По опредѣленію Коши мы назовемъ функціею , если и суть функціи и . Величина представится въ такомъ видѣ:
Это самое широкое опредѣленіе функціи комплекснаго перемѣннаго.
Моногенными функціями Коши назвалъ тѣ функціи, которыя удовлетворяютъ условію:
Моногенныя функціи могутъ быть представлены въ такомъ видѣ:
гдѣ есть знакъ алгебраическихъ или трансцендентныхъ операцій, совершаемыхъ надъ величиной
Пусть есть моногенная функція. Пусть точка описываетъ нѣкоторую кривую , не проходящую 1) черезъ точки, въ которыхъ производная обращается въ 0 или , 2) черезъ критическія точки функціи ; тогда точка тоже опишетъ нѣкоторую кривую , въ безконечно малыхъ частяхъ подобную кривой .
Такая кривая называется подобнымъ отображеніемъ кривой . Если кривая проходитъ черезъ критическія точки функціи или черезъ такія точки, гдѣ производная обращается въ 0 или , то въ соотвѣтствующихъ точкахъ кривой можетъ наступить нарушеніе подобія; но мы условимся во всякомъ случаѣ называть кривую подобнымъ отображеніемъ кривой .
По определению Коши мы назовем функцией , если и суть функции и . Величина представится в таком виде:
Это самое широкое определение функции комплексной переменной.
Моногенными функциями Коши назвал те функции, которые удовлетворяют условию:
Моногенные функции могут быть представлены в таком виде:
где есть знак алгебраических или трансцендентных операций, совершаемых над величиной
Пусть есть моногенная функция. Пусть точка описывает некоторую кривую , не проходящую 1) через точки, в которых производная обращается в 0 или , 2) через критические точки функции ; тогда точка тоже опишет некоторую кривую , в бесконечно малых частях подобную кривой .
Такая кривая называется подобным отображением кривой . Если кривая проходит через критические точки функции или через такие точки, где производная обращается в 0 или , то в соответствующих точках кривой может наступить нарушение подобия; но мы условимся во всяком случае называть кривую подобным отображением кривой .
