Алгебраические уравнения, разрешимые в гипергеометрических функциях (Лахтин)/Глава I

Алгебраические уравнения, разрешимые в гипергеометрических функциях — Глава I. Свойства алгебраических уравнений, имеющих корнями частные интегралы линейного дифференциального уравнения второго порядка
автор Л. К. Лахтин

Опубл.: 1893 год.

§ 1. Основные свойства  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

615

§ 2. Первичные формы  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

631

§ 3. Уравнения, которым удовлетворяют отношения корней уравнений рассматриваемого класса  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

648

§ 4. Случай, когда дифференциальное уравнение имеет первичную форму второй степени  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

657

---

Глава I.

Свойства алгебраических уравнений, имеющих корнями частные интегралы линейного дифференциального уравнения второго порядка.

‎Мы начнем изучение алгебраических уравнений, разрешимых в гипергеометрических функциях, с рассмотрения свойств двух классов, относящихся сюда уравнений.

Это суть уравнения, корнями которых служат: 1) частные интегралы, 2) отношения частных интегралов линейного дифференциального уравнения 2-го порядка с рациональными алгебраическими коэффициентами.

Если это дифференциальное уравнение есть гипергеометричеcкое, то ясно само собой, что то алгебраическое уравнение, которому удовлетворяют его интегралы или отношения интегралов, разрешимо в гипергеометрических функциях. Но важно, то, что все уравнения сказанных двух классов разрешимы в гипергеометрических функциях, как выяснится в главе II.

Предметом настоящей I главы нашей работы служит изучение свойств первого из двух только что указанных классов.

§ 1. Основные свойства.

Пусть алгебраическое уравнение:

${\mathit {\Phi }}(y,\ z)=0$

(1)

‎степени $m$ имеет корнем частный интеграл линейного дифференциального уравнения 2-го порядка:

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+p_{1}{\frac {dy}{dx}}+p_{2}y=0,$

(2)

‎где коэффициенты $p_{1}$ и $p_{2}$ суть рациональные алгебраические функции $z$.

Пусть уравнение (1) неприводимо и, кроме того, не двучленное, потому что двучленное уравнение всегда способно удовлетворяться частными интегралами некоторого линейного дифференциального уравнения 2-го порядка и имеет совершенно иной характер сравнительно с другими уравнениями изучаемого нами класса. Вследствие этого мы его временно совершенно устраняем с тем, чтобы впоследствии пополнить наше изложение указанием на его особенности.

Обозначим корни уравнения (1) так:

$y_{1},\ y_{2},\ \ldots ,\ y_{m},$

(3)

‎Это суть некоторые функции $z$.

Докажем, что имеет место:

Теорема 1^[1]. Если отношение двух количеств ряда (3) постоянно, то оно равно радикалу некоторой степени из 1.

Пусть:

${\mathit {\Phi }}(y,\ z)=a_{0}y^{m}+a_{1}y^{m-1}+\ldots +a_{m-1}y+a_{m},$

(4)

‎где

$a_{0},\ a_{1},\ \ldots ,\ a_{m}$

‎суть рациональные алгебраические функции $z$, и пусть

${\frac {y_{2}}{y_{1}}}=c$

‎где $c$ — постоянное.

Тогда мы имеем два тождества:

$\left.{\begin{matrix}a_{0}y_{1}^{m}+a_{1}y^{m-1}+\ldots +a_{m-1}y_{1}+a_{m}=0,\\a_{0}c^{m}y_{1}^{m}+a_{1}c^{m-1}y_{1}^{m-1}+\ldots +a_{m-1}cy_{1}+a_{m}=0.\end{matrix}}\right\}$

(5)

‎Так как уравнение (1) по нашему предположению неприприводимо, то из равенств (5) следует:

$\left.{\begin{matrix}a_{0}=a_{0}c^{m},\\a_{1}=a_{1}c^{m-1},\\a_{2}=a_{2}c^{m-2},\\\cdots \cdots \cdots \cdots \\a_{m-1}=a_{m-1}c.\end{matrix}}\right\}$

(6)

‎Так как $a_{0}$ не есть 0, то

$c^{m}=1,$

‎что и доказывает справедливость теоремы: $c$ равно радикалу некоторой степени $\mu$ из 1, причем $\mu$ есть делитель степени $m$ уравнения (1).

Обозначив корень степени $\mu$ из 1 через $j_{\mu }$, имеем:

$c=j_{\mu }.$

‎Из тождеств (5) мы видим, что все коэффициенты $a_{i}$, у которых индекс $i$ не делится нацело на $\mu$, должны равняться нулю — иначе равенства (6) были бы невозможны. Отсюда заключаем, что уравнение (1) таково:

$a_{0}y^{m}+a_{\mu }y^{m-\mu }+a_{2\mu }y^{m-2\mu }+\ldots +a_{m-\mu }y^{\mu }+a_{m}=0.$

(7)

‎Теорема 2. Все отношения корней (3), взятых попарно, не могут быть постоянными.

Допустим, что все отношения корней (3), взятых попарно, оказались постоянными. Тогда эти корни (3) представятся в таком виде:

$y_{1},\ j_{\mu _{1}}y_{1},\ j_{\mu _{2}}y_{1},\ \ldots ,\ j_{\mu _{m-1}}y_{1},$

‎где $j_{\mu _{1}},\ j_{\mu _{2}},\ \ldots ,\ j_{\mu _{m-1}}$ суть корни из 1 степеней соответственно равных:

$\mu _{1},\ \mu _{2},\ \ldots ,\ \mu _{m-1}.$

‎Все эти числа $\mu _{i}$, как мы видели, должны быть делителями числа $m$. Пусть наименьшее кратное чисел $\mu _{i}$ есть $\mu$. Число $\mu$ будет тоже делителем числа $m$; следовательно оно будет или меньше $m$, или равно $m$. Обозначим первообразный корень степени $\mu$ из 1 буквой $j$; тогда количества $j_{\mu _{i}}$ выразятся как степени взятого первообразного корня $j$:

$j^{\alpha _{1}},\ j^{\alpha _{2}},\ \ldots ,\ j^{\alpha _{m-1}}.$

‎Число этих количеств равно $m-1$, и все они различны между собой и отличны от 1. Это показывает:

1) что числа

$\alpha _{1},\ \alpha _{2},\ \ldots ,\ \alpha _{m-1}$

‎представляют собой ряд натуральных чисел:

$1,\ 2,\ 3,\ \ldots ,\ m-1,$

‎только, быть может, в измененном порядке;

2) что степень $\mu$ должна равняться $m$.

Итак, $j$ есть первообразный корень степени $m$ из 1.

Корни (3), при сделанном предположении, представляются в таком виде:

$y_{1},\ jy_{1},\ j^{2}y_{1},\ \ldots ,\ j^{m-1}y_{1}.$

‎А это значит, что уравнение (1) есть уравнение двучленное:

$y^{m}=y_{1}^{m},$

‎где $y_{1}^{m}$ есть рациональная функция $z$.

Так как взятое уравнение (1) было не двучленное, то мы пришли к противоречию.

Теорема доказана.

Теорема 3. Если один из корней уравнения (1) удовлетворяет дифференциальному уравнению (2), то ему удовлетворят все корни уравнения (1).

Из уравнения (1) мы имеем:

${\frac {dy}{dz}}=-{\frac {\frac {\partial {\mathit {\Phi }}(y,\ z)}{\partial z}}{\frac {\partial {\mathit {\Phi }}(y,\ z)}{\partial y}}}=\Psi (y,\ z),$

(8)

${\frac {d^{2}y}{dz^{2}}}={\frac {\partial \Psi (y,\ z)}{\partial y}}\Psi (y,\ z)+{\frac {\partial \Psi (y,\ z)}{\partial z}}=\mathrm {X} (y,\ z).$

(9)

‎Если корень $y_{1}$ уравнения (1) удовлетворяет уравнению (2), то это значит, что имеет место тождество:

$\mathrm {X} (y_{1},\ z)+p_{1}\Psi (y_{1},\ z)+p_{2}y_{1}=0.$

(10)

‎Следовательно корень $y_{1}$ уравнения (1) удовлетворяет также уравнению

$\mathrm {X} (y,\ z)+p_{1}\Psi (y,\ z)+p_{2}y=0.$

(11)

‎Вследствие неприводимости уравнения (1), уравнению (11) должны удовлетворять и все остальные корни уравнения (1); а это и значит, что все они удовлетворяют дифференциальному уравнению (2).

Теорема 4. Если какой-нибудь корень уравнения (1) удовлетворяет уравнению (2), то общий интеграл уравнения (2) представится в виде:

$c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2},$

‎где $c_{1}$ и $c_{2}$ суть постоянные числа, а $y_{1}$ и $y_{2}$ суть любые два корня уравнения (1), отношение которых не есть величина постоянная.

Если какой-нибудь корень уравнения (1) удовлетворяет уравнению (2), то на основании теоремы 3 все корни уравнения (1) удовлетворят уравнению (2) и будут его частными интегралами; след. в рассматриваемом случае $y_{1}$ и $y_{2}$ будут частными интегралами уравнения (2) и притом линейно-независимыми, ибо по условию отношение ${\frac {y_{1}}{y_{2}}}$ не есть величина постоянная.

Если так, то функция

$c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2},$

‎есть действительно общий интеграл уравнения (2).

На основании теоремы 2 в числе корней уравнения (1) всегда найдется хотя бы одна пара корней, отношение которых не есть величина постоянная.

Теорема 5. Если один из корней уравнения (1) удовлетворяет уравнению (2), то все интегралы уравнения (2) будут алгебраическими.

На основании теоремы 4 в рассматриваемом случае все интегралы уравнения (2) представляются в виде:

$c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2},$

‎т. е. в виде рациональной функции двух корней алгебраического уравнения. Известно, что такая функция сама есть корень некоторого алгебраического уравнения.

---

Определим теперь несколько ближе вид функций $p_{1}$ и $p_{2}$, входящих в дифференциальное уравнение (2).

Прежде всего заметим, что если какой-либо корень уравнения (1) удовлетворяет уравнению (2), то все частные интегралы дифференциального уравнения (2) суть правильные^[2] на всей Неймановой сфере и имеют конечное число особых точек. В самом деле, мы видели, что все эти частные интегралы суть функции алгебраические; следовательно они имеют лишь конечное число полюсов и критических точек алгебраического характера, а существенно особых точек совсем не имеют.

Эта особенность уравнения (2) в значительной степени его определяет.

В самом деле, известно, что особыми точками частных интегралов уравнения (2) могут служить: точка $z=\infty$ и те точки, где $p_{1}$ или $p_{2}$ обращаются в бесконечность.

Что касается точки $z=\infty$, то мы вправе считать ее простой точкой, п. ч. в противном случае мы могли бы преобразовать уравнение (2) линейной подстановкой вида:

$z={\frac {\alpha z'+\beta }{\gamma z'+\delta }}$

‎так, чтобы в преобразованном уравнении точка $z'=\infty$ была простой точкой.

Пусть $\alpha _{i}$ есть особая точка интегралов уравнения (2). Это значит, что $p_{1}$ или $p_{2}$, или обе функции вместе при $z=\alpha _{i}$ обращаются в бесконечность.

