Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/98

Если корни уравненія (7) равные, то сказанныя двѣ точки совпадаютъ.

Станемъ различать два случая:

1) корни уравненія (7) различны между собою;

2) корни уравненія (7) одинаковы.

Начнемъ съ перваго случая.

I. Пусть корни уравненія (7) различны между собою и соотвѣтственно равны:

$z_{1}$ и $z_{2}.$

‎Такъ какъ точки эти подстановкою (5) преобразуются сами въ себя, то ясно, что подстановку (5) можно представить въ такомъ видѣ:

${\frac {{\bar {z}}-z_{1}}{{\bar {z}}-z_{2}}}=k{\frac {z-z_{1}}{z-z_{2}}},$

(8)

‎гдѣ $k$ есть нѣкоторое постоянное число. Такъ какъ оно, вообще говоря, комплексное, то мы его представимъ въ нормальной формѣ:

$k=\rho e^{\theta i}.$

(9)

‎Тогда подстановка (8) приметъ такой видъ:

${\frac {{\bar {z}}-z_{1}}{{\bar {z}}-z_{2}}}=\rho e^{\theta i}{\frac {z-z_{1}}{z-z_{2}}},$

(10)

‎Будемъ называть подстановку (10) эллиптической, если $\rho =1$, гиперболической, если $\theta =0$ и локсодромической^[1], если $\rho$ отлично отъ 1, а $\theta$ отлично отъ 0.

II. Пусть корни уравненія (7) одинаковы и равны $z_{0}$.

1. См. Klein. Vorlesungen über die Theorie der elliptischen Modulfunctionen, т. I, стр. 165 и 170. Здѣсь указана причина такого названія. Главнѣйшія свойства линейныхъ подстановокъ изложены въ статьѣ проф. Ермакова: Круговое преобразованіе. Мат. Сборн. т. XIV.

Тот же текст в современной орфографии

Если корни уравнения (7) равны, то указанные две точки совпадают.

Станем различать два случая:

1) корни уравнения (7) различны между собой;

2) корни уравнения (7) одинаковы.

Начнем с первого случая.

I. Пусть корни уравнения (7) различны между собой и соответственно равны:

$z_{1}$ и $z_{2}.$

‎Так как точки эти подстановкой (5) преобразуются сами в себя, то ясно, что подстановку (5) можно представить в таком виде:

${\frac {{\bar {z}}-z_{1}}{{\bar {z}}-z_{2}}}=k{\frac {z-z_{1}}{z-z_{2}}},$

(8)

‎где $k$ есть некоторое постоянное число. Так как оно, вообще говоря, комплексное, то мы его представим в нормальной форме:

$k=\rho e^{\theta i}.$

(9)

‎Тогда подстановка (8) примет такой вид:

${\frac {{\bar {z}}-z_{1}}{{\bar {z}}-z_{2}}}=\rho e^{\theta i}{\frac {z-z_{1}}{z-z_{2}}},$

(10)

‎Будем называть подстановку (10) эллиптической, если $\rho =1$, гиперболической, если $\theta =0$ и локсодромической^[1], если $\rho$ отлично от 1, а $\theta$ отлично от 0.

II. Пусть корни уравнения (7) одинаковы и равны $z_{0}$.

1. См. Klein. Vorlesungen über die Theorie der elliptischen Modulfunctionen, т. I, стр. 165 и 170. Здесь указана причина такого названия. Главнейшие свойства линейных подстановок изложены в статье проф. Ермакова: Круговое преобразование. Мат. Сборн. т. XIV.