Алгебраические уравнения, разрешимые в гипергеометрических функциях (Лахтин)

Алгебраические уравнения, разрешимые в гипергеометрических функциях
автор Лахтин Л. К.

Опубл.: 1893 год. Источник: Математический сборник, т. 16:4 (1893), стр. 597—812 (главы I—VI) и 17:1 (1893), стр. 1—216 (главы VII—XI)

Алгебраические уравнения, разрешимые в гипергеометрических функциях.

---

Л. К. Лахтина.

---

(Читано в заседаниях Математического Общества 15 сентября и 20 октября 1892 года).

---

ОГЛАВЛЕНИЕ.

Т. XVI.

Стран.^[1]

Введение  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

597

Глава I. Свойства алгебраических уравнений, имеющих корнями частные интегралы линейного дифференциального уравнения второго порядка.

§ 1. Основные свойства  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

615

§ 2. Первичные формы  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

631

§ 3. Уравнения, которым удовлетворяют отношения корней уравнений рассматриваемого класса  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

648

§ 4. Случай, когда дифференциальное уравнение имеет первичную форму второй степени  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

657

Глава II. Свойства алгебраических уравнений, имеющих корнями отношения частных интегралов линейного дифференциального уравнения 2-го порядка.

§ 5. Основные свойства  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

661

§ 6. Дифференциальное уравнение 3-го порядка, которому удовлетворяют корни алгебраического уравнения изучаемого класса  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

681

§ 7. Двучленное уравнение  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

688

Глава III. О функциях Шварца.

§ 8. Линейное преобразование на плоскости комплексной переменной  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

690

§ 9. Некоторые теоремы теории гипергеометрических функций  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

701

§ 10. Основные свойства функций Шварца  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

703

§ 11. Свойства сети треугольников  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

717

§ 12. Построение четырех типов сети треугольников, у которых сумма внутренних углов больше $\pi$  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

724

Глава IV. Конечные группы линейных подстановок.

§ 13. Общие приемы вычисления подстановок группы, соответствующей данной сети треугольников  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

730

§ 14. Геометрические представления для групп конечных порядков  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

736

§ 15. Группа двупирамидная  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

743

§ 16. Группа тетраэдрическая  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

746

§ 17. Группа октаэдрическая  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

753

§ 18. Группа икосаэдрическая  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

758

§ 19. Циклическая группа конечного порядка  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

762

§ 20. Конечные группы бинарных линейных подстановок  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

764

Глава V. Нормальные виды алгебраических уравнений, имеющих корнями отношения частных интегралов линейного дифференциального уравнения второго порядка.

§ 21. Общие приемы вычисления коэффициентов уравнения, соответствующего данной группе  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

773

§ 22. Уравнение двупирамидное  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

776

§ 23. Уравнение тетраэдрическое  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

778

§ 24. Уравнение октаэдрическое  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

783

§ 25. Уравнение икосаэдрическое  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

787

Глава VI. Инвариантные свойства первичных форм $f(y',\ y'')$, $H(y',\ y'')$, $T(y',\ y'')$. Соотношения между первичными функциями различных типов.

§ 26. Ковариант $(f,\ f)^{4}$ первичной формы наинисшей степени $f(y',\ y'')$  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

788

§ 27. Выражение формы, инвариантной по отношению к бинарным линейным подстановкам конечной группы, через первичные формы: $f(y',\ y'')$, $H(y',\ y'')$, $T(y',\ y'')$  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

796

§ 28. Тождества, связывающие между собой первичные функции $f(u)$, $H(u)$, $T(u)$ различных типов  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

804

Т. XVII.

Стран.^[2]

Глава VII. Решение уравнений, имеющих корнями отношения частных интегралов линейного дифференциального уравнения 2-го порядка.

§ 29. Критерий для решения вопроса о том, не служат ли корни данного алгебраического уравнения отношениями частных интегралов линейного дифференциального уравнения 2-го порядка  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

§ 30. Приведение уравнения к нормальному виду  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

§ 31. Решение в радикалах уравнений: двупирамидного, тетраэдрического и октаэдрического  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

§ 32. Невозможность решения икосаэдрического уравнения в радикалах  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

§ 33. Решение уравнений изучаемого класса в гипергеометрических функциях  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

Глава VIII. Алгебраические уравнения, имеющие корнями частные интегралы линейного дифференциального уравнения 2-го порядка.

§ 34. Предварительные замечания  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

§ 35. Выражения первичных форм $f(\eta _{1},\ \eta _{2})$, $H(\eta _{1},\ \eta _{2})$, $T(\eta _{1},\ \eta _{2})$ в виде радикалов из рациональных функций переменной $z$  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

§ 36. Внешний вид уравнений, имеющих корнями частные интегралы дифференциального уравнения вида: ${\frac {d^{2}\eta }{dz^{2}}}=P\eta$  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

§ 37. Алгебраические уравнения, имеющие корнями частные интегралы гипергеометрических дифференциальных уравнений  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

Глава IX. Общая задача об алгебраических уравнениях, разрешимых в гипергеометрических функциях.

§ 38. Некоторые свойства групп линейных подстановок  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

§ 39. Понятие об автоморфных функциях  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

§ 40. Упрощение общей задачи об алгебраических уравнениях, разрешимых в гипергеометрических функциях  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

Глава X. Резольвенты уравнений, имеющих группу линейных подстановок.

§ 41. Свойства резольвент уравнений, имеющих группу линейных подстановок  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

87

§ 42. Подгруппы конечных порядков  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

95

§ 43. Резольвента уравнения двупирамидного типа  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

103

§ 44. Резольвента уравнения тетраэдрического типа  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

107

§ 45. Резольвенты уравнения октаэдрического типа  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

110

§ 46. Резольвенты уравнения икосаэдрического типа  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

115

§ 47. Некоторые замечания о группах уравнений, найденных в предыдущих параграфах  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

139

Глава XI. Решение уравнений: 3-ей, 4-ой, 5-ой степени и уравнения Якоби 6-ой степени.

§ 48. Геометрические представления, связанные с алгебраическими уравнениями  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

145

§ 49. Геометрические изображения для уравнений 5-ой степени  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

149

§ 50. Решение главного уравнения 5-ой степени  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

161

§ 51. Решение уравнения 5-ой степени общего вида  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

166

§ 52. Решение уравнения 5-ой степени в форме Жеррарда  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

171

§ 53. Решение уравнения 4-ой степени  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

173

§ 54. Решение уравнения 3-ей степени  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

176

§ 55. Уравнение Якоби 6-ой степени  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

178

§ 56. Решение уравнения Якоби 6-ой степени  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

189

§ 57. Дискриминант уравнения Якоби 6-ой степени  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

191

§ 58. Связь между уравнением 5-ой степени и уравнением Якоби 6-ой степени  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

198

Заключение  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

203

Литература  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

205

Чертеж I  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Чертеж II  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Чертеж III  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Чертеж IV  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Опечатки  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

209

Поправка  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

211

Примечания

1. Опубликовано в «Математический сборник», т. 16:4 (1893), стр. 597—812. — Примечание редактора Викитеки.
2. Опубликовано в «Математический сборник», т. 17:1 (1893), стр. 1—216. — Примечание редактора Викитеки.