Известно^[3], что линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка (2) должно иметь два линейно-независимых частных интеграла, которые в области не существенно особой точки $z=\alpha _{i}$ разлагаются в ряды вида:

$\left.{\begin{matrix}y_{1}=(z-\alpha _{i})^{r_{1}}\varphi _{1}(z-\alpha _{i}),\\y_{2}=(z-\alpha _{i})^{r_{2}}\varphi _{2}(z-\alpha _{i}),\end{matrix}}\right\}$

(12)

‎где $\varphi _{1}(z-\alpha _{i})$ и $\varphi _{2}(z-\alpha _{i})$ суть функции голоморфные в области точки $\alpha _{i}$ и отличные от нуля при $z=\alpha _{i}$.

Исключение представляет только тот случай, когда показатели $r_{1}$ и $r_{2}$ оказываются равными:

$r_{1}=r_{2}.$

‎В этом случае существует два линейно-независимых частных интеграла, разлагающихся в области точки $\alpha _{i}$ в ряды такого вида:

$y_{1}=(z-\alpha _{i})^{r_{1}}\varphi _{1}(z-\alpha _{i}),$ $y_{2}=(z-\alpha _{i})^{r_{1}}[\varphi _{2}(z-\alpha _{i})+\ln(z-\alpha _{i})\varphi _{3}(z-\alpha _{i})].$^[4]

‎Если в уравнении (2) все интегралы алгебраические, то этот последний случай встретиться не может.

Поэтому мы вправе утверждать, что уравнение (2) в области особой точки непременно имеет два частных интеграла вида (12) с различными между собой показателями степени $r_{1}$ и $r_{2}$.

Подставив в уравнение (2) выражение

$y=(z-\alpha _{i})^{r_{j}}\varphi _{i}(z-\alpha _{i}),$ где $j=1$ или 2,

(12')

‎найдем:

${\begin{matrix}r_{j}(r_{j}-1)(z-\alpha _{i})^{r_{j}-2}\varphi _{j}(z-\alpha _{i})+r_{j}p_{1}(z-\alpha _{i})^{r_{j}-1}\varphi _{j}(z-\alpha _{i})+\\+\,p_{2}(z-\alpha _{i})^{r_{j}}\varphi _{j}(z-\alpha _{i})+\ldots =0,\end{matrix}}$

(13)

‎Для нахождения величин $r_{1}$ и $r_{2}$ мы отберем в левой части тождества (13) коэффициент при наинисшей степени $(z-\alpha _{i})$ и приравняем его нулю. Полученное таким образом уравнение должно быть квадратным относительно $r_{j}$: ему должно удовлетворять два не равных между собой корня $r_{1}$ и $r_{2}$. Следовательно наинисшая степень $z-\alpha _{i}$ левой части тождества (13) есть $r_{j}-2$. Коэффициенты $p_{1}$ и $p_{2}$, как мы знаем, могут (один из них даже должен) иметь полюс в точке $\alpha _{i}$. Из тождества (13) заключаем, что порядок этого полюса для функции $p_{1}$ — не выше 1, а для функции $p_{2}$ — не выше 2. Поэтому коэффициенты $p_{1}$ и $p_{2}$ можно представить в таком виде:

$p_{1}={\frac {\pi _{1}}{z-\alpha _{i}}},\ p_{2}={\frac {\pi _{2}}{(z-\alpha _{i})^{2}}},$

(14)

‎где $\pi _{1}$ и $\pi _{2}$ суть рациональные алгебраические функции $z$, которые при $z=\alpha _{i}$ имеют конечные величины (одна из них может обращаться в 0).

Подставив выражения (14) в тождество (13), мы найдем, что коэффициент при $(z-\alpha _{i})^{r_{j}-2}$ в левой части тождества (13) равен:

$[r_{j}(r_{j}-1)+(\pi _{1})_{0}r_{j}+(\pi _{2})_{0}]\varphi _{j}(0),$

(15)

‎где $(\pi _{1})_{0}$ и $(\pi _{2})_{0}$ суть значения $\pi _{1}$ и $\pi _{2}$ при $z=\alpha _{j}$.

Так как $\varphi _{j}(0)$ отлично от 0, то уравнение, определяющее показатели $r_{1}$ и $r_{2}$, таково:

$r_{j}(r_{j}-1)+(\pi _{1})_{0}r_{j}+(\pi _{2})_{0}=0,$

‎или, опуская индекс $j$:

$r(r-1)+(\pi _{1})_{0}r+(\pi _{2})_{0}=0.$

(16)

‎Это — определяющее уравнение Фукса^[5] для точки $\alpha _{i}$.

Разложим функции $p_{1}$ и $p_{2}$ на простые дроби. Из формул (14) видно, что эти разложения будут таковы:

$\left.{\begin{matrix}p_{1}={\dfrac {\lambda _{1}}{z-\alpha _{1}}}+{\dfrac {\lambda _{2}}{z-\alpha _{2}}}+\ldots +{\dfrac {\lambda _{i}}{z-\alpha _{i}}}+\ldots +{\dfrac {\lambda _{\rho }}{z-\alpha _{\rho }}},\\p_{2}={\dfrac {\mu _{1}}{(z-\alpha _{1})^{2}}}+{\dfrac {\mu _{2}}{(z-\alpha _{2})^{2}}}+\ldots +{\dfrac {\mu _{i}}{(z-\alpha _{i})^{2}}}+\ldots +{\dfrac {\mu _{\rho }}{(z-\alpha _{\rho })^{2}}}+\\+\,{\dfrac {\nu _{1}}{z-\alpha _{1}}}+{\dfrac {\nu _{2}}{z-\alpha _{2}}}+\ldots +{\dfrac {\nu _{i}}{z-\alpha _{i}}}+\ldots +{\dfrac {\nu _{\rho }}{z-\alpha _{\rho }}},\end{matrix}}\right\}$

(17)

‎где $\lambda _{1},\ \ldots ,\ \lambda _{\rho },\ \mu _{1},\ \ldots ,\ \mu _{\rho },\ \nu _{1},\ \ldots ,\ \nu _{\rho }$ суть числа конечные, причем нулевые значения встретиться могут.

Из выражений (17) следует, что величины

$(\pi _{1})_{0}$ и $(\pi _{2})_{0},$

‎входящие в уравнение (16), таковы:

$(\pi _{1})_{0}=\lambda _{i},\ (\pi _{2})_{0}=\mu _{i}.$

‎Следовательно определяющее уравнение Фукса для точки принимает такой вид:

$r(r-1)+\lambda _{i}r+\mu _{i}=0.$

(18)

‎Для того, чтобы интегралы уравнения (2) были алгебраические, необходимо, чтобы корни определяющего уравнения (18) были рациональны. Так как сумма корней уравнения (18) равна $1-\lambda _{i}$, а произведение их равно $\mu _{i}$, то ясно, что $\lambda _{i}$ и $\mu _{i}$ должны быть числами рациональными.

Итак, функции $p_{1}$ и $p_{2}$ имеют вид (17), где $\lambda _{i}$ и $\mu _{i}$ суть рациональные числа.

Найдя выражения (17) функций $p_{1}$ и $p_{2}$, мы можем сделать некоторое преобразование как алгебраического уравнения (1), так и дифференциального уравнения (2) с целью упростить несколько это дифференциальное уравнение, и облегчить дальнейшие исследования.

Положим:

$y=e^{-{\frac {1}{2}}\int p_{1}\,dz}\eta =(z-\alpha _{1})^{-{\frac {1}{2}}\lambda _{1}}(z-\alpha _{2})^{-{\frac {1}{2}}\lambda _{2}}\ldots (z-\alpha _{\rho })^{-{\frac {1}{2}}\lambda _{\rho }}\eta .$

(19)

‎Так как

$\lambda _{1},\ \lambda _{2},\ \ldots ,\ \lambda _{\rho }$

‎суть числа рациональные, то множитель:

$(z-\alpha _{1})^{-{\frac {1}{2}}\lambda _{1}}(z-\alpha _{2})^{-{\frac {1}{2}}\lambda _{2}}\ldots (z-\alpha _{\rho })^{-{\frac {1}{2}}\lambda _{\rho }}$

‎есть радикал из рациональной функции $z$.

Если $y$ было функцией алгебраической, то и $\eta$ будет тоже функцией алгебраической, и обратно.

После подстановки (19) алгебраическое уравнение (1) преобразуется в новое алгебраическое уравнение некоторой степени $n$:

$F(y,\ z)=0.$

(20)

‎Дифференциальное же уравнение (2) преобразуется в более простое уравнение:

${\frac {d^{2}y}{dz^{2}}}=Py,$

(21)

‎где

$P={\frac {1}{4}}p_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}{\frac {dp_{1}}{dz}}-p_{2}.$

(22)

‎Понятно, что все сказанное об уравнениях (1) и (2) безусловно применимо и к уравнениям (20) и (21), но не обратно: уравнениям (20) и (21) принадлежат новые свойства, которые уравнениям (1) и (2) не принадлежали.

Уравнение (21) можно рассматривать как простейший частный случай уравнения (2): когда коэффициент $p_{1}$ равен 0, а коэффициент $p_{2}$ равен $-P$. Поэтому из формул (17) заключаем, что коэффициент $-P$ разлагается на простые дроби такого вида:

${\begin{matrix}-P={\dfrac {M_{1}}{(z-\alpha _{1})^{2}}}+{\dfrac {M_{2}}{(z-\alpha _{2})^{2}}}+\ldots +{\dfrac {M_{\rho }}{(z-\alpha _{\rho })^{2}}}\,+\\+\,{\dfrac {N_{1}}{z-\alpha _{1}}}+{\dfrac {N_{2}}{z-\alpha _{2}}}+\ldots +{\dfrac {N_{\rho }}{z-\alpha _{\rho }}}.\end{matrix}}$

(23)

‎Определяющее уравнение Фукса для особой точки будет таково:

$r(r-1)+M_{i}=0.$

(24)

‎Для того, чтобы дифференциальное уравнение (21) имело алгебраические интегралы, необходимо, чтобы корни определяющих уравнений вида (24) для всех особых точек были рациональны.

Теорема 6. Определитель, составленный из коэффициентов обхода около какой-либо критической точки для двух частных интегралов уравнения (21), равен единице.

На основании известной теоремы Лиувилля между двумя частными интегралами $y_{1}$ и $y_{2}$ уравнения (2) существует такая зависимость:

$y_{2}{\frac {dy_{1}}{dz}}-y_{1}{\frac {dy_{2}}{dz}}=Ce^{-\int p_{1}\,dz},$

(25)

‎где $C$ есть некоторое постоянное число. Применяя эту теорему к уравнению (21), находим:

$\eta _{2}{\frac {d\eta _{1}}{dz}}-\eta _{1}{\frac {d\eta _{2}}{dz}}=C.$

(26)

‎Будем рассматривать $\eta _{1}$ и $\eta _{2}$ как функции на плоскости комплексного переменного. При обходах около критических точек функции $\eta _{1}$ и $\eta _{2}$ будут разветвляться и принимать новые значения. Пусть после некоторого обхода функции $\eta _{1}$ и $\eta _{2}$ приняли новые значения ${\bar {\eta }}_{1}$ и ${\bar {\eta }}_{2}$. Если отношение ${\frac {{\bar {\eta }}_{1}}{{\bar {\eta }}_{2}}}$ не есть постоянная величина, то ${\bar {\eta }}_{1}$ и ${\bar {\eta }}_{2}$ выразятся как линейные функции $\eta _{1}$ и $\eta _{2}$:

$\left.{\begin{matrix}{\bar {\eta }}_{1}=\alpha \eta _{1}+\beta \eta _{2},\\{\bar {\eta }}_{2}=\gamma \eta _{1}+\delta \eta _{2},\end{matrix}}\right\}$[6]

(27)

‎причем определитель $\alpha \delta -\beta \gamma$ отличен от 0.

Выражение:

$\eta _{2}{\frac {d\eta _{1}}{dz}}-\eta _{1}{\frac {d\eta _{2}}{dz}},$

‎как показывает равенство (26), постоянно при всех значениях $z$. Оно сохранит свое значение и после сделанного обхода; след.

${\bar {\eta }}_{2}{\frac {d{\bar {\eta }}_{1}}{dz}}-{\bar {\eta }}_{1}{\frac {d{\bar {\eta }}_{2}}{dz}}=\eta _{2}{\frac {d\eta _{1}}{dz}}-\eta _{1}{\frac {d\eta _{2}}{dz}}.$

(28)

‎Подставляя в это равенство выражения ${\bar {\eta }}_{1},\ {\bar {\eta }}_{2}$ из формул (27), находим:

$(\alpha \delta -\beta \gamma )\left(\eta _{2}{\frac {d\eta _{1}}{dz}}-\eta _{1}{\frac {d\eta _{2}}{dz}}\right)=\eta _{2}{\frac {d\eta _{1}}{dz}}-\eta _{1}{\frac {d\eta _{2}}{dz}}.$

(29)

‎Так как величина

$\eta _{2}{\frac {d\eta _{1}}{dz}}-\eta _{1}{\frac {d\eta _{2}}{dz}}$

‎не есть 0 (иначе отношение было бы постоянно), то:

$\alpha \delta -\beta \gamma =1.$

(30)

‎Теорема доказана.

Теорема 7. Если уравнение (20) имеет алгебраические интегралы, то всякие два частных интеграла его взаимно выражаются рационально^[7] и удовлетворяют алгебраическим уравнениям одинаковых степеней.

‎Из уравнения (26) находим, что

$\eta _{1}=\left[C\int {\frac {dz}{\eta _{2}^{2}}}+\mathrm {const} \right]\eta _{2},$ $\eta _{2}=\left[C\int {\frac {dz}{\eta _{1}^{2}}}+\mathrm {const} '\right]\eta _{1},$

(31)

‎Так как левые части равенств (31) суть функции алгебраические, то и правые части их будут функциями алгебраическими. Для определенности будем говорить об одной из формул (31), напр. о первой.

Построим Риманову поверхность $S$, соответствующую функции $\eta _{2}$, построим на этой Римановой поверхности систему сечений $L$ (Querschnittsystem)^[8] с тем, чтобы превратить поверхность $S$ в односвязную (если порядок связности ее выше 1); назовем полученную односвязную поверхность через $S'$. Посмотрим, каков характер изменения функции $\int {\frac {dz}{\eta _{2}^{2}}}$ на поверхности $S$. На поверхности $S'$ функция эта однозначна, но при переходе с одного берега какого-либо из сечений системы $L$ на другой она будет приобретать некоторое постоянное приращение, называемое периодом интеграл $\int {\frac {dz}{\eta _{2}^{2}}}$. В рассматриваемом нами случае $\int {\frac {dz}{\eta _{2}^{2}}}$ есть функция алгебраическая, след. все эти периоды равны 0; а если так, то функция однозначна не только на поверхности $S'$, но и на всей поверхности $S$. То же самое, необходимо, будет справедливо для функции:

$\eta _{1}=\left[C\int {\frac {dz}{\eta _{2}^{2}}}+\mathrm {const} \right]\eta _{2}.$

(31')

‎Итак, мы нашли, что функция $\eta _{1}$ однозначно распространена на Римановой поверхности, соответствующей функции $\eta _{2}$. Вторая формула (31) таким же образом дает нам возможность доказать, что функция $\eta _{2}$ однозначно распространена на Римановой поверхности, соответствующей функции $\eta _{1}$.

Отсюда следует:

1) что функции $\eta _{1}$ и $\eta _{2}$ взаимно выражаются рационально:

$\eta _{1}=\Psi _{1}(\eta _{2},\ z),\ \eta _{2}=\Psi _{2}(\eta _{1},\ z).$

(32)

‎где $\Psi _{1}(\eta _{2},\ z)$ и $\Psi _{2}(\eta _{1},\ z)$ суть рациональные функции их аргументов;

2) что функции $\eta _{1}$ и $\eta _{2}$ удовлетворяют алгебраическим уравнениям одинаковых степеней.

Теорема доказана.

(Случай, когда отношение взятых интегралов $\eta _{1}$ и $\eta _{2}$ постоянно, не составляет исключения из этой теоремы: справедливость ее в этом случае очевидна).

Теорема 8. Каждой паре линейно-независимых частных интегралов дифференциального уравнения (21) соответствует группа^[9] линейных бинарных подстановок с определителем равным 1. Порядок этой группы равен степени уравнения (20).

Пусть $\eta _{1}$ и $\eta _{2}$ суть два линейно независимых частных интеграла уравнения (21). Совершив обход около-какой либо критической точки, мы увидим, что $\eta _{1}$ и $\eta _{2}$ примут новые значения ${\bar {\eta }}_{1},\ {\bar {\eta }}_{2}$, связанные с прежними линейной зависимостью:

$\left.{\begin{matrix}{\bar {\eta }}_{1}=\alpha \eta _{1}+\beta \eta _{2},\\{\bar {\eta }}_{2}=\gamma \eta _{1}+\delta \eta _{2},\end{matrix}}\right\}$

(33)

‎причем на основании теоремы 6:

$\alpha \delta -\beta \gamma =1.$

Принимая обычное в теории чисел обозначение, мы скажем, что новые значения ${\bar {\eta }}_{1},\ {\bar {\eta }}_{2}$ получились из прежних $\eta _{1},\ \eta _{2}$ линейным преобразованием:

${\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{pmatrix}},$

‎причем

$\alpha \delta -\beta \gamma =1.$

‎Каждому обходу около критической точки будет соответствовать подстановка такого же вида. Вообразим себе всевозможные обходы около критических точек и им соответствующие подстановки. Число этих подстановок конечно, потому что функции $\eta _{1},\ \eta _{2}$ алгебраические и имеют конечное число значений. Подстановки эти образуют группу, потому что каждые два обхода около критических точек, совершенные друг за другом, равносильны одному обходу, окружающему все критические точки, заключенные внутри обоих этих обходов.

Так как на основании теоремы 7 интеграл $\eta _{2}$ есть рациональная функция интеграла $\eta _{1}$, то число всех пар значений функций $\eta _{1},\ \eta _{2}$ равно числу различных значений функции $\eta _{1}$, т. е. равно $n$.

Порядок группы бинарных подстановок, связывающих между собой пары значений $\eta _{1},\ \eta _{2}$ равен числу этих пар значений, т. е. равен $n$.

Теорема доказана.

§ 2. Первичные формы.

Возьмем снова алгебраическое уравнение $n$-ой степени:

$F(\eta ,\ z)=0,$

(20)

‎корни которого суть частные интегралы уравнения

${\frac {d^{2}\eta }{dz^{2}}}=P\eta .$

(21)

‎Пусть

$\eta _{1},\ \eta _{2},\ \ldots ,\ \eta _{n}$

(34)

‎суть корни уравнения (20). Некоторые из этих величин разнятся между собой лишь постоянным множителем, который в таком случае есть корень некоторой степени из 1. Отбросим в ряде (34) все те величины, которые разнятся от одной из остальных лишь постоянным множителем. В оставшемся ряде корней:

$\eta _{1},\ \eta _{2},\ \ldots ,\ \eta _{\nu }$

(35)

‎не будет ни одной пары величин, отношение которых было бы постоянно. Систему (35) будем называть приведенной системой корней уравнения (20). Все остальные корни уравнения (20) будут разниться от корней приведенной системы (34) присутствием множителей вида $j^{\alpha }$, где $j$ — первообразный корень из 1 некоторой степени $\mu$. Это число $\mu$ есть делитель степени уравнения $n$, а $\alpha$ — некоторое целое число. На основании вида уравнения (7) мы можем утверждать, что уравнение (20) будет такого вида:

$A_{0}\eta ^{n}+A_{\mu }\eta ^{n-\mu }+A_{2\mu }\eta ^{n-2\mu }+\ldots +A_{n-\mu }\eta ^{\mu }+A_{n}=0.$

(36)

‎Мы видим, что если уравнению (36) удовлетворяет количество $\eta _{1}$, то ему, необходимо, удовлетворит и весь ряд количеств:

$\eta _{1},\ j\eta _{1},\ j^{2}\eta _{1},\ \ldots ,\ j^{\mu -1}\eta _{1}.$

(37)

Отсюда следует, что все корни уравнения (36), или, что то же, уравнения (20), могут быть расположены в виде таблицы:

$\left.{\begin{matrix}\eta _{1},\ j\eta _{1},\ j^{2}\eta _{1},\ \ldots ,\ j^{\mu -1}\eta _{1},\\\eta _{2},\ j\eta _{2},\ j^{2}\eta _{2},\ \ldots ,\ j^{\mu -1}\eta _{2},\\\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\\eta _{\nu },\ j\eta _{\nu },\ j^{2}\eta _{\nu },\ \ldots ,\ j^{\mu -1}\eta _{\nu }.\end{matrix}}\right\}$

(38)

‎Так как таблица эта исчерпывает все корни уравнения степени $n$, то между числами $\mu$, $\nu$ и $n$ существует соотношение:

$\mu \nu =n.$

(39)

‎Пусть $\eta '$ и $\eta ''$ есть какая-нибудь пара линейно независимых частных интегралов уравнения (21). В таком случае все корни системы (34) выразятся через них линейно:

$\eta _{i}=c_{1}^{(i)}\eta '+c_{2}^{(i)}\eta '',$

(40)

‎произведение же величин:

$\eta _{1},\ \eta _{2},\ \ldots ,\ \eta _{\nu }$

(35)

‎представится в виде целой однородной формы с переменными $\eta ',\ \eta ''$:

$\eta _{1}\eta _{2}\ldots \eta _{\nu }=\prod _{i=1}^{\nu }[c_{1}^{(i)}\eta '+c_{2}^{(i)}\eta '']=\Omega (\eta ',\ \eta '').$[10]

(41)

‎Форму $\Omega (\eta ',\ \eta '')$ мы будем называть, следуя Фуксу, первичной формой (Primform)^[11]; $\nu$ есть ее степень, а $\mu$ называется ее индексом.

Равенство (39) показывает, что степень уравнения (20) равна степени первичной формы, умноженной на ее индекс.

Теорема 9. Существует группа бинарных линейных подстановок с определителем 1, под влиянием которых первичная форма индекса $\mu$ или совсем не меняется, или приобретает множителем различные степени корня степени $\mu$ из 1.

При обходах на плоскости переменной $z$ будут происходить всевозможные перестановки в ряде количеств (34), а вместе с тем будет меняться и величина первичной формы (41). Эти перестановки в ряде (34) могут быть двоякого рода: 1) могут переместиться корни приведенной системы (35) только между собой, 2) корни приведенной системы (35) могут переместиться как между собой, так и с корнями, не входящими в эту систему. В первом случае первичная форма, как видно из равенства (41), совсем не изменяется, а во втором она приобретает множителем лишь некоторую степень количества $j$ — радикала степени $\mu$ из 1.

Итак, при всевозможных обходах на плоскости $z$ форма $\Omega (\eta ',\ \eta '')$ будет приобретать лишь множителем степени величины $j$. С другой стороны из теоремы 8 мы знаем, что каждому обходу на плоскости переменной $z$ соответствует своя линейная подстановка над $\eta ',\ \eta ''$ с определителем, равным 1, и что все эти подстановки образуют группу. Отсюда мы заключаем, что под влиянием подстановок этой группы форма $\Omega (\eta ',\ \eta '')$ будет приобретать множителем лишь различные степени количества $j$.

Теорема доказана.

Теорема 10. Всякая первичная форма^[12] индекса $\mu$ равна радикалу степени $\mu$ из некоторой рациональной функции $z$.

В теореме 9 мы видели, что под влиянием всевозможных обходов на плоскости $z$ первичная форма приобретает лишь множителем различные степени $j$ — радикала степени $\mu$ из 1. Если так, то форма:

$\Omega ^{\mu }(\eta ',\ \eta '')$

‎ни при каких обходах на плоскости $z$ меняться не будет; а так как, кроме того, мы знаем, что это алгебраическая функция $z$, то приходим к заключению, что она функция рациональная

$\Omega ^{\mu }(\eta ',\ \eta '')=R(z).$

(42)

‎Откуда:

$\Omega (\eta ',\ \eta '')={\sqrt[{\mu }]{R(z)}}.$

(43)

‎Теорема доказана.

Следует заметить однако, что степень радикала может понизиться, если функция $R(z)$ имеет вид:

$R(z)={\mathfrak {R}}^{\mu '}(z),$

‎где ${\mathfrak {R}}(z)$ есть функция рациональная, а $\mu '$ — делитель $\mu$.

Так как все корни уравнения (20) расположены в таблице (38), то свободный член уравнения (20), независимо от знака, равен произведению величин (38), т. е. он равен:

$(\eta _{1}\cdot \eta _{2}\cdot \ldots \cdot \eta _{\nu })^{\mu }=\Omega ^{\mu }(\eta ',\ \eta '').$

(44)

‎Иными словами, функция $R(z)$, стоящая во второй части равенства (42), независимо от знака, равна свободному члену уравнения (20).

Теорема 11. Если целая однородная форма $\omega (\eta ',\ \eta '')$, имеющая аргументами два линейно-независимых частных интеграла уравнения (21), равна радикалу из рациональной функции переменной $z$ и если она имеет общий линейный множитель $c_{1}^{(i)}\eta '+c_{2}^{(i)}\eta ''$ с первичной формой $\Omega (\eta ',\ \eta '')$, то она нацело делится на эту первичную форму.

Выделим в форме $\omega (\eta ',\ \eta '')$ линейный множитель:

$c_{1}^{(1)}\eta '+c_{2}^{(1)}\eta ''$:

$\omega (\eta ',\ \eta '')=(c_{1}^{(1)}\eta '+c_{2}^{(1)}\eta '')\omega _{1}(\eta ',\ \eta '').$

(45)

‎Совершим такой обход на плоскости переменной $z$, чтобы частный интеграл:

$\eta _{1}=c_{1}^{(1)}\eta '+c_{2}^{(1)}\eta ''$

(46)

‎перешел в частный интеграл:

$\eta _{i}=c_{1}^{(i)}\eta '+c_{2}^{(i)}\eta ''.$

(47)

‎Так как $\eta _{1}$ и $\eta _{i}$ суть корни одного и того же неприводимого уравнения (20), то такой обход существует.

Пусть после этого обхода функция $\omega (\eta ',\ \eta '')$ перешла в ${\bar {\omega }}(\eta ',\ \eta '')$, а функция $\omega _{1}(\eta ',\ \eta '')$ — в ${\bar {\omega }}_{1}(\eta ',\ \eta '')$:

${\bar {\omega }}(\eta ',\ \eta '')=(c_{1}^{(i)}\eta '+c_{2}^{(i)}\eta ''){\bar {\omega }}_{1}(\eta ',\ \eta '')$

(48)

‎Так как $\omega (\eta ',\ \eta '')$ есть радикал из рациональной функции переменной $z$, то после сделанного обхода она могла приобрести лишь некоторый постоянный множитель $c$:

${\bar {\omega }}(\eta ',\ \eta '')=c\cdot \omega (\eta ',\ \eta '').$

(49)

‎Приняв во внимание формулы (49) и (45), мы можем представить равенство (48) в таком виде:

$c\cdot (c_{1}^{(1)}\eta '+c_{2}^{(1)}\eta '')\omega _{1}(\eta ',\ \eta '')=(c_{1}^{(i)}\eta '+c_{2}^{(i)}\eta ''){\bar {\omega }}_{1}(\eta ',\ \eta '').$

(50)

‎Равенство это должно быть тождеством, п. ч. иначе из него можно было бы определить отношение ${\frac {\eta '}{\eta ''}}$, и это отношение оказалось бы постоянным. Тождество (50) показывает, что форма $\omega _{1}(\eta ',\ \eta '')$ должна нацело разделиться на $c_{1}^{(i)}\eta '+c_{2}^{(i)}\eta ''$, т. е. на всякий линейный множитель формы (41), кроме $c_{1}^{(1)}\eta '+c_{2}^{(1)}\eta ''$. Если так, то форма $\omega (\eta ',\ \eta '')$ делится нацело на всякий линейный множитель формы $\Omega (\eta ',\ \eta '')$, а следовательно, и на саму форму $\Omega (\eta ',\ \eta '')$.

Теорема 12. Если форма $\omega (\eta ',\ \eta '')$, имеющая аргументами два линейно независимых частных интеграла $\eta ',\ \eta ''$ уравнения (21), равна радикалу из рациональной функции $z$, то ее можно представить в виде произведения нескольких первичных форм.

Отделим в форме $\omega (\eta ',\ \eta '')$ линейный множитель $c_{1}\eta '+c_{2}\eta ''$, найдем то алгебраическое уравнение, которому удовлетворяет функция:

$(\eta )=c_{1}\eta '+c_{2}\eta '',$

(51)

‎найдем приведенную систему корней этого уравнения:

$(\eta _{1}),\ (\eta _{2}),\ \ldots ,\ (\eta _{\nu })$

‎и составим первичную форму:

$(\eta _{1})(\eta _{2})\ldots (\eta _{\nu })=\Omega _{1}(\eta ',\ \eta ''),$

(52)

‎соответствующую этому уравнению. На основании теоремы 11, форма $\omega (\eta ',\ \eta '')$, имея с первичной формой $\Omega _{1}(\eta ',\ \eta '')$ общий множитель $c_{1}\eta '+c_{2}\eta ''$, разделится на нее нацело:

$\omega (\eta ',\ \eta '')=\Omega _{1}(\eta ',\ \eta '')\omega _{1}(\eta ',\ \eta '').$

(53)

‎Так как $\omega (\eta ',\ \eta '')$ и $\Omega _{1}(\eta ',\ \eta '')$ суть радикалы из рациональной функции $z$, то и $\omega _{1}(\eta ',\ \eta '')$ есть радикал из рациональной функции $z$.

Применяя те же рассуждения к форме $\omega _{1}(\eta ',\ \eta '')$, найдем, что

$\omega _{1}(\eta ',\ \eta '')=\Omega _{2}(\eta ',\ \eta '')\omega _{2}(\eta ',\ \eta ''),$

‎где $\Omega _{2}(\eta ',\ \eta '')$ есть некоторая первичная форма. И т. д.

В результате мы найдем, что

$\omega (\eta ',\ \eta '')=\Omega _{1}(\eta ',\ \eta '')\Omega _{2}(\eta ',\ \eta '')\ldots \Omega _{\rho }(\eta ',\ \eta ''),$

(54)

‎где

$\Omega _{1}(\eta ',\ \eta ''),\ \Omega _{2}(\eta ',\ \eta ''),\ \ldots ,\ \Omega _{\rho }(\eta ',\ \eta '')$

‎суть первичные формы.

Теорема доказана.

Теорема 13. Всякий ковариант первичной формы равен радикалу из рациональной функции переменной $z$.

Пусть первичная форма $\Omega (\eta ',\ \eta '')$ такова:

${\begin{matrix}\Omega (\eta ',\ \eta '')=\alpha _{0}\eta '\,{}^{\nu }+(\nu )_{1}\alpha _{1}\eta '\,{}^{\nu -1}\eta ''+(\nu )_{2}\alpha _{2}\eta '\,{}^{\nu -2}\eta ''\,{}^{2}+\ldots \\+\,(\nu )_{\nu -1}\alpha _{\nu -1}\eta '\eta ''\,{}^{\nu -1}+\alpha _{\nu }\eta ''\,{}^{\nu }.\end{matrix}}$[13]

(54)

‎Возьмем какой-либо ковариант ее:

${\begin{matrix}c(\eta ',\ \eta '')=\alpha _{0}\eta '\,{}^{\sigma }+(\sigma )_{1}c_{1}\eta '\,{}^{\sigma -1}\eta ''+(\sigma )_{2}c_{2}\eta '\,{}^{\sigma -2}\eta ''\,{}^{2}+\ldots \\+\,(\sigma )_{\sigma -1}c_{\sigma -1}\eta '\eta ''\,{}^{\sigma -1}+c_{\sigma }\eta ''\,{}^{\sigma }.\end{matrix}}$

(55)

‎Совершим обход около какой-нибудь критической точки на плоскости переменной $z$. Пусть после этого обхода интегралы $\eta ',\ \eta ''$ перейдут в ${\bar {\eta }}',\ {\bar {\eta }}''$, причем:

$\left.{\begin{matrix}\eta '=\alpha {\bar {\eta }}'+\beta {\bar {\eta }}'',\\\eta ''=\gamma {\bar {\eta }}'+\delta {\bar {\eta }}'',\end{matrix}}\right\}\quad \alpha \delta -\beta \gamma =1.$[14]

(56)

‎Форма $\Omega (\eta ',\ \eta '')$ перейдет в $\Omega ({\bar {\eta }}',\ {\bar {\eta }}'')$, где:

${\begin{matrix}\Omega ({\bar {\eta }}',\ {\bar {\eta }}'')=\alpha _{0}{\bar {\eta }}'\,{}^{\nu }+(\nu )_{1}\alpha _{1}{\bar {\eta }}'\,{}^{\nu -1}{\bar {\eta }}''+(\nu )_{2}\alpha _{2}{\bar {\eta }}'^{\nu -2}{\bar {\eta }}''\,{}^{2}+\ldots \\+\,(\nu )_{\nu -1}\alpha _{\nu -1}{\bar {\eta }}'{\bar {\eta }}''\,{}^{\nu -1}+\alpha _{\nu }{\bar {\eta }}''\,{}^{\nu }.\end{matrix}}$

(57)

‎Так как $\Omega (\eta ',\ \eta '')$ есть радикал из рациональной функции переменной $z$, то:

$\Omega ({\bar {\eta }}',\ {\bar {\eta }}'')=j^{k}\Omega (\eta ',\ \eta ''),$

(58)

‎где $j$ — корень степени $\mu$ из единицы, а $k$ — некоторое целое число.

Подставив в $\Omega (\eta ',\ \eta '')$ вместо $\eta ',\ \eta ''$ их выражения (56), мы приведем эту форму к такому виду:

$\Omega (\eta ',\ \eta '')=A_{0}{\bar {\eta }}'\,{}^{\nu }+(\nu )_{1}A_{1}{\bar {\eta }}'\,{}^{\nu -1}{\bar {\eta }}''+\ldots +A_{\nu }{\bar {\eta }}''\,{}^{\nu }.$

(59)

‎Подставив выражения (57) и (59) в равенство (58), находим:

${\begin{matrix}\alpha _{0}{\bar {\eta }}'\,{}^{\nu }+(\nu )_{1}\alpha _{1}{\bar {\eta }}'\,{}^{\nu -1}{\bar {\eta }}''+\ldots +\alpha _{\nu }{\bar {\eta }}''\,{}^{\nu }=\\=\,j^{k}\{A_{0}{\bar {\eta }}'\,{}^{\nu }+(\nu )_{1}A_{1}{\bar {\eta }}'\,{}^{\nu -1}{\bar {\eta }}''+\ldots +A_{\nu }{\bar {\eta }}''\,{}^{\nu }\}.\end{matrix}}$

(60)

‎Равенство (60) есть тождество, потому что иначе отношение ${\frac {{\bar {\eta }}'}{{\bar {\eta }}''}}$ было бы постоянно, интегралы ${\bar {\eta }}',\ {\bar {\eta }}''$, а вместе с ними и $\eta ',\ \eta ''$ не были бы линейно независимы.

Сравнивая коэффициенты в обеих частях тождества (60), находим:

$\alpha _{0}=j^{k}A_{0},\ \alpha _{1}=j^{k}A_{1},\ \alpha _{2}=j^{k}A_{2},\ \ldots ,\ \alpha _{\nu }=j^{k}A_{\nu }.$

(61)

‎Ковариант $c(\eta ',\ \eta '')$ формы $\Omega (\eta ',\ \eta '')$ после совершенного обхода перейдет в $c({\bar {\eta }}',\ {\bar {\eta }}'')$.

Составим ковариант, подобный $c(\eta ',\ \eta '')$, для формы:

$A_{0}{\bar {\eta }}'\,{}^{\nu }+(\nu )_{1}A_{1}{\bar {\eta }}'\,{}^{\nu -1}{\bar {\eta }}''+\ldots +A_{\nu }{\bar {\eta }}''\,{}^{\nu }.$

(59')

‎Обозначим его так:

$C({\bar {\eta }}',\ {\bar {\eta }}'')$

‎и пусть:

$C(\eta ',\ \eta '')=C_{0}{\bar {\eta }}'\,{}^{\sigma }+(\nu )_{1}C_{1}{\bar {\eta }}'\,{}^{\sigma -1}{\bar {\eta }}''+\ldots +C_{\nu }{\bar {\eta }}''\,{}^{\sigma }.$

(62)

‎В силу основного свойства всякого коварианта, имеем:

$C({\bar {\eta }}',\ {\bar {\eta }}'')=(\alpha \delta -\beta \gamma )^{\lambda }c(\eta ',\ \eta ''),$

(63)

‎где $\lambda$ — некоторое целое число.

Так как:

$\alpha \delta -\beta \gamma =1,$

‎то равенство (63) принимает такой вид:

$C({\bar {\eta }}',\ {\bar {\eta }}'')=c(\eta ',\ \eta ''),$

(64)

‎Известно, что коэффициенты коварианта суть однородные функции коэффициентов данной формы и притом все одинакового измерения. Обозначим измерение коэффициентов коварианта $c(\eta ',\ \eta '')$ буквою $r$. Принимая во внимание формулы (61), получим:

$c_{0}=j^{rk}C_{0},\ c_{1}=j^{rk}C_{1},\ \ldots ,\ c_{\sigma }=j^{rk}C_{\sigma }.$

(65)

‎Вследствие этого равенство (64) преобразуется так:

$c({\bar {\eta }}',\ {\bar {\eta }}'')=j^{rk}c(\eta ',\ \eta ''),$

(66)

‎откуда:

$[c({\bar {\eta }}',\ {\bar {\eta }}'')]^{\mu }=[c(\eta ',\ \eta '')]^{\mu },$

(67)

‎т. е. степень $\mu$ коварианта $c(\eta ',\ \eta '')$ после совершенного обхода не изменила своей величины. То же самое, понятно, справедливо и для остальных обходов. Следовательно степень $\mu$ коварианта $c(\eta ',\ \eta '')$ есть рациональная функция $z$, а сам ковариант есть радикал из рациональной функции $z$.

Из теорем 12 и 13 следует, что всякий ковариант первичной формы можно представить в виде произведения нескольких первичных форм.

Каждому частному интегралу дифференциального уравнения (21) соответствует свое алгебраическое уравнение, которому он удовлетворяет; найдя приведенную систему корней этого уравнения, мы будем в состоянии найти и соответствующую ему первичную форму. Степени алгебраических уравнений на основании теоремы 7 одинаковы и равны $n$, степени же первичных форм могут быть различны. Из всех первичных форм данного дифференциального уравнения (21) особую важность имеет та, степень которой наименьшая.

Условимся во всем дальнейшем обозначать эту первичную форму через $f(\eta ',\ \eta '')$, степень ее буквой $\nu$, а индекс буквой $\mu$. Между числами $n,\ \mu ,\ \nu$ существует зависимость:

$\mu \nu =n.$

(39)

‎Теорема 14. Индекс $\mu$ первичной формы наинисшей степени $f(\eta ',\ \eta '')$ не может равняться 1.

Если индекс первичной формы равен 1, то в числе корней алгебраического уравнения, соответствующего этой форме, нет ни одной пары корней, отношение которых было бы постоянно. Степень такой формы равна $n$.

Докажем, что для дифференциального уравнения (21) можно составить первичную форму степени ниже $n$.

Пусть

$\alpha _{1},\ \alpha _{2},\ \ldots ,\ \alpha _{i}\ldots ,\ \alpha _{\rho }$

‎суть особые точки интегралов уравнения (21).

Непременно некоторые из этих точек будут точками критическими, потому что интегралы уравнения (21) суть функции многозначные.

Пусть $\alpha _{i}$ есть критическая точка.

Мы знаем, что существуют два интеграла уравнения (21), которые в области точки $\alpha _{i}$ разлагаются в ряды такого вида:

$\left.{\begin{matrix}\eta _{1}=(z-\alpha _{i})^{r_{1}}\varphi _{1}(z-\alpha _{i}),\\\eta _{2}=(z-\alpha _{i})^{r_{2}}\varphi _{2}(z-\alpha _{i}),\end{matrix}}\right\}$[15]

(68)

‎где $r_{1}$ и $r_{2}$ суть корни Фуксова определяющего уравнения:

$r(r-1)+M_{i}=0.$

(24)

‎Корни уравнения (24) рациональны и по крайней мере один из них есть число дробное: иначе точка $\alpha _{i}$ не была бы критической точкой ни для одного из интегралов уравнения (21).

Пусть $r_{1}$ число дробное.

Составим то алгебраическое уравнение, которому удовлетворяет функция:

$\eta _{1}=(z-\alpha _{i})^{r_{1}}\varphi _{1}(z-\alpha _{i}).$

(69)

‎Для этого мы должны найти все значения, приобретаемые функцией $\eta _{1}$ при всевозможных обходах на плоскости переменной $z$.

Делая обходы вокруг точки $\alpha _{i}$, мы увидим, что $\eta _{1}$ принимает такие значения:

$e^{2\pi r_{1}i}\eta _{1},\ e^{4\pi r_{1}i}\eta _{1},\ e^{6\pi r_{1}i}\eta _{1},\ \ldots$

‎В числе корней составляемого уравнения находятся такие корни, которые разнятся от корня $\eta _{1}$ постоянными множителями:

$e^{2\pi r_{1}i},\ e^{4\pi r_{1}i},\ e^{6\pi r_{1}i},\ \ldots$

‎Приведенная система корней будет содержать в себе менее, нежели $n$ корней, соответствующая первичная форма будет степени ниже $n$.

Теорема доказана.

Теорема 15. Если степень первичной формы $f(\eta ',\ \eta '')$ выше 2, то индекс ее не может равняться 2.

Если индекс первичной формы равен 2, то степень ее равна ${\frac {n}{2}}$. Докажем, что всегда можно построить первичную форму степени ниже ${\frac {n}{2}}$, если степень формы $f(\eta ',\ \eta '')$ не равна 2.

Возьмем снова те два частных интеграла $\eta ',\ \eta ''$ уравнения (21), которые в области критической точки разлагаются в ряды вида:

$\left.{\begin{matrix}\eta _{1}=(z-\alpha _{i})^{r_{1}}\varphi _{1}(z-\alpha _{i}),\\\eta _{2}=(z-\alpha _{i})^{r_{2}}\varphi _{2}(z-\alpha _{i}),\end{matrix}}\right\}$

(68)

‎где показатели степени $r_{1},\ r_{2}$ суть корни определяющего уравнения Фукса:

$r(r-1)+M_{i}=0.$

(24)

‎Для того, чтобы функции $\eta ',\ \eta ''$ были алгебраические, необходимо, чтобы корни уравнения (24) были рациональны.

Исключимъ цѣлую часть изъ числа $r_{1}$ и обозначимъ ее буквою $e$, а остающуюся положительную правильную дробь обозначимъ буквою $\varepsilon$:

$r_{1}=e+\varepsilon .$

(69)

‎Изъ уравненія (24) видно, что

$r_{1}+r_{2}=1;$

‎слѣдовательно:

$r_{2}=1-e-\varepsilon .$

(70)

‎Различимъ два случая:

1) хотя бы для одной какой-нибудь изъ критическихъ точекъ

$\alpha _{1},\ \alpha _{2},\ \ldots ,\ \alpha _{\rho }$

‎напримѣръ для $\alpha _{i}$, дробь $\varepsilon$ отлична отъ ${\frac {1}{2}}$;

2) для всѣхъ критическихъ точекъ дробь $\varepsilon$ равна ${\frac {1}{2}}$.

I. Пусть для точки $\alpha _{i}$ дробь $\varepsilon$ отлична отъ ${\frac {1}{2}}$.

Обозначимъ знаменатель дроби $\varepsilon$ буквою $l$. Число это по нашему предположенію больше 2.

Пусть:

$e^{\frac {2\pi i}{l}}=j.$

(71)

‎Тогда при $l$ обходахъ около точки $\alpha _{i}$, функція $\eta _{1}$ пріобрѣтетъ $l$ такихъ значеній:

$\eta _{1},\ j\eta _{1},\ j^{2}\eta _{1},\ \ldots ,\ j^{l-1}\eta _{1}.$

(72)

‎Всѣ $n$ значеній того уравненія, которому удовлетворяетъ функція $\eta _{1}$ могутъ быть расположены въ видѣ таблицы, подобной таблицѣ (38). Приведенная система корней этого уравненія будетъ содержать въ себѣ не болѣе ${\frac {n}{l}}$ членовъ. Соответствующая первичная форма будет степени не выше ${\frac {n}{l}}$, т. е. во всяком случае ниже ${\frac {n}{2}}$.

Это противоречит сделанному допущению, что первичная форма $f(\eta ',\ \eta '')$ наинисшей степени имеет степень равную ${\frac {n}{2}}$.

Итак, первый из указанных случаев встретиться не может.

II. Пусть для всех критических точек дробь $\varepsilon$ равна ${\frac {1}{2}}$.

Возьмем форму:

$a\eta _{1}^{2}+b\eta _{1}\eta _{2}+c\eta _{2}^{2},$

(73)

‎где $a,\ b,\ c$ — произвольно взятые постоянные числа.

Функции $\eta _{1}^{2},\ \eta _{1}\eta _{2},\ \eta _{2}^{2}$ в области точки $\alpha _{i}$ разлагаются в ряды вида:

$\left.{\begin{matrix}\eta _{1}^{2}=(z-\alpha _{i})^{1+2e}\varphi _{1}^{2}(z-\alpha _{i}),\\\eta _{2}^{2}=(z-\alpha _{i})^{1-2e}\varphi _{2}^{2}(z-\alpha _{i}),\\\eta _{1}\eta _{2}=(z-\alpha _{i})\varphi _{1}(z-\alpha _{i})\varphi _{2}(z-\alpha _{i}).\end{matrix}}\right\}$

(74)

‎Они однозначны в области особой точки $\alpha _{i}$.

Если так, то и функция (73) однозначна в области точки $\alpha _{i}$.

Возьмем форму:

$A\eta '{}^{2}+B\eta '\eta ''+C\eta ''{}^{2},$

(75)

‎где $A,\ B,\ C$ суть произвольные постоянные числа, а $\eta ',\ \eta ''$ любых два линейно-независимых частных интеграла уравнения (21).

Выразив $\eta '$ и $\eta ''$ линейно через $\eta _{1},\ \eta _{2}$, мы убедимся в том, что форма (75) приводится к виду (73) и по доказанному однозначна в области точки $\alpha _{i}$. По той же причине она однозначна в области всех остальных особых точек. Следовательно она равна рациональной функций $z$ и есть первичная форма второй степени.

Итак, мы убедились в том, что первичная форма $f(\eta ',\ \eta '')$ только тогда может иметь индекс 2, когда она второй степени.

Теорема доказана.

Теорема 16. Гессиан первичной формы $f(\eta ',\ \eta '')$ есть тоже первичная форма за исключением случая, когда форма $f(\eta ',\ \eta '')$ второй степени.

Составим гессиан (определитель Гессе) формы $f(\eta ',\ \eta '')$. Пусть это будет $H(\eta ',\ \eta '')$. На основании теоремы 13 форма $H(\eta ',\ \eta '')$, как ковариант первичной формы, будет равна радикалу из рациональной функции $z$, а потому, на основании теоремы 12, функция эта есть или первичная форма, или произведение нескольких первичных форм.

Так как степень формы $f(\eta ',\ \eta '')$ равна $\nu$, то степень $H(\eta ',\ \eta '')$ равна $2\nu -4$.

Форма $H(\eta ',\ \eta '')$ не может делиться нацело на $f(\eta ',\ \eta '')$, потому что в таком случае дополнительный множитель был бы степени $\nu -4$ и не мог бы быть ни первичной формой, ни, подавно, произведением первичных форм. (Первичная форма наинисшей степени есть форма степени $\nu$). Из того же рассуждения следует, что форма $H(\eta ',\ \eta '')$ подавно не может делиться нацело на какую-либо первичную форму степени, выше $\nu$. Итак форма $H(\eta ',\ \eta '')$ есть форма первичная.

Однако надо заметить, что наши рассуждения потеряют силу, когда

$\nu =1,\ 2,\ 3,\ 4.$

‎Разберем эти случаи в отдельности.

1) Если $\nu =1$, то гессиана не существует вовсе. В этом случае формой $f(\eta ',\ \eta '')$ будет линейная форма:

$c_{1}\eta '+c_{2}\eta ''.$

‎Этот частный интеграл равен радикалу из рациональной функции — иными словами он есть корень двучленного уравнения. Случай, когда уравнение (1), а следовательно и (20) двучленное, был нами устранен; поэтому в изучаемых нами случаях $\nu$ не может равняться 1.

2) Если $\nu =2$, то гессиан есть постоянное число (инвариант). Этот случай, действительно, особый и совершенно элементарного характера. Его мы разберем отдельно в конце настоящей главы; теперь же мы его временно устраняем из рассмотрения так же, как устранили уравнение двучленное.

3) Если $\nu =3$, то степень гессиана равна 2. Это, очевидно, невозможно: форма второй степени $H(\eta ',\ \eta '')$ не может разделиться нацело ни на кубическую форму $f(\eta ',\ \eta '')$, ни, подавно, на форму степени выше, нежели 3; а сама она не может быть первичною формой, потому что в рассматриваемом случае первичная форма наинисшей степени есть форма кубическая.

Это противоречие показывает, что случая $\nu =3$ совсем встретиться не может.

4) Если $\nu =4$, то степень гессиана тоже равна 4. Возникает сомнение, не разнится ли гессиан от формы $f(\eta ',\ \eta '')$ лишь постоянным множителем. Из теории алгебраических форм^[16] известно, что такой случай может наступить только тогда, когда форма $f(\eta ',\ \eta '')$ имеет равные корни. Так как линейные множители первичной формы $f(\eta ',\ \eta '')$ суть корни приведенной системы, то в числе их равных или отличающихся между собой только постоянным множителем оказаться не может.

Итак, за исключением случая $\nu =2$ гессиан $H(\eta ',\ \eta '')$ формы $f(\eta ',\ \eta '')$ есть первичная форма, отличная от $f(\eta ',\ \eta '')$.

Теорема доказана.

Условимся обозначать степень гессиана буквой $\nu _{1}$, индекс его буквой $\mu _{1}$; тогда

$\nu _{1}=2\nu -4,\ \mu _{1}\nu _{1}=n.$

(76)

Теорема 17. Индекс $\mu _{1}$ первичной формы $H(\eta ',\ \eta '')$ не может быть равен 1.

Если индекс $\mu _{1}$ первичной формы $H(\eta ',\ \eta '')$ равен 1, то степень $\nu _{1}$ этой формы равна $n$:

$\nu _{1}=2\nu -4=n.$

(77)

‎Так как $\nu$ — делитель числа $n$^[17], то из равенства (77) следует, что $\nu$ есть делитель числа 4; а так как мы знаем, что

$\nu \geqslant 4,$

‎то приходим к заключению, что

$\nu =4.$

‎Положив в равенстве (77):

$\nu =4,$

‎находим:

$\nu _{1}=4=n.$

‎Отсюда следует, что:

$\mu ={\frac {n}{\nu }}=1.$

‎А это противоречит теореме 14.

Теорема 18. Индекс $\mu _{1}$ первичной формы $H(\eta ',\ \eta '')$ не может равняться двум.

Если индекс $\mu _{1}$ первичной формы $H(\eta ',\ \eta '')$ равен 2, то степень $\nu _{1}$ этой формы равна ${\frac {n}{2}}$:

$\nu _{1}=2\nu -4={\frac {n}{2}}.$

(78)

‎Отсюда находим, что

$\nu =2+{\frac {n}{4}}.$

(79)

‎Следовательно число $n$ кратно четырем:

$n=4n_{1}.$

(80)

‎и поэтому:

$\nu =n_{1}+2.$

(81)

Будем различать два случая:

1) Число $n_{1}$ нечетное. Из равенства (81) видно, что $\nu$ — число взаимно простое с $n_{1}$. Так как $\nu$ есть делитель числа $n=4n_{1}$, и не меньше 4, то оно равно 4.

В таком случае из равенства (79) находим, что $n=8$.

Индекс $\mu$ первичной формы $f(\eta ',\ \eta '')$ равен:

$\mu ={\frac {n}{\nu }}=2.$

‎Это противоречит теореме 15.

2) Число $n_{1}$ четное. Из равенства (81) видно, что $\nu$ имеет с ним общий наибольший делитель 2:

$\nu =2\nu _{1},$

‎где $\nu _{1}$ — число взаимно простое с $n_{1}$.

Если

$\nu =2\nu _{1}$

‎есть делитель числа

$n=4n_{1}$

‎и числа $\nu _{1}$ и $n_{1}$ взаимно простые, то $\nu _{1}$ равно 1 или 2.

Если $\nu _{1}=1$, то $\nu =2$. Этот случай нами устранен.

Если $\nu _{1}=2$, то $\nu =4$. В таком случае из равенства (79) находим, что $n=8$ и что индекс $\mu$ первичной формы $f(\eta ',\ \eta '')$ равен:

$\mu ={\frac {n}{\nu }}=2.$

‎Это противоречит теореме 15.

Итак, действительно, индекс $\mu$ первичной формы $H(\eta ',\ \eta '')$ не может равняться 2.

§ 3. Уравнения, которым удовлетворяют отношения корней уравнения рассматриваемого класса.

Теорема 19. Отношение частных интегралов уравнения (21) удовлетворяет неприводимому алгебраическому уравнению степени:

$N=n$ или $N={\frac {n}{2}}$.

‎Пусть $\eta ',\ \eta ''$ суть два линейно независимых частных интеграла уравнения (21).

Возьмем функцию:

$u={\frac {\eta '}{\eta ''}}$

(82)

‎и построим то неприводимое^[18] уравнение, которому она удовлетворяет:

$\Psi (u,\ z)=0.$

(83)

‎Пусть степень этого уравнения равна $N$.

Ясно, что $\eta '$ есть алгебраическая функция $u$, и обратно: $u$ есть алгебраическая функция $\eta '$.

Величина $u$ есть однозначная функция $\eta '$^[19]. В самом деле, из теоремы 7 мы знаем, что $\eta ''$ есть рациональная функция $\eta '$. Вставив это выражение $\eta ''$ в формулу (82), мы найдем, что $u$ есть рациональная функция $\eta '$.

Посмотрим, сколько значений имеет $\eta '$, рассматриваемая как функция $u$.

Пусть некоторому значению $u$ соответствуют два значения $\eta '$: $\eta '$ и ${\bar {\eta }}'$.

‎Пусть обход на плоскости переменной $z$, переводящий значение $\eta '$ в ${\bar {\eta }}'$, преобразует значение $\eta ''$ в ${\bar {\eta }}''$.

В таком случае:

$u={\frac {\eta '}{\eta ''}},\quad u={\frac {{\bar {\eta }}'}{{\bar {\eta }}''}}.$

(84)

‎Отсюда:

${\frac {\eta '}{\eta ''}}={\frac {{\bar {\eta }}'}{{\bar {\eta }}''}}.$

(85)

‎Продифференцировав это равенство по $z$, находим:

${\frac {\eta ''{\dfrac {d\eta '}{dz}}-\eta '{\dfrac {d\eta ''}{dz}}}{\eta ''{}^{2}}}={\frac {{\bar {\eta }}''{\dfrac {d{\bar {\eta }}'}{dz}}-{\bar {\eta }}'{\dfrac {d{\bar {\eta }}''}{dz}}}{{\bar {\eta }}''{}^{2}}}.$

(86)

‎На основании теоремы Лиувилля имеем:

$\eta ''{\frac {d\eta '}{dz}}-\eta '{\frac {d\eta ''}{dz}}=C,$

(87)

‎где $C$ — постоянное число.

