Алгебраические уравнения, разрешимые в гипергеометрических функциях (Лахтин)/Глава I/ДО

Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ — Глава I. Свойства алгебраическихъ уравненій, имѣющихъ корнями частные интегралы линейнаго дифференціальнаго уравненія втораго порядка
авторъ Л. К. Лахтинъ

§ 1. Основныя свойства  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

615

§ 2. Первичныя формы  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

631

§ 3. Уравненія, которымъ удовлетворяютъ отношенія корней уравненій разсматриваемаго класса  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

648

§ 4. Случай, когда дифференціальное уравненіе имѣетъ первичную форму второй степени  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

657

---

Глава I.

Свойства алгебраическихъ уравненій, имѣющихъ корнями частные интегралы линейнаго дифференціальнаго уравненія втораго порядка.

‎Мы начнемъ изученіе алгебраическихъ уравненій, разрѣшимыхъ въ гипергеометрическихъ функціяхъ, съ разсмотрѣнія свойствъ двухъ классовъ, относящихся сюда уравненій.

Это суть уравненія, корнями которыхъ служатъ: 1) частные интегралы, 2) отношенія частныхъ интеграловъ линейнаго дифференціальнаго уравненія 2-го порядка съ раціональными алгебраическими коэффиціентами.

Если это дифференціальное уравненіе есть гипергеометричеcкое, то ясно само собою, что то алгебраическое уравненіе, которому удовлетворяютъ его интегралы или отношенія интеграловъ, разрѣшимо въ гипергеометрическихъ функціяхъ. Но важно, то, что всѣ уравненія сказанныхъ двухъ классовъ разрѣшимы въ гипергеометрическихъ функціяхъ, какъ выяснится въ главѣ II.

Предметомъ настоящей I главы нашей работы служитъ изученіе свойствъ перваго изъ двухъ только что указанныхъ классовъ.

§ 1. Основныя свойства.

Пусть алгебраическое уравненіе:

${\mathit {\Phi }}(y,\ z)=0$

(1)

‎степени $m$ имѣетъ корнемъ частный интегралъ линейнаго дифференціальнаго уравненія 2-го порядка:

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+p_{1}{\frac {dy}{dx}}+p_{2}y=0,$

(2)

‎гдѣ коэффиціенты $p_{1}$ и $p_{2}$ суть раціональныя алгебраическія функціи $z$.

Пусть уравненіе (1) неприводимо и, кромѣ того, не двучленное, потому что двучленное уравненіе всегда способно удовлетворяться частными интегралами нѣкотораго линейнаго дифференціальнаго уравненія 2-го порядка и имѣетъ совершенно иной характеръ сравнительно съ другими уравненіями изучаемаго нами класса. Вслѣдствіе этого мы его временно совершенно устраняемъ съ тѣмъ, чтобы впослѣдствіи пополнить наше изложеніе указаніемъ на его особенности.

Обозначимъ корни уравненія (1) такъ:

$y_{1},\ y_{2},\ \ldots ,\ y_{m},$

(3)

‎Это суть нѣкоторыя функціи $z$.

Докажемъ, что имѣетъ мѣсто:

Теорема 1^[1]. Если отношеніе двухъ количествъ ряда (3) постоянно, то оно равно радикалу нѣкоторой степени изъ 1.

Пусть:

${\mathit {\Phi }}(y,\ z)=a_{0}y^{m}+a_{1}y^{m-1}+\ldots +a_{m-1}y+a_{m},$

(4)

‎гдѣ

$a_{0},\ a_{1},\ \ldots ,\ a_{m}$

‎суть раціональныя алгебраическія функціи $z$, и пусть

${\frac {y_{2}}{y_{1}}}=c$

‎гдѣ $c$ постоянное.

Тогда мы имѣемъ два тождества:

$\left.{\begin{matrix}a_{0}y_{1}^{m}+a_{1}y^{m-1}+\ldots +a_{m-1}y_{1}+a_{m}=0,\\a_{0}c^{m}y_{1}^{m}+a_{1}c^{m-1}y_{1}^{m-1}+\ldots +a_{m-1}cy_{1}+a_{m}=0.\end{matrix}}\right\}$

(5)

‎Такъ какъ уравненіе (1) по нашему предположенію неприприводимо, то изъ равенствъ (5) слѣдуетъ:

$\left.{\begin{matrix}a_{0}=a_{0}c^{m},\\a_{1}=a_{1}c^{m-1},\\a_{2}=a_{2}c^{m-2},\\\cdots \cdots \cdots \cdots \\a_{m-1}=a_{m-1}c.\end{matrix}}\right\}$

(6)

‎Такъ какъ $a_{0}$ не есть 0, то

$c^{m}=1,$

‎что и доказываетъ справедливость теоремы: $c$ равно радикалу нѣкоторой степени $\mu$ изъ 1, при чемъ $\mu$ есть дѣлитель степени $m$ уравненія (1).

Обозначивъ корень степени $\mu$ изъ 1 черезъ $j_{\mu }$, имѣемъ:

$c=j_{\mu }.$

‎Изъ тождествъ (5) мы видимъ, что всѣ коэффиціенты $a_{i}$, у которыхъ индексъ $i$ не дѣлится нацѣло на $\mu$, должны равняться нулю—иначе равенства (6) были бы невозможны. