотвѣтствующихъ точкахъ кривой $C'$ можетъ наступить нарушеніе подобія; но мы условимся во всякомъ случаѣ называть кривую $C'$ подобнымъ отображеніемъ кривой $C$.

Если кривыя $C$ и $C'$ сомкнуты, то мы условимся называть площадь $S'$, ограничиваемую кривою $C'$, подобнымъ отображеніемъ площади $S$, ограничиваемой кривою $C$.

Способность давать подобныя отображенія присуща исключительно моногеннымъ функціямъ. Если мы убѣдимся въ томъ, что нѣкоторая функція $z'$ перемѣннаго $z$ всякую кривую $C$ преобразуетъ въ кривую $C'$, подобную ей въ безконечно малыхъ частяхъ, то мы въ правѣ сказать, что $z'$ есть мопогенная функція $z$.

Построимъ сферу радіуса 1 съ центромъ въ началѣ координатъ.

Сѣченіе этой сферы плоскостью перемѣннаго $z$ назовемъ экваторомъ сферы. Полюсъ сферы, лежащій надъ плоскостью перемѣннаго $z$, назовемъ сѣвернымъ полюсомъ, а противоположный полюсъ—южнымъ.

Станемъ проэктировать стереографически изъ южнаго полюса точки плоскости на сферу. Обозначимъ проэкцію точки $z$ на сферу буквою $Z$. Точка $Z$ есть изображеніе количества

$z=x+iy$

‎на сферѣ.

Часть плоскости, лежащую кверху отъ дѣйствительной оси будемъ называть верхнею полуплоскостью, а соотвѣтствующую ей половину сферы—верхнею полусферою. Остальную половину плоскости будемъ называть нижнею полуплоскостью, а соотвѣтствующую ей полусферу—нижнею полусферою.

Говоря объ обходахъ на плоскости, мы постоянно будемъ имѣть въ виду въ то же время и соотвѣтствующіе имъ обходы на сферѣ.

Отнесемъ сферу къ прямоугольнымъ осямъ координатъ.

Пусть двѣ оси совпадаютъ съ осями $x$ и $y$ плоскости $z$; тогда третья ось пройдетъ черезъ полюсы сферы, ее мы назовемъ осью сферы.

Обозначимъ координаты точекъ сферы буквами $\xi ,\ \eta ,\ \zeta$. Уравненіе сферы будетъ таково:

$\xi ^{2}+\eta ^{2}+\zeta ^{2}=1$

(1)

‎Не трудно убѣдиться въ томъ, что координаты $x,\ y$ точки $z$ плоскости связаны съ координатами $\xi ,\ \eta ,\ \zeta$ соотвѣтствующей ей точки $Z$ сферы такими соотношеніями:

$x={\frac {\xi }{1+\zeta }},\ y={\frac {\eta }{1+\zeta }},$

(2)

‎откуда:

$z={\frac {\xi +i\eta }{1+\zeta }};$

(3)

‎координаты же $\xi ,\ \eta ,\ \zeta$ точки $Z$ выражаются черезъ координаты $x$ и $y$ точки $z$ такимъ образомъ:

$\xi ={\frac {2x}{1+x^{2}+y^{2}}},\ \eta ={\frac {2y}{1+x^{2}+y^{2}}},\ \zeta ={\frac {1-x^{2}-y^{2}}{1+x^{2}+y^{2}}}.$

(4)

‎Возьмемъ линейную подстановку:

${\bar {z}}={\frac {\alpha z+\beta }{\gamma z+\delta }},$

(5)

‎гдѣ коэффиціенты $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma ,\ \delta$ суть постоянныя числа дѣйствительныя или мнимыя.

Подстановка (5) преобразуетъ каждую точку плоскости $z$ въ нѣкоторую другую точку ${\bar {z}}$ той же плоскости.

Преобразованіе это однозначное: каждой данной точкѣ соотвѣтствуетъ опредѣленная одна преобразованная и обратно.

Одновременно съ такимъ преобразованіемъ точекъ плоскости мы будемъ представлять себѣ и соотвѣтствующее преобразованіе точекъ сферы.

Каково бы то ни было значеніе коэффиціентовъ $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma ,\ \delta$, всегда существуетъ на плоскости перемѣннаго $z$ пара такихъ точекъ, которыя подстановкою (5) преобразуются сами въ себя. Эти точки суть корни уравненія:

$z={\frac {\alpha z+\beta }{\gamma z+\delta }},$

(6)

‎или:

$\gamma z^{2}+(\delta -\alpha )z-\beta =0.$

(7)

Если корни уравненія (7) равные, то сказанныя двѣ точки совпадаютъ.

Станемъ различать два случая:

1) корни уравненія (7) различны между собою;

2) корни уравненія (7) одинаковы.

Начнемъ съ перваго случая.

I. Пусть корни уравненія (7) различны между собою и соотвѣтственно равны:

$z_{1}$ и $z_{2}.$

‎Такъ какъ точки эти подстановкою (5) преобразуются сами въ себя, то ясно, что подстановку (5) можно представить въ такомъ видѣ:

${\frac {{\bar {z}}-z_{1}}{{\bar {z}}-z_{2}}}=k{\frac {z-z_{1}}{z-z_{2}}},$

(8)

‎гдѣ $k$ есть нѣкоторое постоянное число. Такъ какъ оно, вообще говоря, комплексное, то мы его представимъ въ нормальной формѣ:

$k=\rho e^{\theta i}.$

(9)

‎Тогда подстановка (8) приметъ такой видъ:

${\frac {{\bar {z}}-z_{1}}{{\bar {z}}-z_{2}}}=\rho e^{\theta i}{\frac {z-z_{1}}{z-z_{2}}},$

(10)

‎Будемъ называть подстановку (10) эллиптической, если $\rho =1$, гиперболической, если $\theta =0$ и локсодромической^[1], если $\rho$ отлично отъ 1, а $\theta$ отлично отъ 0.

II. Пусть корни уравненія (7) одинаковы и равны $z_{0}$.

Тогда подстановка (5) приметъ видъ:

${\frac {1}{{\bar {z}}-z_{0}}}={\frac {1}{z-z_{0}}}+A,$

(11)

‎гдѣ $A$ есть нѣкоторое постоянное число

Такую подстановку мы назовемъ параболической.

Посмотримъ, каковъ порядокъ линейной подстановки (5) въ каждомъ изъ указанныхъ четырехъ случаевъ.

Начнемъ снова съ первыхъ трехъ случаевъ.

Пусть подстановка (5) приведена къ виду:

${\frac {{\bar {z}}-z_{1}}{{\bar {z}}-z_{2}}}=\rho e^{\theta i}{\frac {z-z_{1}}{z-z_{2}}}.$

(10)

‎Введемъ такія обозначенія:

$S(z)={\frac {\alpha z+\beta }{\gamma z+\delta }},$

(12)

${\mathfrak {T}}(z)=\rho e^{\theta i}z,$

(13)

$U(z)={\frac {z-z_{1}}{z-z_{2}}}.$

(14)

‎Равенства (5) и (10) примутъ видъ:

${\bar {z}}=S(z),$

(15)

$U({\bar {z}})={\mathfrak {T}}U(z).$

(16)

‎Обозначая подстановку, обратную $U(z)$, черезъ $U^{-1}(z)$, мы находимъ изъ равенства (16):

${\bar {z}}=U^{-1}{\mathfrak {T}}U(z).$

(17)

‎Изъ равенствъ (15) и (17) слѣдуетъ:

$S(z)=U^{-1}{\mathfrak {T}}U(z),$

(18)

‎откуда:

$S=U^{-1}{\mathfrak {T}}U.$

(19)

‎Степень $n$ подстановки $S$ выразится такъ:

$S^{n}=U^{-1}{\mathfrak {T}}^{n}U.$

(20)

‎Если $m$ есть порядокъ подстановки $S$, то должно имѣть мѣсто символическое равенство:

$S^{m}=U^{-1}{\mathfrak {T}}^{m}U=1.$

(21)

‎Изъ этого равенства слѣдуетъ, что:

${\mathfrak {T}}^{m}=1.$

(22)

‎Слѣдовательно порядокъ подстановки $S$ таковъ же, какъ и подстановки ${\mathfrak {T}}$. Это и слѣдовало ожидать, потому что подстановки $S$ и ${\mathfrak {T}}$ подобны^[2] между собою.

Подстановка ${\mathfrak {T}}^{m}(z)$ такова:

${\mathfrak {T}}^{m}(z)=\rho ^{m}e^{m\theta i}z.$

(23)

‎Если

${\mathfrak {T}}^{m}=1,$

(22)

‎то:

${\mathfrak {T}}^{m}=1,$

(22')

‎или:

$\rho ^{m}e^{m\theta i}z=z,$

(24)

‎откуда:

$\rho =1,\ m\theta =2h\pi ,$

(25)

‎гдѣ $h$ цѣлое число.

Слѣдовательно подстановки гиперболическія и локсодромическія никогда не могутъ быть конечнаго порядка. Подстановки же эллиптическія только тогда будутъ конечнаго порядка, когда онѣ приводятся къ виду:

${\frac {{\bar {z}}-z_{1}}{{\bar {z}}-z_{2}}}=\rho e^{\frac {2h\pi i}{m}}{\frac {z-z_{1}}{z-z_{2}}},$

(26)

‎гдѣ $m$ и $h$ взаимно простыя цѣлыя числа.

Порядокъ подстановки (26) равенъ $m$.

Въ частномъ случаѣ, когда

$z_{2}=\infty ,\ z_{1}=0.$

‎подстановка (26) приметъ такой видъ:

${\bar {z}}=e^{\frac {2h\pi i}{m}}z.$

(27)

‎Это—эллиптическая подстановка въ нормальномъ видѣ.

Для параболической подстановки мы можемъ повторить почти дословно тѣ же разсужденія.

Положивъ:

$S(z)={\frac {\alpha z+\beta }{\gamma z+\delta }},$

(12)

${\mathfrak {T}}(z)=z+A,$

(28)

$U(z)={\frac {1}{z-z_{0}}},$

(29)

‎и принявъ во вниманіе равенства (5) и (11), мы приведемъ параболическую подстановку $S(z)$ къ такому виду:

$S(z)=U^{-1}{\mathfrak {T}}U(z),$

(30)

‎откуда:

$S=U^{-1}{\mathfrak {T}}U;$

(31)

‎далѣе:

$S^{n}=U^{-1}{\mathfrak {T}}^{n}U.$

(32)

‎Условіе:

$S^{m}=1$

(33)

‎приводитъ къ такому условію:

${\mathfrak {T}}^{m}=1.$

(34)

‎Такъ какъ:

${\mathfrak {T}}(z)^{m}=z+mA,$

(35)

‎то изъ равенства (34) слѣдуетъ:

$z+mA=z.$

(36)

Это равенство показываетъ что порядокъ параболической линейной подстановки не можетъ быть числомъ конечнымъ.

Такъ какъ въ послѣдующемъ намъ придется имѣть дѣло съ конечными группами линейныхъ подстановокъ, то всѣ подстановки, входящія въ составъ этихъ группъ, должны быть конечнаго порядка. Всѣ эти подстановки будутъ эллиптическія вида (26).

Вернемся къ геометрическимъ представленіямъ на сферѣ.

Повернемъ сферу около нѣкоторой оси, проходящей черезъ ея центръ на нѣкоторый уголъ $\theta$.

Такому повороту сферы соотвѣтствуетъ нѣкоторое преобразованіе ея точекъ: каждой данной точкѣ $Z$ сферы соотвѣтствуетъ нѣкоторая преобразованная точка ${\bar {Z}}$, и обратно.

Одновременно съ точками сферы и точки плоскости тоже преобразуются: каждой данной точкѣ $z$ плоскости соотвѣтствуетъ единственная преобразованная точка ${\bar {z}}$, и обратно.

Ясно, что ${\bar {z}}$ есть функція $z$. Докажемъ, что она будетъ моногенная функція $z$.

Пусть точка $z$ опишетъ нѣкоторую произвольную кривую $c$ на плоскости. Точка $Z$ въ то же время опишетъ на сферѣ нѣкоторую кривую $C$, подобную въ безконечно малыхъ частяхъ кривой $c$: дѣйствительно, кривая $c$ есть стереографическая проэкція кривой $C$, а въ стереографической проэкціи подобіе безконечно малыхъ частей сохраняется. Въ то же самое время точка ${\bar {Z}}$ опишетъ кривую ${\bar {C}}$, разнящуюся отъ $C$ лишь положеніемъ на сферѣ: кривая $C$ повернулась вмѣстѣ со сферою и заняла новое положеніе ${\bar {C}}$. Ясно, что ${\bar {C}}$ не только подобна, но и равна C. Наконецъ, точка ${\bar {z}}$ опишетъ кривую ${\bar {c}}$, служащую стереографической проэкціей кривой ${\bar {C}}$ и, слѣдовательно, подобную кривой ${\bar {C}}$.

Если такъ, то кривыя ${\bar {c}}$ и $c$ подобны между собою въ безконечно малыхъ частяхъ. Поэтому ${\bar {z}}$ есть моногенная функція $z$:

${\bar {z}}=F(z).$

Не трудно усмотрѣть, какова эта функція.

Мы видѣли, что каждой точкѣ $z$ соотвѣтствуетъ единственная точка ${\bar {z}}$ и обратно: каждой точкѣ ${\bar {z}}$ соотвѣтствуетъ единственная точка $z$. Это значитъ, что функція $F(z)$ линейная:

${\bar {z}}={\frac {\alpha z+\beta }{\gamma z+\delta }}.$

(5)

‎Слѣдовательно, каждому повороту сферы около оси, проходящей черезъ ея центръ, соотвѣтствуетъ линейное преобразованіе плоскости.

Если уголъ поворота сферы равенъ

${\frac {2h\pi }{m}},$

‎гдѣ $h$ и $m$ взаимно простыя цѣлыя числа, то соотвѣтствующая ему подстановка (5) должна быть $m$-го порядка, потому что послѣ $m$ такихъ поворотовъ сфера впервые приходить въ свое первоначальное положеніе. Отсюда слѣдуетъ, что линейная подстановка, соотвѣтствующая повороту сферы—эллиптическая.

Она должна приводиться къ виду:

${\frac {{\bar {z}}-z_{1}}{{\bar {z}}-z_{2}}}=e^{\theta i}{\frac {z-z_{1}}{z-z_{2}}}.$

(37)

‎Ясно, что $z_{1}$ и $z_{2}$ суть точки плоскости, соотвѣтствующія полюсамъ $Z_{1}$ и $Z_{2}$ той оси, около которой была повернута сфера.

Пусть координаты точки $Z_{1}$ таковы:

$\xi _{1},\ \eta _{1},\ \zeta _{1}.$

‎Тогда координаты точки $Z_{2}$ будутъ:

$-\xi _{1},\ -\eta _{1},\ -\zeta _{1}.$

‎Величины $z_{1}$ и $z_{2}$ выразятся такъ:

$z_{1}={\frac {\xi _{1}+i\eta _{1}}{\zeta _{1}+1}},\ z_{2}={\frac {\xi _{1}+i\eta _{1}}{\zeta _{1}-1}}.$

(38)

Уголъ $\theta$, входящій въ формулу (37), какъ не трудно видѣть, равенъ углу, на который повернута сфера.

Введемъ такія обозначенія:

$\xi _{1}sin{\frac {\theta }{2}}=a,\ \eta _{1}sin{\frac {\theta }{2}}=b,\ \zeta _{1}sin{\frac {\theta }{2}}=c,\ cos{\frac {\theta }{2}}=d.$

(39)

‎Изъ уравненія сферы:

$\xi ^{2}+\eta ^{2}+\zeta ^{2}=1$

(1)

‎слѣдуетъ, что:

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=1.$

(40)

‎Подставимъ выраженія (38) величинъ $z_{1},\ z_{2}$ въ уравненіе (37) и рѣшимъ это уравненіе относительно ${\bar {z}}$, принимая при этомъ во вниманіе равенства (39) и (40). Въ результатѣ получимъ:

${\bar {z}}=-{\frac {(d+ic)z+(b-ia)}{(b+ia)z-(d-ic)}}.$

(41)

‎Формула (41) есть выраженіе эллиптической линейной подстановки, соотвѣтствующей повороту сферы на уголъ $\theta$ около оси, имѣющей полюсами:

$\xi _{1},\ \eta _{1},\ \zeta _{1}$ и $-\xi _{1},\ -\eta _{1},\ -\zeta _{1}.$

‎Обратимся теперь къ подобнымъ отображеніямъ, даваемымъ линейною подстановкою:

${\bar {z}}={\frac {\alpha z+\beta }{\gamma z+\delta }}.$

(5)

‎Функція (5) критическихъ точекъ не имѣетъ вовсе; производная:

${\frac {d{\bar {z}}}{dz}}={\frac {\alpha \delta -\beta \gamma }{(\gamma z+\delta )^{2}}}$

(42)

‎обращается въ 0 при $z=\infty$, а въ безконечность—одновременно съ ${\bar {z}}$.

Поэтому отображеніе, получаемое помощью этой функціи, всюду въ безконечно малыхъ частяхъ подобно отображаемой кривой.

Изъ курсовъ теоріи функцій комплекснаго перемѣннаго извѣстно, что если точка $z$ движется по кругу (или по прямой)^[3], то и точка ${\bar {z}}$, опредѣляемая формулою (5) движется по кругу (или по прямой).

Черт. 1Возьмемъ на плоскости перемѣннаго $z$ кругъ произвольнаго радіуса $R$ съ центромъ въ нѣкоторой точкѣ $C$ (черт. 1) и двѣ точки: $A$ и $B$ на прямой $CB$, расположенныя такъ, что:

$CA\,.CB=R^{2}.$

(43)

‎Такія двѣ точки называются симметричными относительно круга. Одна изъ нихъ называется зеркальнымъ изображеніемъ другой относительно даннаго круга.

Построимъ отображеніе круга $C$ и точекъ $A$ и $B$ при посредствѣ линейнаго преобразованія (5). Кругъ $C$ преобразуется въ нѣкоторый новый кругъ $C'$, точки $A$ и $B$ въ $A'$ и $B'$. Важно то, что точки $A'$ и $B'$ будутъ симметричны относительно круга $C'$. Мы можемъ это выразить словами: линейное преобразованіе не нарушаетъ симметріи.

Если радіусъ круга обращается въ безконечность, то окружность обращается въ прямую и тогда симметричными будутъ такія двѣ точки, которыя лежатъ на одномъ перпендикулярѣ къ прямой въ равномъ разстояніи отъ нея. Это симметрія въ самомъ элементарномъ смыслѣ слова.

§ 9. Нѣкоторыя теоремы теоріи гипергеометрическихъ функцій^[4].

Приведемъ теперь нѣкоторыя теоремы теоріи гипергеометрическихъ функцій, которыми намъ скоро придется пользоваться.

Гипергеометрическимъ уравненіемъ называется уравненіе:

$z(1-z){\frac {d^{2}u}{dz^{2}}}+[\gamma -(\alpha +\beta +1)z]{\frac {du}{dz}}-\alpha \beta u=0.$

(44)

‎Одинъ изъ частныхъ интеграловъ этого уравненія въ области точки 0 разлагается въ такой рядъ:

$F(\alpha ,\;\beta ,\;\gamma ,\;z)=1+{\frac {\alpha \beta }{1\,.\gamma }}z+{\frac {\alpha (\alpha +1)\beta (\beta +1)}{1\,.\,2\,.\gamma (\gamma +1)}}z^{2}+\ldots ,$

(45)

‎называемый гипергеометрическимъ рядомъ.

Ясно, что функція, изображаемая рядомъ (45), существуетъ и за предѣлами сходимости этого ряда; но тамъ она выражается иначе.