Совершив обход на плоскости переменной $z$, переводящий значения $\eta ',\ \eta ''$ в ${\bar {\eta }}',\ {\bar {\eta }}''$, найдем:

${\bar {\eta }}''{\frac {d{\bar {\eta }}'}{dz}}-{\bar {\eta }}'{\frac {d{\bar {\eta }}''}{dz}}=C.$

(88)

‎Из равенств (86), (87), (88) следует:

$\eta ''{}^{2}={\bar {\eta }}''{}^{2},$

(89)

‎а из равенств (85) и (89) заключаем, что:

$\eta '{}^{2}={\bar {\eta }}'{}^{2}.$

‎Следовательно:

$\eta '=\pm {\bar {\eta }}'.$

(90)

Мы видим, что каждому значению $u$ соответствует или одно значение $\eta '$, или два значения, разнящихся между собой знаками.

Отсюда следует, что $\eta '$ может быть представлена в виде квадратного радикала из рациональной функции $u$^[20].

Итак, мы нашли, что $u$ есть рациональная функция $\eta '$, а $\eta '$ есть квадратный радикал из рациональной функции $u$.

Отсюда следует, что степень $N$ уравнения (83) или равна^[21], или вдвое меньше степени $n$ уравнения (20):

$N=n$ или $N={\frac {n}{2}}$.

‎Теорема доказана.

Обратим внимание на следующую особенность уравнения (20): если степень уравнения (83) равна ${\frac {n}{2}}$, то неизвестная $\eta$ входит в уравнение (20) только в четных степенях.

В самом деле, в случае $N={\frac {n}{2}}$ значения функции $\eta '$ попарно разнятся знаками, как мы только что видели.

Теорема 20. Отношение частных интегралов уравнения (21) удовлетворяет алгебраическому уравнению:

${\frac {H^{\mu _{1}}(u)}{f^{\mu }(u)}}={\mathfrak {R}}(z),$

(93)

‎где ${\mathfrak {R}}(z)$ есть рациональная функция $z$, а через $H(u)$ и $f(u)$ обозначены многочлены

$H(u,\ 1),\ f(u,\ 1).$ ‎Пусть нам удалось найти для уравнения (20) первичную форму наинисшей степени: $f(\eta ',\ \eta '').$

‎Степень этой формы равна $\nu$, а индекс — $\mu$, причем:

$\mu \nu =n.$

(39)

‎Гессиан $H(\eta ',\ \eta '')$ формы $f(\eta ',\ \eta '')$, как мы знаем, есть тоже первичная форма степени $\nu _{1}=2\nu -4$ индекса $\mu _{1}$, причем:

$\mu _{1}\nu _{1}=n.$

(76')

‎Составим выражение:

${\frac {H^{\mu _{1}}(\eta ',\ \eta '')}{f^{\mu }(\eta ',\ \eta '')}}.$

(91)

‎Относительно выражения (91) можно сказать следующее:

1) оно равно рациональной функции $z$, потому что числитель и знаменатель его суть рациональные функции $z$:

${\frac {H^{\mu _{1}}(\eta ',\ \eta '')}{f^{\mu }(\eta ',\ \eta '')}}={\mathfrak {R}}(z);$

(92)

‎2) выражение (91) есть однородная функция нулевой степени относительно переменных $\eta '$ и $\eta ''$, потому что числитель и знаменатель его суть однородные функции этих переменных одинаковой степени $n$.

Положив снова

$u={\frac {\eta '}{\eta ''}}$

(82)

‎и введя для краткости обозначения:

$H(u,\ 1)=H(u),\ f(u,\ 1)=f(u),$

‎мы приведем уравнение (92) к такому виду:

${\frac {H^{\mu _{1}}(u)}{f^{\mu }(u)}}={\mathfrak {R}}(z).$

(93)

‎Теорема доказана.

Теорема 21. При $N=n$ уравнение (93) неприводимо и тождественно с уравнением (83). При $N={\frac {n}{2}}$ уравнение (93) распадается на два неприводимых уравнения степени ${\frac {n}{2}}$; эти два уравнения тождественны как между собой, так и с уравнением (83).^[22]

I. Пусть $N=n$. В этом случае уравнение (93) имеет общий корень с неприводимым уравнением (83), и степени обоих уравнений одинаковы. Следовательно они между собой тождественны.

II. Пусть $N={\frac {n}{2}}$. В этом случае, как мы знаем, каждой паре значений функций $\eta ',\ \eta ''$ соответствует другая пара значений, разнящихся от них только знаками.

Корнями уравнения (93) служат величины отношений всех пар значений $\eta ',\ \eta ''$ между собой. Ясно, что все корни уравнения (93) попарно равны между собой. Уравнение (93) распадается на два тождественных между собой уравнения степени ${\frac {n}{2}}$. Это возможно только в том случае, если $\mu _{1}$ и $\mu$ суть числа четные, а рациональная функция ${\mathfrak {R}}(z)$ есть точный квадрат:

$\mu _{1}=2\lambda _{1},\ \mu =2\lambda ,\ {\mathfrak {R}}(z)=R(z),$

(94)

‎где $R(z)$ есть некоторая рациональная функция $z$.

При выполнении этих условий уравнение (93) распадается на два одинаковых уравнения:

${\frac {H^{\lambda }(u)}{f^{\lambda }(u)}}=R(z).$

(95)

‎Это уравнение степени $N={\frac {n}{2}}$ неприводимо и тождественно с уравнением (83), что видно из таких же соображений, которые мы привели при рассмотрении предыдущего случая.

Теорема доказана.

Ради единства формул мы дальше всегда будем изображать уравнение (83) в виде (95), имея постоянно в виду два возможных случая:

$\left.{\begin{array}{rc}\mathrm {I.} &N=n,\ \lambda =\mu ,\ \lambda _{1}=\mu _{1},\ R(z)={\mathfrak {R}}(z),\\\mathrm {II.} &N={\dfrac {n}{2}},\ \lambda ={\dfrac {\mu }{2}},\ \lambda _{1}={\dfrac {\mu _{1}}{2}},\ R(z)={\sqrt {{\mathfrak {R}}(z)}},\end{array}}\right\}$

(96)

‎где $N,\ \lambda ,\ \lambda _{1}$ суть целые числа, а $R(z)$ — рациональная функция $z$. В обоих случаях имеют место соотношения:

$N=\lambda \nu =\lambda _{1}\nu _{1}.$

(97)

‎Теорема 22. Отношения частных интегралов уравнений (2) и (21) и отношения корней уравнений (1) и (20) удовлетворяют уравнениям вида:

${\frac {H^{\lambda _{1}}(u)}{f^{\lambda }(u)}}={\mathfrak {R}}(z).$

(95)

‎причем степень $N$ этого уравнения и показатели $\lambda _{1}$ и $\lambda$ определяются равенствами (96).

Справедливость теоремы для интегралов уравнения (21) была уже доказана нами выше.

Корни уравнения (20) суть частные интегралы уравнения (21); следовательно, для них теорема подавно справедлива. Из формулы (19) видно, что интегралы уравнения (2) связаны с интегралами уравнения (21) посредством соотношения:

$y=e^{-{\frac {1}{2}}\int p_{1}\,dz}\eta .$

(19')

‎Следовательно отношение интегралов:

${\frac {y'}{y''}}$ ‎уравнения (2) таково же, как и отношение интегралов: ${\frac {\eta '}{\eta ''}}$

‎уравнения (21):

$u={\frac {y'}{y''}}={\frac {\eta '}{\eta ''}}.$

(98)

‎Если так, то теорема должна быть справедлива как для дифференциального уравнения (2), так и для алгебраического уравнения (1).

Так как теорема 20 по доказанному справедлива для уравнений (1) и (2), а уравнения (20) и (21) могут быть рассматриваемы как простейший случай уравнений (1) и (2), то в дальнейшем мы снова вернемся к уравнениям (1) и (2). Уравнениями (20) и (21) мы будем пользоваться иногда для упрощения вычислений там, где это будет возможно сделать, не нарушая общности теоремы. Мы будем также иногда указывать на особенности этого более простого частного случая.

Теорема 23. Корни $y_{1},\ y_{2}$ уравнения (1) выражаются при помощи одного квадратного радикала как явные функции корня

$u={\frac {y_{1}}{y_{2}}}$

(98')

‎уравнения (95).

Пусть

$u={\frac {y_{1}}{y_{2}}}$

(98')

‎есть корень уравнения:

${\frac {H^{\lambda _{1}}(u)}{f^{\lambda }(u)}}=R(z).$

(95)

‎Продифференцируем равенство (98'):

${\frac {du}{dz}}={\frac {y_{2}{\dfrac {dy_{1}}{dz}}-y_{1}{\dfrac {dy_{2}}{dz}}}{y_{2}^{2}}}.$

(99)

‎Пользуясь теоремой Лиувилля:

$y_{2}{\frac {dy_{1}}{dz}}-y_{1}{\frac {dy_{2}}{dz}}=Ce^{-\int p_{1}\,dz},$

‎приводим уравнение (99) к такому виду:

${\frac {Ce^{-\int p_{1}\,dz}}{y_{2}^{2}}}={\frac {du}{dz}},$

‎откуда:

$y_{2}={\frac {\sqrt {C}}{\sqrt {\dfrac {du}{dz}}}}e^{-{\frac {1}{2}}\int p_{1}\,dz}.$

(100)

‎Из равенств (98') и (100) находим:

$y_{1}={\frac {u{\sqrt {C}}}{\sqrt {\dfrac {du}{dz}}}}e^{-{\frac {1}{2}}\int p_{1}\,dz}.$

(101)

‎Для нахождения производной ${\frac {du}{dz}}$ дифференцируем уравнение (95):

${\frac {H^{\lambda _{1}-1}(u)}{f^{\lambda +1}(u)}}\left\{\lambda _{1}f(u){\frac {dH(u)}{du}}-\lambda H(u){\frac {df(u)}{du}}\right\}{\frac {du}{dz}}={\frac {dR(z)}{dz}}.$

(102)

‎Полагая:

$\lambda _{1}f(u){\frac {dH(u)}{du}}-\lambda H(u){\frac {df(u)}{du}}=NT(u),$[23]

(103)

‎находим:

$N{\frac {H^{\lambda _{1}-1}(u)T(u)}{f^{\lambda +1}(u)}}{\frac {du}{dz}}={\frac {dR(z)}{dz}},$

(104)

‎откуда, принимая во внимание уравнение (95), имеем:

${\frac {du}{dz}}={\frac {f(u)H(u){\dfrac {dR(z)}{dz}}}{NT(u)R(z)}}.$

(105)

‎Подставив это выражение в формулы (101) и (100), находим:

$\left.{\begin{matrix}y_{1}=ku{\sqrt {\dfrac {T(u)R(z)}{f(u)H(u){\dfrac {dR(z)}{dz}}}}}e^{-{\frac {1}{2}}\int p_{1}\,dz},\\y_{2}=k{\sqrt {\dfrac {T(u)R(z)}{f(u)H(u){\dfrac {dR(z)}{dz}}}}}e^{-{\frac {1}{2}}\int p_{1}\,dz},\end{matrix}}\right\}$

(106)

‎где $k$ есть некоторое постоянное число.

