Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/32

Построимъ Риманнову поверхность $S$, соотвѣтствующую функцію $\eta _{2}$, построимъ на этой Риманновой поверхности систему сѣченій $L$ (Querschnittsystem)^[1] съ тѣмъ, чтобы превратить поверхность $S$ въодносвязную (если порядокъ связности ея выше 1); назовемъ полученную односвязную поверхность черезъ $S'$. Посмотримъ, каковъ характеръ измѣненія функціи $\int {\frac {dz}{\eta _{2}^{2}}}$ на поверхности $S$. На поверхности $S'$ функція эта однозначна, но при переходѣ съ одного берега какого либо изъ сѣченій системы $L$ на другой она будетъ пріобрѣтать нѣкоторое постоянное приращеніе, называемое періодомъ интеграл $\int {\frac {dz}{\eta _{2}^{2}}}$. Въ разсматриваемомъ нами случаѣ $\int {\frac {dz}{\eta _{2}^{2}}}$ есть функція алгебраическая, слѣд. всѣ эти періоды равны 0; а если такъ, то функція однозначна не только на поверхности $S'$, но и на всей поверхности $S$. То же самое, необходимо, будетъ справедливо для функціи:

$\eta _{1}=\left[C\int {\frac {dz}{\eta _{2}^{2}}}+Const.\right]\eta _{2}.$

(31')

‎И такъ, мы нашли, что функція $\eta _{1}$ однозначно распространена на Риманновой поверхности, соотвѣтствующей функціи $\eta _{2}$. Вторая формула (31) такимъ же образомъ даетъ намъ возможность доказать, что функція $\eta _{2}$ однозначно распространена на Риманновой поверхности, соотвѣтствующей функціи $\eta _{1}$.

Отсюда слѣдуетъ:

1) что функціи $\eta _{1}$ и $\eta _{2}$ взаимно выражаются раціонально:

$\eta _{1}=\Psi _{1}(\eta _{2},\ z),\ \eta _{2}=\Psi _{2}(\eta _{1},\ z).$

(32)

1. О системахъ сѣченій Риманновой поверхности см. Neumann Theorie der Abelschen Integrale глава VII, § 13.

Тот же текст в современной орфографии

Построим Риманову поверхность $S$, соответствующую функцию $\eta _{2}$, построим на этой Римановой поверхности систему сечений $L$ (Querschnittsystem)^[1] с тем, чтобы превратить поверхность $S$ водносвязную (если порядок связности ее выше 1); назовем полученную односвязную поверхность через $S'$. Посмотрим, каков характер изменения функции $\int {\frac {dz}{\eta _{2}^{2}}}$ на поверхности $S$. На поверхности $S'$ функция эта однозначна, но при переходе с одного берега какого-либо из сечений системы $L$ на другой она будет приобретать некоторое постоянное приращение, называемое периодом интеграл $\int {\frac {dz}{\eta _{2}^{2}}}$. В рассматриваемом нами случае $\int {\frac {dz}{\eta _{2}^{2}}}$ есть функция алгебраическая, след. все эти периоды равны 0; а если так, то функция однозначна не только на поверхности $S'$, но и на всей поверхности $S$. То же самое, необходимо, будет справедливо для функции:

$\eta _{1}=\left[C\int {\frac {dz}{\eta _{2}^{2}}}+\mathrm {const} \right]\eta _{2}.$

(31')

‎Итак, мы нашли, что функция $\eta _{1}$ однозначно распространена на Римановой поверхности, соответствующей функции $\eta _{2}$. Вторая формула (31) таким же образом дает нам возможность доказать, что функция $\eta _{2}$ однозначно распространена на Римановой поверхности, соответствующей функции $\eta _{1}$.

Отсюда следует:

1) что функции $\eta _{1}$ и $\eta _{2}$ взаимно выражаются рационально:

$\eta _{1}=\Psi _{1}(\eta _{2},\ z),\ \eta _{2}=\Psi _{2}(\eta _{1},\ z).$

(32)

1. О системах сечений Римановой поверхности см. Neumann Theorie der Abelschen Integrale, глава VII, § 13.