Въ рядѣ (45) коэффиціенты $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma$ могутъ быть какія угодно количества дѣйствительныя или мнимыя, лишь бы $\gamma$ не было цѣлымъ отрицательнымъ числомъ; но въ нашей работѣ мы будемъ считать ихъ дѣйствительными.

Въ такомъ случаѣ при дѣйствительномъ $z$ величина функціи $F(\alpha ,\;\beta ,\;\gamma ,\;z)$ будетъ непремѣнно дѣйствительная.

Кругомъ сходимости ряда (45) служитъ кругъ, описанный изъ начала координатъ радіусомъ, равнымъ 1.

Критическими точками интеграловъ уравненія (44) служатъ: 0, 1, $\infty$.

Черт. 2Выдѣлимъ на плоскости $z$ слѣдующія области:

1) Область, лежащая внутри круга, описаннаго изъ начала координатъ радіусомъ равнымъ 1 (черт. 2).

2) Область, лежащая внутри круга, описаннаго изъ точки $+1$ радіусомъ равнымъ 1.

3) Область, лежащая внѣ круга, описаннаго изъ начала координатъ радіусомъ равнымъ 1.

Для краткости мы будемъ ихъ называть такъ: область I, область II, область III.

Изъ чертежа 2 видно, что эти области заходятъ другъ за друга. Въ каждой изъ указанныхъ областей существуетъ по два частныхъ интеграла, весьма просто выражающихся при помощи гипергеометрическихъ рядовъ.

Интегралы эти суть слѣдующіе:

Въ области I:

$\left.{\begin{array}{l}y_{1}=F(\alpha ,\;\beta ,\;\gamma ,\;z)\ldots \ {\text{однозначный въ области I.}}\\y_{2}=z^{1-\gamma }F(\alpha -\gamma +1,\;\beta -\gamma +1,\;2-\gamma ,\;z)\ldots \ {\text{неоднознач-}}\\\quad \quad \quad \quad \quad {\text{ный въ области I.}}\end{array}}\right\}$

(46)

‎Въ области II:

$\left.{\begin{array}{l}y_{3}=F(\alpha ,\;\beta ,\;\alpha +\beta -\gamma +1,\;1-z)\ldots \ {\text{однозначный въ об-}}\\\quad \quad \quad \quad \quad {\text{ласти II.}}\\y_{4}=(1-z)^{\gamma -\alpha -\beta }F(\gamma -\beta ,\;\gamma -\alpha ,\gamma -\alpha -\beta +1,\;1-z)\ldots \ \\\quad \quad \quad \quad \quad \ldots \ {\text{неоднозначный въ области II.}}\end{array}}\right\}$

(47)

‎Въ области III:

${\begin{matrix}\left.{\begin{array}{l}y_{5}=z^{-\alpha }F\left(\alpha ,\;\alpha -\gamma +1,\;\alpha -\beta +1,\;{\dfrac {1}{z}}\right)\\y_{6}=z^{-\beta }F\left(\beta ,\;\beta -\gamma +1,\;\beta -\alpha +1,\;{\dfrac {1}{z}}\right)\end{array}}\right\}&{\begin{matrix}{\text{неоднозначные въ}}\\{\text{области III.}}\end{matrix}}\end{matrix}}$

(48)

‎Написанные ряды сходятся въ соотвѣтствующихъ областяхъ.

§ 10. Основныя свойства функцій Шварца.

Въ главѣ II мы видѣли, что всякое (не двучленное) алгебраическое уравненіе, имѣющее группу линейныхъ подстановокъ, измѣненіемъ независимаго перемѣннаго приводится къ уравненію (54) главы II и въ такомъ случаѣ корни его могутъ быть выражены въ видѣ отношеній частныхъ интеграловъ гипергеометрическаго уравненія.

Будемъ предполагать, что преобразованіе перемѣннаго совершено и будемъ снова обозначать независимое перемѣнное буквою $z$.

Въ такомъ случаѣ мы имѣемъ уравненіе:

$H^{\lambda _{1}}(u):c'T^{\lambda _{2}}(u):cf^{\lambda }(u)=z:z-1:1,$

(49)

‎корни котораго суть отношеніи частныхъ интеграловъ гипергеометрическаго уравненія (44) и удовлетворяютъ дифференціальному уравненію:

$[u]_{z}={\frac {1-{\dfrac {1}{\lambda _{1}^{2}}}}{2z^{2}}}+{\frac {1-{\dfrac {1}{\lambda _{2}^{2}}}}{2(z-1)^{2}}}+{\dfrac {{\dfrac {1}{\lambda _{1}^{2}}}+{\dfrac {1}{\lambda _{2}^{2}}}-{\dfrac {1}{\lambda ^{2}}}-1}{2z(z-1)}},$

(50)

‎при чемъ:

$\left.{\begin{array}{l}\alpha ={\dfrac {1}{2}}\left(1-{\dfrac {1}{\lambda _{1}}}-{\dfrac {1}{\lambda _{2}}}+{\dfrac {1}{\lambda }}\right),\\\beta ={\dfrac {1}{2}}\left(1-{\dfrac {1}{\lambda _{1}}}-{\dfrac {1}{\lambda _{2}}}-{\dfrac {1}{\lambda }}\right),\\\gamma =1-{\dfrac {1}{\lambda _{1}}},\end{array}}\right\}$

(51)

‎а числовыя величины $\lambda ,\ \lambda _{1},\ \lambda _{2}$ опредѣляются изъ таблицы (50) главы II.

Займемся изученіемъ свойствъ интеграла уравненія (50), считая числа $\lambda ,\ \lambda _{1},\ \lambda _{2}$ цѣлыми и положительными, но не давая имъ непремѣнно значенія, приведенныя въ таблицѣ (50) главы II. Въ такомъ случаѣ частные интегралы уравненія (50) могутъ быть и трансцендентными функціями.

Слѣдуя Шварцу^[5] мы обозначимъ одинъ какой нибудь частный интегралъ уравненія (50) слѣдующимъ образомъ:

$u=s\left({\frac {1}{\lambda _{1}}},\;{\frac {1}{\lambda }},\;{\frac {1}{\lambda _{2}}},\;z\right),$

(52)

‎или короче:

$u=s(z).$

(53)

‎Остальные частные интегралы уравненія (50) суть линейныя функціи $u$, какъ мы знаемъ изъ теоремы 5 главы II.

Изъ теоремы 11 главы II видно, что функція $s(z)$ есть отношеніе частныхъ интеграловъ гипергеометрическаго уравненія (44), при чемъ коэффиціенты $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma$ этого уравненія опредѣляются формулами (51).

Отсюда слѣдуетъ, что свойства функціи $s(z)$ тѣсно связаны со свойствами гипергеометрическихъ функцій.

Теорема 1. Функція $s(z)$ многозначна и всѣ значенія ея связаны между собою линейно.

Это слѣдуетъ изъ того, что интегралъ уравненія (50)—функція многозначная и общій интегралъ этого уравненія выражается черезъ любой частный интегралъ линейно. Слѣдовательно послѣ обхода около критической точки функція

$u=s(z)$

(53)

‎перейдетъ въ

${\bar {u}}={\bar {s}}(z),$

(54)

‎при чемъ:

${\bar {u}}={\frac {au+b}{cu+d}},$

(55)

‎гдѣ $a,\ b,\ c,\ d$—нѣкоторыя постоянныя числа. Линейныя подстановки, соотвѣтствующія всевозможнымъ обходамъ около критическихъ точекъ, образуютъ группу. Эта группа—безконечнаго порядка, если число значеній функціи $s(z)$ безконечно велико. Если же число значеній функціи $s(z)$ конечно, то порядокъ группы будетъ, понятно, конеченъ, и въ этомъ случаѣ, какъ мы увидимъ, функція $s(z)$ будетъ, необходимо, алгебраическою.

Теорема 2. Функція $s(z)$ имѣетъ три критическія точки: 0, 1, $\infty$.

Это слѣдуетъ изъ того, что $s(z)$ есть отношеніе двухъ частныхъ интеграловъ гипергеометрическаго уравненія, а они имѣютъ лишь три критическія точки: 0, 1, $\infty$.

Теорема 3. Подобное отображеніе верхней полуплоскости при посредствѣ функціи:

$u=s(z)$

(53)

‎есть треугольникъ, образованный дугами круговъ и имѣющій углы соотвѣтственно равные:

${\frac {\pi }{\lambda }},\;{\frac {\pi }{\lambda _{1}}},\;{\frac {\pi }{\lambda _{2}}}.$

‎Выберемъ въ каждой изъ областей, указанныхъ въ § 9 по одному частному интегралу уравненія (50):

Въ области I:

$U={\frac {y_{2}}{y_{1}}}=z^{1-\gamma }{\frac {F(\alpha -\gamma +1,\;\beta -\gamma +1,\;2-\gamma ,\;z)}{F(\alpha ,\;\beta ,\;\gamma ,\;z)}},$

(56)

‎въ области II:

$V={\frac {y_{4}}{y_{3}}}=(1-z)^{\gamma -\alpha -\beta }{\frac {F(\gamma -\beta ,\;\gamma -\alpha ,\gamma -\alpha -\beta +1,\;1-z)}{F(\alpha ,\;\beta ,\;\alpha +\beta -\gamma +1,\;1-z)}},$

(57)

‎въ области III:

$W={\frac {y_{6}}{y_{5}}}=z^{\alpha -\beta }{\frac {F\left(\beta ,\;\beta -\gamma +1,\;\beta -\alpha +1,\;{\dfrac {1}{z}}\right)}{F\left(\alpha ,\;\alpha -\gamma +1,\;\alpha -\beta +1,\;{\dfrac {1}{z}}\right)}}.$

(58)

‎Интегралы $U,\ V,\ W$ будутъ существовать, понятно, и за предѣлами указанныхъ областей, но выраженія ихъ будутъ за этими предѣлами иныя, потому что ряды, стоящіе во вторыхъ частяхъ равенствъ (56), (57), (58) за предѣлами соотвѣтствующихъ областей станутъ расходящимися.