Из формул (106) следует, что доказываемая теорема справедлива.

Для уравнения (20) формулы (106) несколько упрощаются:

$\left.{\begin{matrix}\eta _{1}=ku{\sqrt {\dfrac {T(u)R(z)}{f(u)H(u){\dfrac {dR(z)}{dz}}}}},\\\eta _{2}=k{\sqrt {\dfrac {T(u)R(z)}{f(u)H(u){\dfrac {dR(z)}{dz}}}}}.\end{matrix}}\right\}$

(107)

‎Из теоремы 23 следует, что задача о решении уравнений (1) и (20) приводится к задаче о решении уравнения (95): корни уравнений (1) и (20) выражены нами как явные функции корней уравнения (95).

Вследствие этого мы с особенной полнотой будем изучать свойства и способы решения уравнений (95). Ниже мы увидим, что корни всех уравнений, разрешимых в гипергеометрических функциях, выражаются как явные функции корней уравнений вида (95).

§ 4. Случаи, когда дифференциальное уравнение имеет первичную форму второй стенени.

Пусть дифференциальное уравнение (21) имеет первичную форму 2-ой степени:

$(\alpha \eta '+\beta \eta '')(\gamma \eta '+\delta \eta '').$

(108)

‎Положив:

$\alpha \eta '+\beta \eta ''=\eta _{1},$ $\gamma \eta '+\delta \eta ''=\eta _{2},$

(109)

‎мы приведем первичную форму (108) к виду:

$f(\eta _{1},\ \eta _{2})=\eta _{1}\eta _{2}.$

(110)

‎Функции $\eta _{1}$ и $\eta _{2}$ суть частные интегралы дифференциального уравнения (21) и корни алгебраического уравнения (20) степени $n$.

Индекс первичной формы (110) равен:

$\nu ={\frac {n}{2}}.$

‎Следовательно, степень $n$ четная.

Положив:

$n=2m,$

‎мы находим, что индекс первичной формы 2-ой степени (110) равен $m$.

Из свойств первичной формы следует, что

$(\eta _{1}\eta _{2})^{m}={\mathfrak {R}}(z),$

(111)

‎где ${\mathfrak {R}}(z)$ рациональная функция $z$.

На основании вида уравнения (36) мы можем сказать, что то алгебраическое уравнение, которому удовлетворяют частные интегралы $\eta _{1},\ \eta _{2}$ должно быть таково:

$A_{0}\eta ^{2m}+A_{m}\eta ^{m}+A_{2m}=0,$

(112)

‎где $A_{0},\ A_{m},\ A_{2m}$ суть рациональные функции $z$.

Все корни этого уравнения могут быть расположены в следующей таблице:

$\left.{\begin{matrix}\eta _{1},\ j\eta _{1},\ j^{2}\eta _{1},\ \ldots ,\ j^{m-1}\eta _{1},\\\eta _{2},\ j\eta _{2},\ j^{2}\eta _{2},\ \ldots ,\ j^{m-1}\eta _{2},\end{matrix}}\right\}$

(113)

‎где $j$ есть первообразный корень степени $m$ из 1.

Произведение всех корней уравнения (112) равно:

${\frac {A_{2m}}{A_{0}}}.$

‎Следовательно

$(\eta _{1}\eta _{2})^{m}={\frac {A_{2m}}{A_{0}}}.$

(114)

‎Из равенств (111) и (114) находим:

${\mathfrak {R}}(z)={\frac {A_{2m}}{A_{0}}}.$

(115)

‎Это равенство определяет функцию ${\mathfrak {R}}(z)$.

Корни уравнения (112) определяются формулой:

$\eta ={\sqrt[{m}]{\frac {-A_{m}+{\sqrt {A_{m}^{2}-4A_{0}A_{2m}}}}{2A_{0}}}},$

(116)

‎где радикалы должны последовательно получать все свои значения.

Итак, случай существования первичной формы 2-ой степени по характеру своему совершенно элементарный^[24].

Ради полноты изложения составим то алгебраическое уравнение, которому удовлетворяют отношения корней уравнения (112).

Положив:

${\frac {\eta _{1}}{\eta _{2}}}=u,$

‎мы легко находим, что $u$ есть корень уравнения:

${\frac {\left({\dfrac {u^{m}+1}{2}}\right)^{2}}{u^{m}}}=R(z),$

(117)

‎где

$R(z)={\frac {A_{m}^{2}}{4A_{0}A_{2m}}}.$

(118)

‎Это уравнение того же типа, как и уравнение (95). Разница только в том, что:

${\frac {u^{m}+1}{2}}$

‎не есть гессиан функции $u$^[25].

Для большего сходства формул мы будем полагать:

$f(u)=u,\ H(u)={\frac {u^{m}+1}{2}}.$

(119)

‎Тогда уравнение (117) примет вид:

${\frac {H^{2}(u)}{f^{m}(u)}}=R(z).$

(120)

‎Это уравнение того же типа и обладает теми же свойствами, как и уравнение (95). В дальнейшем мы его больше не будем выделять из общей теории. Не лишено интереса то замечание, что корни уравнения (112) могут быть выражены при помощи формул (107) через корень и уравнения (120). При этом функциональный определитель $T(u)$ функций $f(u)$ и $H(u)$ выразится так:

$T(u)={\frac {u^{m}-1}{2}}.$

(121)

---

Сноски

1. Эта теорема и следующие за ней теоремы параграфа 1 и отчасти параграфа 2 заимствованы мной из мемуара Фукса: Über die linearen Differentialgleihungen Zweiter Ordnung, welche algebraische Integrale besitzen, und eine neue Anwendung der Invariantentheorie. Журнал Крелле, т. 81, стр. 97.
2. Т. е. не имеют существенно особых точек.
3. См. Анисимов. Основания теории линейных дифференциальных уравнений. Стр. 40.
4. См. Анисимов ibidem стр. 49.
5. Уравнение (16), а равно и вид (14) коэффициентов $p_{1}$ и $p_{2}$ можно получить очень просто из общих формул Фукса. См. Анисимов ibidem стр. 96.
6. Величины $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma ,\ \delta$ называются коэффициентами обхода.
7. В коэффициенты этих рациональных функций может входить переменная $z$, и притом коэффициенты сами суть рациональные функции $z$. Переменная $z$ рассматривается как величина данная.
8. О системах сечений Римановой поверхности см. Neumann Theorie der Abelschen Integrale, глава VII, § 13.
9. Под группой каких бы то ни было операций мы подразумеваем совокупность

   $S_{0},\ S_{1},\ S_{2},\ \ldots ,\ S_{n-1}$

   (a)

   операций, обладающих тем свойством, что комбинация $S_{i}S_{j}$ всяких двух операций этой совокупности есть снова некоторая операция $S_{h}$, принадлежащая к той же совокупности (a). Порядком группы называется число различных операций, входящих в совокупность (a).
   ‎Бинарной линейной подстановкой мы будем называть однородное линейное преобразование двух переменных следующего вида: ${\begin{matrix}{\bar {\eta }}_{1}=\alpha \eta _{1}+\beta \eta _{2},\\{\bar {\eta }}_{2}=\gamma \eta _{1}+\delta \eta _{2},\end{matrix}}$
   причем $\alpha \delta -\beta \gamma$ носит название определителя подстановки.
   ‎Ниже нам часто придется иметь дело с линейным неоднородным преобразованием одной переменной: ${\bar {u}}={\frac {\alpha u+\beta }{\gamma u+\delta }}.$
   Такое преобразование мы будем называть просто линейной подстановкой.
10. Если мы примем $\eta '=\eta _{1},\ \eta ''=\eta _{2}$ (что мы вправе сделать, потому что отношение ${\frac {\eta _{1}}{\eta _{2}}}$ не есть величина постоянная), то форма $\Omega (\eta _{1},\ \eta _{2})$ будет иметь множителем $\eta _{1}\eta _{2}$, т. е. в форме $\Omega (\eta _{1},\ \eta _{2})$ коэффициенты при $\eta _{1}^{\nu }$ и $\eta _{2}^{\nu }$ будут равны 0. С такими формами мы впоследствии будем встречаться.
11. Клейн называет такие формы основными формами (Grundformen).
12. В этой и последующих теоремах мы должны помнить, что аргументы $\eta ',\ \eta ''$ первичной формы суть частные интегралы уравнения (21).
13. Величины: $(\nu )_{1},\ (\nu )_{2},\ (\nu )_{3},\ \ldots$
    ‎суть биномиальные коэффициенты.
14. На основании теоремы 6.
15. В § 1 это было доказано для уравнения (2). Уравнение (21) есть простейший частный случай уравнения (2).
16. См. Clebsch. Theorie der binären algebraischen Formen стр. 163 или: Gordan. Vorlesungen über Invariantentheorie, том 2, стр. 197.
17. Потому что $\mu \nu =n$.
18. Если бы полученное уравнение оказалось приводимым, то мы отделили бы тот неприводимый множитель левой части уравнения, который имеет корнем величину (82). Приравняв этот множитель нулю, мы нашли бы неприводимое уравнение (83).
19. В коэффициенты этой функции может входить переменная $z$; притом эти коэффициенты будут рациональны относительно $z$. Переменная $z$ мы рассматриваем как величину данную.
20. Подкоренная функция может содержать переменную $z$, в таком случае коэффициенты ее будут рациональными функциями $z$. Выражение этой функции приведено ниже.
21. Если корень извлекается точно.
22. Корректную формулировку теоремы см. в Поправке. — Примечание редактора Викитеки.
23. Бинарная форма $T(\eta ',\ \eta '')$, соответствующая многочлену $T(u)$, есть функциональный определитель форм $f(\eta ',\ \eta '')$ и $H(\eta ',\ \eta '')$. Отсюда следует, что форма $T(\eta ',\ \eta '')$ есть ковариант первичной формы $f(\eta ',\ \eta '')$ и потому равна радикалу из рациональной функции переменной $z$. Впоследствии мы часто будем пользоваться многочленом $T(u)$.
24. Не лишено интереса такое замечание: всякое кубическое уравнение вида:

    $y^{3}+py+q=0$

    (a)

    имеет корнями частные интегралы некоторого линейного дифференциального уравнения второго порядка. Оба радикала Кардановой формулы:

    $\eta _{1}={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}-{\frac {p^{3}}{27}}}}}}$ и $\eta _{2}={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}-{\frac {p^{3}}{27}}}}}}$

    (b)

    суть частные интегралы того же дифференциального уравнения, и в то же время они суть корни уравнения 6-ой степени:

    $\eta ^{6}+q\eta ^{3}+{\frac {p^{3}}{27}}=0.$

    (c)

    Произведение $\eta _{1}\eta _{2}$
    есть первичная форма второй степени индекса 3:

    $\eta _{1}\eta _{2}={\sqrt[{3}]{\frac {p^{3}}{27}}}={\frac {p}{3}}.$

    (d)

25. Если $f(\eta _{1},\ \eta _{2})=\eta _{1}\eta _{2}$, то $f(u)=u$.