Функція $s(z)$ выражается линейно черезъ всѣ три частныхъ интеграла:

$u=s(z)={\frac {a_{1}U+b_{1}}{c_{1}U+d_{1}}}={\frac {a_{2}V+b_{2}}{c_{2}V+d_{2}}}={\frac {a_{3}W+b_{3}}{c_{3}W+d_{3}}}.$

(59)

Черт. 3‎Будемъ точку $z$ двигать по дѣйствительной оси справа влѣво. Пусть она выходитъ изъ точки $a$ (черт. 3), лежащей на оси $x$ въ области I и идетъ по оси $x$ влѣво. Уйдя въ $-\infty$ и двигаясь дальше, она появляется на оси $x$ съ правой стороны и идетъ опять влѣво, пока снова не придетъ въ $a$. Пусть при этомъ движеніи точка $z$ огибаетъ критическія точки 0, 1 и $\infty$ по безконечно малымъ полукругамъ, лежащимъ въ верхней полуплоскости (верхней полусферѣ). Ясно, что путь, описанный точкой $z$ сомкнутый: она обогнула въ обратномъ направленіи верхнюю полуплоскость. Такъ какъ всѣ критическія точки функціи $s(z)$ остались внѣ той площади, которую обогнула точка $z$, то кривая, описанная при этомъ движеніи точкою $u$, есть кривая сомкнутая.

Площадь, заключенная внутри этой кривой есть подобное отображеніе верхней полуплоскости при посредствѣ функціи $s(z)$.

Посмотримъ, каковъ видъ этого подобнаго отображенія.

Пока точка $z$ движется отъ $a$ къ 0, функція $U$ остается дѣйствительною, точка $U$ движется прямолинейно по дѣйствительной оси. Точка $u$, связанная съ $U$ линейною зависимостью (59), описываетъ нѣкоторую дугу круга $u_{a}\ u_{0}$ (черт. 4). Когда точка $z$ обогнетъ точку 0 по безконечно малому полукругу, то функція $U$ перейдетъ въ:

${\bar {U}}=e^{(1-\gamma )\pi i}U,$

Черт. 4‎какъ видно изъ формулы (56). При дальнѣйшемъ движеніи точки $z$ отъ 0 къ $-\infty$ точка $U$ пойдетъ по прямой, наклоненной къ оси $x$ подъ угломъ $(1-\gamma )\pi$, точка же $u$, повернувъ въ $u_{0}$ подъ такимъ же угломъ къ своему прежнему пути, пойдетъ по новой дугѣ круга $u_{0}\ u_{\infty }$. Это движеніе будетъ продолжаться до тѣхъ поръ, пока точка $z$ не дойдетъ до $\infty$.

Совершенно такими же разсужденіями мы убѣдимся въ томъ, что когда точка $z$, обогнувъ точку $z=\infty$ по безконечно малому полукругу, будетъ двигаться къ $+1$, точка $u$, повернувъ въ $u_{\infty }$ подъ угломъ $(\alpha -\beta )\pi$ къ прежнему пути, пойдетъ по дугѣ круга $u_{\infty }\ u_{1}$.

Наконецъ, когда точка $z$ обогнувъ точку 1 по безконечно малому полукругу, станетъ приближаться къ точкѣ своего выхода $a$, точка $u$, повернувъ въ $u_{1}$ подъ угломъ $(\gamma -\alpha -\beta )\pi$ къ своему прежнему пути, снова вступитъ на дугу круга $u_{1}\ u_{a}\ u_{0}$ и станетъ приближаться къ точкѣ $u_{a}$.

Итакъ, подобное отображеніе верхней полуплоскости помощью функціи $s(z)$ есть треугольникъ $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$, образованный дугами круговъ.

Углы этого треугольника суть:

$(1-\gamma )\pi ,\ (\gamma -\alpha -\beta )\pi ,\ (\alpha -\beta )\pi ,$

(60)

‎или, на основаніи формулъ (51):

${\frac {\pi }{\lambda _{1}}},\;{\frac {\pi }{\lambda _{2}}},\;{\frac {\pi }{\lambda }}.$

(61)

‎Необходимо замѣтить, что приведенный нами чертежъ 4 сдѣланъ въ предположеніи:

1) что углы треугольника $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$ всѣ меньше $\pi$,

2) что дуги круговъ, ограничивающія треугольникъ $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$, содержатъ въ себѣ менѣе 360°.

Докажемъ, что такой видъ треугольника дѣйствительно соотвѣтствуетъ условіямъ рѣшаемой нами задачи.

Что касается до угловъ треугольника, то они опредѣляются формулами (61), гдѣ $\lambda _{1},\ \lambda _{2},\ \lambda$ суть цѣлыя числа. Ясно, что они меньше $\pi$.

Докажемъ теперь, что ни одна изъ сторонъ треугольника $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$ не можетъ содержать въ себѣ 360° или больше.

Допустимъ, что въ дугѣ $u_{0}\ u_{1}$ больше 360°; пусть она равна:

$k\,.\,360^{\circ }+\psi ^{\circ },$

‎гдѣ $\psi ^{\circ }<360^{\circ }$, а $k$ цѣлое положительное число.

Это значитъ, что пока точка $z$ проходитъ по дѣйствительной оси отрѣзокъ 01, точка $u$ описываетъ $k$ полныхъ окружностей и еще дугу въ $\psi ^{\circ }$.

Посмотримъ, какой путь въ то же время проходитъ точка:

$U={\frac {y_{2}}{y_{1}}}=z^{1-\gamma }{\frac {F(\alpha -\gamma +1,\;\beta -\gamma +1,\;2-\gamma ,\;z)}{F(\alpha ,\;\beta ,\;\gamma ,\;z)}}.$

(56)

‎Она связана съ точкою $u$ соотношеніемъ:

$u={\frac {a_{1}U+b_{1}}{c_{1}U+d_{1}}},$

(59')

‎откуда:

$U={\frac {d_{1}u-b_{1}}{a_{1}-c_{1}u}}.$

(62)

‎Мы видѣли выше, что пока точка $z$ движется по отрѣзку 01 дѣйствительной оси, точка $U$ движется по дѣйствительной оси, а точка $u$ описываетъ дугу $u_{0}\ u_{1}$. Слѣдовательно линейная подстановка (62) преобразуетъ точки дуги $u_{0}\ u_{1}$ въ точки дѣйствительной оси. Всякій разъ, когда точка $u_{1}$, двигаясь по дугѣ $u_{0}\ u_{1}$, описываетъ полную окружность, точка $U$ пробѣгаетъ всю дѣйствительную ось.

‎Мы предположили, что дуга $u_{0}\ u_{1}$ равна:

$k\,.\,360^{\circ }+\psi ^{\circ }.$

Если такъ, то пока точка $z$ опишетъ отрѣзокъ 01, точка $U$ должна пройти $k$ разъ всю дѣйствительную ось и еще нѣкоторый конечный отрѣзокъ ея. При такомъ измѣненіи функція $U$ должна $k$ разъ пройти черезъ безконечность. Обращаясь къ формулѣ (56), мы видимъ, что функція $U$ при $z$ дѣйствительномъ и лежащемъ между 0 и 1 только въ томъ случаѣ можетъ обратиться въ $\infty$, если рядъ

$F(\alpha ,\;\beta ,\;\gamma ,\;z)$

‎при этомъ значеніи $z$ равенъ 0. Между тѣмъ весьма простыми соображеніями мы убѣждаемся въ томъ, что при $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma$ удовлетворяющихъ условіямъ (51), функція

$F(\alpha ,\;\beta ,\;\gamma ,\;z)$

‎существенно положительна и отлична отъ 0 для всѣхъ значеній $z$, лежащихъ между 0 и 1^[6].

Такое противорѣчіе произошло отъ сдѣланнаго нами допущенія, что дуга $u_{0}\ u_{1}$ содержитъ въ себѣ болѣе 360°.

То же самое справедливо по отношенію къ двумъ другимъ сторонамъ треугольника $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$^[7].

Теорема 4. Подобное отображеніе нижней полуплоскости при помощи функціи $s(z)$ есть треугольникъ, смежный съ $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$ и симметричный съ нимъ относительно ихъ общей стороны.

Пусть точка $a$ перешла изъ верхней полуплоскости въ нижнюю черезъ отрѣзокъ оси $x$, лежащій между 0 и 1. Точка $u$ выйдетъ изъ треугольника $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$ черезъ сторону $u_{0}\ u_{1}$, и, пока точка $z$ будетъ оставаться въ нижней полуплоскости, точка $u$ будетъ оставаться внѣ треугольника $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$. Чтобы найти подобное отображеніе всей нижней полуплоскости, мы заставимъ точку $z$ пройти всю ось $x$ справа влѣво, обходя критическія точки 0, 1, $\infty$ по безконечно малымъ полукругамъ, лежащимъ въ нижней полуплоскости.

Черт. 5Повторяя разсужденія, приведенныя выше, мы найдемъ, что отображеніе нижней полуплоскости есть треугольникъ $u_{0}\ u_{1}\ {\bar {u}}_{\infty }$ (черт. 5), имѣющій съ треугольникомъ $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$ общую сторону $u_{0}\ u_{1}$ и такіе же углы какъ и треугольникъ $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$. Остается доказать, что треугольники: $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$ и $u_{0}\ u_{1}\ {\bar {u}}_{\infty }$ симметричны относительно дуги $u_{0}\ u_{1}$.

Возьмемъ два пути на плоскости перемѣннаго $z$:

1) пусть $z$ идетъ по оси $x$ отъ 1 къ 0, обходитъ 0 по безконечно малому полукругу, лежащему въ верхней полуплоскости и идетъ по оси $x$ къ $-1$;

Черт. 62) пусть $z$ идетъ по оси $x$ отъ 1 къ 0, обходитъ 0 по безконечно малому полукругу, лежащему въ нижней полуплоскости и идетъ по оси $x$ къ $-1$.

Изъ формулы (56) видно, что при посредствѣ функціи $U$ первый путь отобразится ломанной $U_{0}\ U_{1}\ U_{-1}$ (черт. 6), а второй путь—ломанной $U_{0}\ U_{1}\ {\bar {U}}_{-1}$. Прямыя $U_{0}\ U_{-1}$ и $U_{0}\ {\bar {U}}_{-1}$ симметричны относительно дѣйствительной оси.

Такъ какъ функціи $u$ и $U$ связаны между собою линейною зависимостью:

$u={\frac {a_{1}U+b_{1}}{c_{1}U+d_{1}}},$

(59')

‎то послѣ этого линейнаго преобразованія прямая $U_{1}\ U_{0}$ перейдетъ въ дугу $u_{1}\ u_{0}$, а прямыя $U_{0}\ U_{-1}$ и $U_{0}\ {\bar {U}}_{-1}$ перейдутъ въ дуги круговъ, направленныя по $u_{0}\ u_{\infty }$ и $u_{0}\ {\bar {u}}_{\infty }$. Линейное преобразованіе, какъ мы знаемъ, не нарушаетъ симметріи; поэтому дуги $u_{0}\ u_{\infty }$ и $u_{0}\ {\bar {u}}_{\infty }$ будутъ симметричны относительно дуги $u_{0}\ u_{1}$.

Такимъ же образомъ докажемъ, что дуги $u_{1}\ u_{\infty }$ и $u_{1}\ {\bar {u}}_{\infty }$ симметричны относительно дуги $u_{0}\ u_{1}$.

Теорема доказана.

Треугольникъ, симметричный съ даннымъ относительно одной изъ сторонъ его, мы можемъ построить средствами элементарной геометріи.

Если бы точка $z$ перешла изъ верхней полуплоскости въ нижнюю черезъ одинъ изъ отрѣзковъ: $0\ \infty$ или $\infty \ 1$, то точка $u$ вышла бы изъ треугольника $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$ черезъ сторону $u_{0}\ u_{\infty }$ или $u_{\infty }\ u_{1}$ и тогда нижняя полуплоскость отобразилась бы треугольникомъ симметричнымъ съ $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$ относительно стороны $u_{0}\ u_{\infty }$ или $u_{\infty }\ u_{1}$.

Пусть точка $z$ двигалась сначала въ верхней полуплоскости, затѣмъ перешла въ нижнюю черезъ отрѣзокъ 01, описала какую-либо кривую и снова вернулась въ верхнюю полуплоскость черезъ отрѣзокъ $1\ \infty$. Посмотримъ, какой путь описала въ то же время точка $u$. Путь этотъ будетъ, необходимо, разомкнутый, потому что точка $z$ совершила обходъ около критической точки $+1$.

Сначала точка $u$ вышла изъ треугольника $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$ черезъ сторону его $u_{0}\ u_{1}$ въ треугольникъ $u_{0}\ u_{1}\ {\bar {u}}_{\infty }$, а затѣмъ, совершивъ нѣкоторый путь внутри этого треугольника, она вышла изъ него черезъ сторону $u_{1}\ {\bar {u}}_{\infty }$.

Если мы заставимъ точку $z$ послѣ сдѣланнаго обхода обогнуть верхнюю полуплоскость, то разсужденіями, подобными приведеннымъ въ теоремахъ 3 и 4, убѣдимся въ томъ, что точка $u$ опишетъ контуръ треугольника ${\bar {u}}_{0}\ u_{1}\ {\bar {u}}_{\infty }$ (черт. 5), симметричнаго съ треугольникомъ $u_{0}\ u_{1}\ {\bar {u}}_{\infty }$ относительно общей стороны $u_{1}\ {\bar {u}}_{\infty }$.

Треугольникъ ${\bar {u}}_{0}\ u_{1}\ {\bar {u}}_{\infty }$ будетъ служить подобнымъ отображеніемъ верхней полуплоскости при помощи другаго значенія:

${\bar {u}}={\bar {s}}(z)$

‎функціи $u=s(z)$, которое она пріобрѣла послѣ обхода около критической точки $+1$.

На основаніи теоремы 1 функція ${\bar {u}}={\bar {s}}(z)$ выражается черезъ $u=s(z)$ линейно:

$u={\frac {au+b}{cu+d}}.$

(55)

‎Треугольникъ ${\bar {u}}_{0}\ u_{1}\ {\bar {u}}_{\infty }$ можетъ быть полученъ изъ треугольника $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$ линейнымъ преобразованіемъ (55).

Условимся называть эквивалентными всякія двѣ фигуры, которыя могутъ быть получены одна изъ другой линейнымъ преобразованіемъ. Въ такомъ случаѣ труегольники $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$ и ${\bar {u}}_{0}\ u_{1}\ {\bar {u}}_{\infty }$ между собою эквивалентны.

Построимъ на плоскости сѣть^[8] треугольниковъ слѣдующимъ образомъ: возьмемъ треугольникъ $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$; на всѣхъ сторонахъ его построимъ треугольники, съ нимъ симметричные; на всѣхъ сторонахъ каждаго изъ построенныхъ треугольниковъ строимъ треугольники, симметричные съ ними относительно общей стороны, и т. д., пока будетъ возможно продолжать эти построенія. Такимъ образомъ мы или всю плоскость или нѣкоторую часть ея покроемъ сѣтью треугольниковъ.

Треугольники эти будутъ плотно прилегать другъ къ другу и нигдѣ не будутъ находить другъ на друга.

Въ самомъ дѣлѣ, всякіе два рядомъ лежащіе треугольника суть смежные: между ними незанятой части плоскости не остается; если же около какой-нибудь точки треугольники сходятся своими вершинами, то сумма угловъ, сходящихся около этой точки какъ разъ равна $2\pi$, потому что углы эти равны одной изъ величинъ: ${\frac {\pi }{\lambda }},\;{\frac {\pi }{\lambda _{1}}},\;{\frac {\pi }{\lambda _{2}}}$, гдѣ $\lambda ,\ \lambda _{1},\ \lambda _{2}$ суть числа цѣлыя и положительныя.

Отсюда видно, что если около какой либо точки треугольники сходятся своими вершинами, то число этихъ треугольниковъ четное; оно равно одному изъ чиселъ: $2\lambda ,\ 2\lambda _{1},\ 2\lambda _{2}$. Слѣдуя Клейну поступимъ такъ: первый треугольникъ $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$ оставимъ бѣлаго цвѣта; всѣ смежные съ нимъ затушуемъ; всѣ треугольники, смежные съ этими черными, оставимъ бѣлаго цвѣта, а всѣ смежные съ бѣлыми затушуемъ и т. д. Тогда всякій бѣлый треугольникъ будетъ окруженъ черными, и обратно. Если около какой либо точки нѣсколько треугольниковъ сходятся своими вершинами, то половина ихъ будетъ бѣлаго цвѣта, а другая половина чернаго цвѣта. Изъ сказаннаго выше ясно, что всѣ бѣлые треугольники будутъ подобными отображеніями верхней полуплоскости перемѣннаго $z$ при помощи различныхъ значеній многозначной функціи $s(z)$, а черные треугольники—подобными отображеніями нижней полуплоскости перемѣннаго $z$ при помощи значеній той же функціи. Точки, гдѣ треугольники сходятся вершинами, будутъ отображеніями критическихъ точекъ 0, 1, $\infty$, а число треугольниковъ одинаковаго цвѣта $\lambda ,\ \lambda _{1},\ \lambda _{2}$, сходящихся около такой точки, равно числу значеній функціи $s(z)$, связанныхъ между собою въ соотвѣтствующей критической точкѣ. Всѣ треугольники одинаковаго цвѣта эквивалентны между собою, и подстановки, преобразующія первый изъ нихъ во всѣ остальные, суть подстановки группы, соотвѣтствующей функціи $s(z)$.

Число треугольниковъ сѣти равно числу значеній функціи $s(z)$. Если функція $s(z)$ алгебраическая, то число треугольниковъ сѣти конечно и сѣть покроетъ собою всю плоскость перемѣннаго $u=s(z)$, ибо алгебраическая функція можетъ пріобрѣтать всѣ значенія. Если функція $s(z)$ трансцендентная, то въ сѣти можетъ быть безконечное число треугольниковъ и эти треугольники могутъ закрывать не всю плоскость.

Возьмемъ два смежныхъ треугольника сѣти; вмѣстѣ они составятъ четыреугольникъ. Ясно, что построенную сѣть мы можемъ разсматривать, какъ сѣть четыреугольниковъ. Каждый изъ этихъ четыреугольниковъ есть подобное отображеніе всей плоскости перемѣннаго $z$ при помощи соотвѣтствующаго ему значенія функціи $s(z)$ и дѣлится діагональю (дугою круга) на два треугольника различныхъ цвѣтовъ и соотвѣтствующихъ двумъ половинамъ плоскости. Всѣ четыреугольники сѣти эквивалентны между собою. Гдѣ бы въ части плоскости, занятой сѣтью, мы ни отмѣтили точку, (лишь бы она не лежала на контурѣ одного изъ четыреугольниковъ), въ каждомъ четыреугольникѣ сѣти найдется одна вполнѣ опредѣленная точка, ей соотвѣтствующая и связанная съ ней одной изъ подставокъ группы. Вслѣдствіе этого послѣдняго свойства мы назовемъ каждый изъ четыреугольниковъ сѣти основною областью^[9] группы.

Лемма. Всякіе два треугольника, составленные дугами круговъ и имѣющіе углы соотвѣтственно равные и сходственно расположенные, эквивалентны.

Черт. 7Пусть данъ треугольникъ $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$ на плоскости перемѣннаго $u$ (черт. 7); пусть углы его суть:

${\frac {\pi }{\lambda }},\;{\frac {\pi }{\lambda _{1}}},\;{\frac {\pi }{\lambda _{2}}},$

‎гдѣ $\lambda ,\ \lambda _{1},\ \lambda _{2}$ суть числа цѣлыя и положительныя. Обозначимъ вторую точку пересѣченія дугъ $u_{0}\ u_{1}$ и $u_{0}\ u_{\infty }$ буквою $u'_{0}$. Преобразуемъ треугольникъ $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$ посредствомъ линейной подстановки:

$v={\frac {u_{1}-u'_{0}}{u_{1}-u_{0}}}\cdot {\frac {u-u_{0}}{u-u'_{0}}}.$

(63)

Черт. 8‎Изъ формулы (63) видно, что при $u=u_{0},\ v=0$; при $u=u_{1},\ v=1$; при $u=u'_{0},\ v=\infty$. Треугольникъ $01v_{\infty }$ (черт. 8), въ который $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$ преобразуется подстановкой (63), имѣетъ одну вершину въ точкѣ $+1$, другую въ началѣ координатъ; стороны треугольника 01, $0v_{\infty }$, выходящія изъ вершины 0, прямолинейны (ибо вторая точка пересѣченія ихъ лежитъ въ безконечности); углы треугольника $01v_{\infty }$ таковы же и такъ же расположены, какъ углы треугольника $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$, потому что треугольникъ $01v_{\infty }$ есть подобное отображеніе треугольника $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$ при посредствѣ линейной функціи (63). Сказанными свойствами треугольникъ $01v_{\infty }$ опредѣленъ вполнѣ: такой треугольникъ существуетъ и только одинъ.

Всякій треугольникъ ${\bar {u}}_{0}\ {\bar {u}}_{1}\ {\bar {u}}_{\infty }$, имѣющій съ треугольникомъ $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$ углы равные и сходственно расположенные, подстановкой:

$v={\frac {{\bar {u}}_{1}-{\bar {u}}'_{0}}{{\bar {u}}_{1}-{\bar {u}}_{0}}}\cdot {\frac {{\bar {u}}-{\bar {u}}_{0}}{{\bar {u}}-{\bar {u}}'_{0}}}$

‎преобразуется въ тотъ же треугольникъ $01v_{\infty }$.

Если такъ, то треугольники $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$ и ${\bar {u}}_{0}\ {\bar {u}}_{1}\ {\bar {u}}_{\infty }$ между собою эквивалентны.

Лемма доказана.

Теорема 5. Если данъ треугольникъ $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$, составленный дугами круговъ и имѣющій углы равные ${\frac {\pi }{\lambda }},\;{\frac {\pi }{\lambda _{1}}},\;{\frac {\pi }{\lambda _{2}}},$ гдѣ $\lambda ,\ \lambda _{1},\ \lambda _{2}$ числа цѣлыя и положительныя, то тѣмъ самымъ соотвѣтствующая ему функція $s(z)$ вполнѣ опредѣлена.

Подставимъ данныя намъ значенія $\lambda ,\ \lambda _{1},\ \lambda _{2}$ въ уравненіе (50), найдемъ какой нибудь частный интегралъ ${\bar {s}}(z)$ полученнаго уравненія и построимъ треугольникъ ${\bar {u}}_{0}\ {\bar {u}}_{1}\ {\bar {u}}_{\infty }$, соотвѣтствующій частному интегралу ${\bar {s}}(z)$. Треугольникъ ${\bar {u}}_{0}\ {\bar {u}}_{1}\ {\bar {u}}_{\infty }$ будетъ имѣть съ треугольникомъ $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$ углы соотвѣтственно равные и сходственно расположенные. На основаніи доказанной леммы онъ будетъ эквивалентенъ треугольнику $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$. Найдя коэффиціенты $a,\ b,\ c,\ d$ линейной подстановки, преобразующей треугольникъ ${\bar {u}}_{0}\ {\bar {u}}_{1}\ {\bar {u}}_{\infty }$ въ треугольникъ $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$, мы придемъ къ заключенію, что искомая функція $s(z)$ можетъ быть изображена такою формулою:

$s(z)={\frac {a{\bar {s}}(z)+b}{c{\bar {s}}(z)+d}}.$

(64)

‎Она будетъ частнымъ интеграломъ того же дифференціальнаго уравненія, которому удовлетворяетъ функція ${\bar {s}}(z)$.

§ 11. Свойства сѣти треугольниковъ.

Пусть углы треугольниковъ нѣкоторой сѣти соотвѣтственно равны ${\frac {\pi }{\lambda }},\;{\frac {\pi }{\lambda _{1}}},\;{\frac {\pi }{\lambda _{2}}}$. Совершивъ надъ сѣтью какое нибудь линейное преобразованіе, мы получимъ новую сѣть эквивалентную прежней. Углы треугольниковъ новой сѣти будутъ такіе же, какъ и въ прежней: ${\frac {\pi }{\lambda }},\;{\frac {\pi }{\lambda _{1}}},\;{\frac {\pi }{\lambda _{2}}}$. Наоборотъ, всякія двѣ сѣти, у которыхъ углы треугольниковъ соотвѣтственно равны, эквивалентны между собою на основаніи доказанной выше леммы.

Въ дальнѣйшемъ эквивалентныя сѣти не будутъ для насъ имѣть существеннаго различія, мы будемъ называть ихъ сѣтями одного типа.

Теорема 6. Существуетъ безконечное число типовъ сѣтей, у которыхъ сумма внутреннихъ угловъ каждаго треугольника меньше $\pi$; существуетъ четыре типа сѣтей, у которыхъ сумма внутреннихъ угловъ каждаго треугольника равна $\pi$ и существуетъ четыре типа сѣтей, у которыхъ сумма внутреннихъ угловъ каждаго треугольника больше $\pi$.

I. Пусть сумма внутреннихъ угловъ треугольника меньше $\pi$:

${\frac {\pi }{\lambda }}+{\frac {\pi }{\lambda _{1}}}+{\frac {\pi }{\lambda _{2}}}<\pi ,$

(65)

‎откуда:

${\frac {1}{\lambda }}+{\frac {1}{\lambda _{1}}}+{\frac {1}{\lambda _{2}}}<1.$

(66)

‎Неравенство (66) имѣетъ безконечное число цѣлыхъ и положительныхъ рѣшеній.

Первая часть теоремы доказана.

II. Пусть сумма внутреннихъ угловъ треугольника равна $\pi$:

${\frac {\pi }{\lambda }}+{\frac {\pi }{\lambda _{1}}}+{\frac {\pi }{\lambda _{2}}}=\pi ,$

(67)

‎откуда:

${\frac {1}{\lambda }}+{\frac {1}{\lambda _{1}}}+{\frac {1}{\lambda _{2}}}=1.$

(68)

‎Неопредѣленное уравненіе (68) имѣетъ лишь четыре слѣдующія системы цѣлыхъ и положительныхъ рѣшеній:

${\begin{array}{r|c|c|c|c|}\hline \lambda =&3&4&6&\infty \\\hline \lambda _{1}=&3&4&3&2\\\hline \lambda _{2}=&3&2&2&2\\\hline \end{array}}$[10]

(69)

‎Вторая часть теоремы доказана.

III. Пусть сумма внутреннихъ угловъ треугольника больше $\pi$:

${\frac {\pi }{\lambda }}+{\frac {\pi }{\lambda _{1}}}+{\frac {\pi }{\lambda _{2}}}>\pi ,$

(70)

‎откуда:

${\frac {1}{\lambda }}+{\frac {1}{\lambda _{1}}}+{\frac {1}{\lambda _{2}}}>1.$

(71)

‎Неравенство (71) имѣетъ лишь четыре^[11] системы цѣлыхъ и положительныхъ рѣшеній:

${\begin{array}{r|c|c|c|c|}\hline \lambda =&m&3&4&5\\\hline \lambda _{1}=&2&3&3&3\\\hline \lambda _{2}=&2&2&2&2\\\hline \end{array}}$

(72)

‎гдѣ $m$ произвольное цѣлое число.

Послѣдняя часть теоремы доказана.

Теорема 7. Если сумма внутреннихъ угловъ треугольниковъ меньше $\pi$, то сѣть содержитъ въ себѣ безконечно большое число треугольниковъ и заключается внутри конечнаго круга, ортогональнаго ко всѣмъ сторонамъ треугольниковъ сѣти. Функція $s(z)$, соотвѣтствующая такой сѣти, трансцендентная.

Черт. 9Пусть $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$ (черт. 9) есть одинъ изъ треугольниковъ сѣти и пусть сумма внутреннихъ угловъ его меньше $\pi$.

Построимъ эквивалентный ему треугольникъ $01v_{\infty }$ (черт. 10), имѣющій двѣ прямолинейныя стороны 01 и $0v_{\infty }$. При доказательствѣ приведенной выше леммы мы видѣли, что такой треугольникъ существуетъ и притомъ единственный.

Совершенно элементарными соображеніями убѣждаемся въ томъ, что если сумма внутреннихъ угловъ треугольника $01v_{\infty }$ меньше $\pi$, то дуга $1v_{\infty }$ обращена къ вершинѣ 0 своею выпуклостью. Въ такомъ случаѣ возможно провести конечный кругъ съ центромъ въ $O$ и ортогональный къ кругу $C$, дуга котораго служитъ стороною треугольника $01v_{\infty }$. Этотъ кругъ $O$ ортогоналенъ ко всѣмъ тремъ сторонамъ треугольника $01v_{\infty }$ и притомъ треугольникъ $01v_{\infty }$ весь лежитъ внутри круга $O$.

Черт. 10Треугольникъ $01v_{\infty }$ только въ томъ случаѣ достигаетъ ортогональнаго круга $O$ одною или двумя своими вершинами: 1 и $v_{\infty }$, когда уголъ соотвѣтствующій этой вершинѣ равенъ нулю, т.-е. когда одно изъ чиселъ $\lambda _{2},\ \lambda$ или оба равны $\infty$.

Линейная подстановка, преобразующая треугольникъ $01v_{\infty }$ въ $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$, преобразуетъ кругъ $O$, въ нѣкоторый конечный кругъ $O'$ (черт. 9), который будетъ ортогоналенъ ко всѣмъ сторонамъ треугольника $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$, потому что при линейномъ преобразованіи всѣ углы сохраняютъ свою величину.

Чтобы построить сѣть, соотвѣтствующую треугольнику $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$, мы должны построить его зеркальныя изображенія относительно всѣхъ трехъ сторонъ его и производить такія же построенія для каждаго изъ вновь построенныхъ треугольниковъ до тѣхъ поръ, пока это будетъ возможно. При построеніи всѣхъ этихъ зеркальныхъ изображеній ортогональный кругъ $O'$ преобразуется самъ въ себя и остается ортогональнымъ для всѣхъ вновь построенныхъ треугольниковъ, потому что при всѣхъ этихъ преобразованіяхъ углы сохраняютъ свою величину.

И такъ, дѣйствительно кругъ $O'$ ортогоналенъ ко всѣмъ треугольникамъ сѣти.

При построеніи зеркальнаго изображенія всякая точка, лежащая внутри ортогональнаго круга $O'$, преобразуется въ точку, лежащую внутри круга $O'$. Треугольникъ $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$ лежитъ внутри круга $O'$, слѣдовательно и вся сѣть будетъ лежать внутри этого ортогональнаго круга.

Если треугольникъ $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$ имѣетъ вершину, лежащую на ортогональномъ кругѣ, то всѣ вершины другихъ треугольниковъ сѣти, соотвѣтствующія этой вершинѣ, также будутъ лежать на ортогональномъ кругѣ и въ такомъ случаѣ въ точкахъ ортогональнаго круга будутъ сходиться своими вершинами тѣ углы треугольниковъ, которые равны нулю.

Такія точки будутъ лежать на ортогональномъ кругѣ безконечно часто, но не непрерывно и въ каждой такой точкѣ сходится безконечное число треугольниковъ.

Черт. 11

‎Ясно, что число всѣхъ треугольниковъ сѣти безконечно велико.

‎Примѣръ такой сѣти представленъ на черт. 11^[12].

‎Если ни одна изъ вершинъ треугольника $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$ не лежитъ на ортогональномъ кругѣ, то ни одинъ изъ треугольниковъ сѣти не достигнетъ ортогональнаго круга, хотя ихъ и будетъ безконечное число: по мѣрѣ приближенія къ ортогональному кругу, размѣры треугольниковъ уменьшаются и вблизи ортогональнаго круга становятся безконечно малыми.

Ясно, что число треугольниковъ сѣти безконечно велико. Примѣръ такой сѣти представленъ на черт. 12.

Черт. 12

Понятно, что если въ сѣти безконечное число треугольниковъ, то соотвѣтствующая ей группа безконечнаго порядка, а соотвѣтствующая ей функція $s(z)$ есть функція трансцендентная.

Теорема 8. Если сумма внутреннихъ угловъ треугольниковъ сѣти равна $\pi$, то сѣть покрываетъ всю плоскость и содержитъ въ себѣ безконечно большое число треугольниковъ.

Соотвѣтствующая ей функція $s(z)$ трансцендентная.

Пусть $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$ есть одинъ изъ треугольниковъ сѣти и пусть сумма внутреннихъ угловъ его равна $\pi$. Построивъ эквивалентный ему треугольникъ $01v_{\infty }$, имѣющій двѣ прямолинейныя стороны, мы увидимъ, что и третья сторона будетъ прямолинейна (иначе сумма внутреннихъ угловъ не равнялась бы $\pi$). Изъ таблицы (69) видно, что треугольникъ будетъ одного изъ четырехъ видовъ построенныхъ на черт. 13.

Черт. 13

Сѣти, соотвѣтствующія этимъ треугольникамъ, изображены на черт. 14.

Черт. 14

Изъ чертежей видно, что всѣ четыре сѣти покрываютъ собою всю плоскость и содержатъ въ себѣ безконечное число треугольниковъ. Всѣ сѣти имъ эквивалентныя, а въ томъ числѣ и сѣть, соотвѣтствующая первоначально взятому нами треугольнику $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$ тоже будутъ покрывать собою всю плоскость и содержать въ себѣ безконечное число треугольниковъ.

Группы, соотвѣтствующія этимъ сѣтямъ суть группы безконечнаго порядка. Функціи $s(z)$, имъ соотвѣтствующія имѣютъ безконечное число значеній и суть функціи трансцендентныя.

---

Черт. 15Пусть $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$ есть треугольникъ сѣти и пусть сумма внутреннихъ угловъ его больше $\pi$. Построивъ эквивалентный ему треугольникъ $01v_{\infty }$ (черт. 15), имѣющій двѣ прямолинейныя стороны, мы увидимъ, что дуга $1v_{\infty }$ обращена къ точкѣ 0 своею вогнутостью. Отсюда слѣдуетъ, что круга, ортогональнаго къ сторонамъ треугольника $01v_{\infty }$, а слѣдовательно, и круга, ортогональнаго къ сторонамъ треугольника $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$, не существуетъ. Но сдѣлать на основаніи этого заключеніе о томъ, будетъ ли сѣть покрывать собою всю плоскость и будетъ ли она содержать въ себѣ конечное число треугольниковъ—мы не можемъ. Поэтому разсматриваемый случай требуетъ особаго изученія тѣмъ больше, что мы въ правѣ предположить, что именно въ этомъ случаѣ функція $s(z)$ есть функція алгебраическая.

§ 12. Построеніе четырехъ типовъ сѣти треугольниковъ, у которыхъ сумма внутреннихъ угловъ больше $\pi$.

Воспользуемся тѣми геометрическими представленіями на сферѣ, которыя были указаны въ § 8. Будемъ помнить, что всякому повороту сферы около оси, проходящей черезъ центръ ея, соотвѣтствуетъ нѣкоторое линейное преобразованіе точекъ плоскости.

Впишемъ въ сферу одинъ изъ слѣдующихъ многогранниковъ:

1) Многогранникъ, состоящій изъ двухъ одинаковыхъ $m$-гранныхъ правильныхъ пирамидъ, сложенныхъ своими основаніями и имѣющихъ высоты равныя радіусу круга, описаннаго около основанія. Такое тѣло, слѣдуя Клейну, будемъ называть $2m$-гранной двупирамидой (Doppelpyramide).

2) правильный тетраэдръ,

3) правильный октаэдръ,

4) правильный икосаэдръ.

Черт. 16Вписавъ въ сферу одинъ изъ этихъ четырехъ многогранниковъ, проэктируемъ на поверхность сферы изъ ея центра всѣ грани этого многогранника. Тогда сфера покроется сѣтью равныхъ треугольниковъ, сторонами которыхъ служатъ дуги большихъ круговъ. Дуги эти суть проэкціи реберъ многогранника изъ центра на поверхность сферы. Возьмемъ одно изъ послѣднихъ трехъ тѣлъ: тетраэдръ, октаэдръ или икосаэдръ (о двупирамидѣ будемъ говорить отдѣльно); ради общности будемъ его называть $p$-гранникомъ. Пусть сферическій треугольникъ $ABC$ (черт. 16) есть проэкція одной изъ граней взятаго $p$-гранника изъ центра на поверхность сферы. Отмѣтимъ проэкціи $a,\ b,\ c$ срединъ реберъ взятой грани и проведемъ окружности большихъ круговъ $Aa,\ Bb,\ Cc$. Онѣ пересѣкутся въ одной точкѣ $O$—проэкціи центра грани на поверхность сферы.

Треугольникъ $ABC$ разбился на 6 меньшихъ треугольниковъ.

Затушуемъ ихъ черезъ одинъ, какъ показано на черт. 16.

Поступимъ точно такъ же и со всѣми остальными треугольниками сѣти, построенной на сферѣ.

Тогда вся сфера покроется сѣтью изъ $6p$ треугольниковъ; каждые два рядомъ лежащіе треугольника суть смежные, суть симметричные въ элементарномъ смыслѣ относительно общей стороны и различаются цвѣтомъ: одинъ бѣлый, а другой черный. Бѣлыхъ треугольниковъ на поверхности сферы $3p$ и они всѣ между собою равны, черныхъ треугольниковъ также $3p$, и они тоже между собою равны.

Черт. 17Пусть теперь $ABC$ (черт. 17) есть сферическій треугольникъ, служащій проэкціей грани двупирамиды.

Пусть при этомъ дуга $AC$ соотвѣтствуетъ ребру основанія. Отмѣтимъ проэкцію $b$ средины ребра $AC$ на поверхность сферы и проведемъ окружность большаго круга $Bb$. Она раздѣлитъ треугольникъ $ABC$ на два треугольника $ABb$ и $CBb$, симметричныхъ относительно общей стороны $Bb$.

Подобнымъ же образомъ мы поступимъ со всѣми $2m$ проэкціями граней двупирамиды на поверхность сферы. Тогда мы получимъ на поверхности сферы сѣть изъ $4m$ треугольниковъ, обладающую тѣми же свойствами, которыми обладали сѣти, соотвѣтствующія остальнымъ видамъ многогранниковъ.

---

Углы треугольниковъ сѣти на поверхности сферы мы обозначимъ такъ:

${\frac {\pi }{\lambda }},\;{\frac {\pi }{\lambda _{1}}},\;{\frac {\pi }{\lambda _{2}}},$

‎число треугольниковъ одинаковаго цвѣта сходящихся около вершинъ этихъ угловъ мы обозначимъ буквами $\nu ,\ \nu _{1},\ \nu _{2}$; число всѣхъ треугольниковъ одинаковаго цвѣта обозначимъ буквою $N$.

Сообразить, каковы будутъ числовыя величины $N,\ \nu ,\ \nu _{1},\ \nu _{2},\ \lambda ,\ \lambda _{1},\ \lambda _{2}$ для каждаго изъ четырехъ многогранниковъ очень легко. Мы ихъ расположимъ въ слѣдующую таблицу:

${\begin{array}{r|c|c|c|c|}\hline &{\begin{matrix}{\text{Двупи-}}\\{\text{рамид.}}\end{matrix}}&{\text{тетр.}}&{\text{окт.}}&{\text{икос.}}\\\hline N=&2m&12&24&60\\\hline \nu =&2&4&6&12\\\hline \nu _{1}=&m&4&8&20\\\hline \nu _{2}=&m&6&12&30\\\hline \lambda =&m&3&4&5\\\hline \lambda _{1}=&2&3&3&3\\\hline \lambda _{2}=&2&2&2&2\\\hline \end{array}}$

(73)

‎Сѣть, построенную на сферѣ, проэктируемъ стереографически изъ южнаго полюса на плоскость перемѣннаго $u$ и заштрихуемъ проэкціи тѣхъ треугольниковъ, которые были заштрихованы на сферѣ.

Такимъ образомъ вся плоскость покроется конечнымъ числомъ треугольниковъ двухъ цвѣтовъ. Каждые два рядомъ лежащіе треугольника суть смежные, каждый бѣлый треугольникъ окруженъ черными и обратно. Углы всѣхъ треугольниковъ одинаковаго цвѣта соотвѣтственно равны и сходственно расположены, потому что на сферѣ всѣ треугольники одного цвѣта были равны, а при стереографическомъ проэктированіи углы сохраняютъ свою величину. Углы всякихъ двухъ треугольниковъ различнаго цвѣта соотвѣтственно равны, но расположены въ обратномъ порядкѣ.

Для того, чтобы мы были въ правѣ сказать, что треугольники, построенные нами на плоскости, образуютъ сѣть треугольниковъ въ томъ смыслѣ, въ какомъ мы выше употребляли это выраженіе, остается доказать, что всякіе два смежные треугольника симметричны относительно общей стороны.

Пусть $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$ и $u_{0}\ u_{1}\ {\bar {u}}_{\infty }$ суть два смежныхъ треугольника на плоскости; общая сторона ихъ $u_{0}\ u_{1}$. Пусть соотвѣтствующіе имъ треугольники на сферѣ суть: $U_{0}\ U_{1}\ U_{\infty }$ и $U_{0}\ U_{1}\ {\bar {U}}_{\infty }$. Они, какъ мы знаемъ, симметричны въ элементарномъ смыслѣ относительно общей стороны $U_{0}\ U_{1}$. Повернемъ сферу около ея центра такъ, чтобы сторона $U_{0}\ U_{1}$ прошла черезъ сѣверный полюсъ. Тогда дуга $U_{0}\ U_{1}$ въ новомъ положеніи будетъ проектироваться на плоскость въ видѣ прямой $u'_{0}\ u'_{1}$, треугольники же $U_{0}\ U_{1}\ U_{\infty }$ и $U_{0}\ U_{1}\ {\bar {U}}_{\infty }$ въ новомъ положеніи будутъ проэктироваться въ видѣ треугольниковъ $u'_{0}\ u'_{1}\ u'_{\infty }$ и $u'_{0}\ u'_{1}\ {\bar {u}}'_{\infty }$, симметричныхъ въ элементарномъ смыслѣ относительно ихъ общей прямолинейной стороны $u'_{0}\ u'_{1}$.

Фигура $u'_{0}\ u'_{1}\ u'_{\infty }\ {\bar {u}}'_{\infty }$ получается изъ фигуры $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }\ {\bar {u}}_{\infty }$ линейнымъ преобразованіемъ, соотвѣтствующимъ сдѣланному нами повороту сферы. Такъ какъ линейное преобразованіе не нарушаетъ симметріи, то мы приходимъ къ заключенію, что треугольники $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$ и $u_{0}\ u_{1}\ {\bar {u}}_{\infty }$ симметричны относительно общей стороны $u_{0}\ u_{1}$.

И такъ, мы построили на плоскости четыре типа сѣти треугольниковъ. Каждая изъ этихъ сѣтей покрываетъ собою всю плоскость, содержитъ въ себѣ конечное число треугольниковъ, углы этихъ треугольниковъ равны:

${\frac {\pi }{\lambda }},\;{\frac {\pi }{\lambda _{1}}},\;{\frac {\pi }{\lambda _{2}}},$

‎гдѣ $\lambda ,\ \lambda _{1},\ \lambda _{2}$ суть цѣлыя числа, величины которыхъ даны въ таблицѣ (73).

Каждый типъ сѣтей треугольниковъ соотвѣтствуетъ одному изъ названныхъ выше видовъ многогранниковъ. Смотря по тому, къ какому изъ этихъ типовъ принадлежитъ данная сѣть, мы будемъ ее называть двупирамидной, тетраэдрической, октаэдрической или икосаэдрической сѣтью.

Сравнивая таблицу (73) съ таблицей (72), мы замѣчаемъ, что величины $\lambda ,\ \lambda _{1},\ \lambda _{2}$ приведенныя въ нихъ—одинаковы. Слѣдовательно, построенныя нами сѣти суть какъ разъ тѣ четыре вида искомыхъ сѣтей, у которыхъ сумма внутреннихъ угловъ каждаго треугольника больше $\pi$. Сравнивая таблицу (73) съ таблицей (50) главы II, мы замѣчаемъ ихъ тождественность.

Отсюда слѣдуетъ:

Теорема 9. Функціи Шварца, соотвѣтствующія четыремъ типамъ сѣтей съ конечнымъ числомъ треугольниковъ, суть функціи алгебраическія и служатъ корнями уравненій вида:

$H^{\lambda _{1}}(u):c'T^{\lambda _{2}}(u):cf^{\lambda }(u)=z:z-1:1.$

(49)

‎Для того, чтобы найти группу линейныхъ подстановокъ уравненія (49), необходимо построить сѣть той функціи Шварца, которая ему удовлетворяетъ, а затѣмъ вычислить коэффиціенты линейныхъ подстановокъ группы, соотвѣтствующей построенной сѣти.

Выполненіе этихъ вычисленій составитъ задачу слѣдующей главы.

---

Сноски

1. См. Klein. Vorlesungen über die Theorie der elliptischen Modulfunctionen, т. I, стр. 165 и 170. Здѣсь указана причина такого названія. Главнѣйшія свойства линейныхъ подстановокъ изложены въ статьѣ проф. Ермакова: Круговое преобразованіе. Мат. Сборн. т. XIV.
2. О подобныхъ подстановкахъ см. Serret. Cours d’algèbre supérieure т. II, стр. 257.
3. Прямая разсматривается какъ кругъ безконечно большаго радіуса.
4. Мы заимствуемъ эти теоремы изъ диссертаціи профессора Тихомандрицкаго: О гипергеометрическихъ рядахъ. С.-Петербургъ, 1876.
5. Шварцъ изучаетъ свойства интеграловъ уравненія: $[u]_{z}={\frac {1-\lambda ^{2}}{2z^{2}}}+{\frac {1-\nu ^{2}}{2(z-1)^{2}}}+{\dfrac {\lambda ^{2}-\mu ^{2}+\nu ^{2}-1}{2z(z-1)}}$
   и обозначаетъ одинъ изъ частныхъ интеграловъ его такъ: $s(\lambda ,\;\mu ,\;\nu ,\;z).$
   Приведенное выше уравненіе (50) есть простѣйшій частный случай уравненія Шварца. Мы ограничимся въ настоящей работѣ разсмотрѣніемъ только этого простѣйшаго частнаго случая.
6. Изъ формулъ (51) слѣдуетъ, что: $\alpha >0,\;\beta \geqq -{\frac {1}{4}},\;\gamma \geqq {\frac {1}{2}}.$
   Въ самомъ неблагопріятномъ случаѣ, когда $\lambda =\lambda _{1}=\lambda _{2},\;\alpha ={\frac {1}{4}},\;\beta =-{\frac {1}{4}},\;\gamma ={\frac {1}{2}},$
   функція $F(\alpha ,\;\beta ,\;\gamma ,\;z)$ непрерывно уменьшается отъ $F\left({\frac {1}{4}},\;-{\frac {1}{4}},\;{\frac {1}{2}},\;0\right)=1$, до $F\left({\frac {1}{4}},\;-{\frac {1}{4}},\;{\frac {1}{2}},\;1\right)={\frac {\Gamma ^{2}\left({\dfrac {1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\dfrac {1}{4}}\right)\Gamma \left({\dfrac {3}{4}}\right)}}={\frac {\sqrt {2}}{2}};$
   слѣдовательно она остается положительною.
7. Если бы мы стали изучать функцію Шварца общаго вида $S(\lambda ,\;\mu ,\;\nu ,\;z)$, то свойства ея оказались бы много сложнѣе.
8. Примѣры подобныхъ сѣтей см. ниже на чертежахъ: 11, 12, 14, 25, 26, 27, 28, 29, 30.
9. Fundamentalbereich по Клейну, polygone générateur по Пуанкаре. Строгое опредѣленіе понятія объ основной области группы линейныхъ подстановокъ мы приводимъ ниже въ главѣ IX.
10. Для аналогіи съ табл. (50) главы II мы условимся полагать, что $\lambda \geqq \lambda _{1}\geqq \lambda _{2}.$

11. Точнѣе было бы сказать, что въ таблицѣ (72) безконечное число рѣшеній, потому что число $m$ можетъ получать безконечное число значеній, и что существуетъ безконечное число типовъ сѣтей треугольниковъ, у которыхъ сумма внутреннихъ угловъ больше $\pi$. Но всѣ сѣти треугольниковъ, имѣющихъ углы равные ${\frac {\pi }{m}},\;{\frac {\pi }{2}},\;{\frac {\pi }{2}},$ совершенно одинаковы по своимъ свойствамъ: вотъ почему мы относимъ ихъ къ одному типу, давая слову типъ нѣсколько болѣе широкое значеніе.
12. Чертежи 11 и 12 заимствованы у Клейна: Vorlesungen über die Theorie der elliptischen Modulfunctionen. Bd. I.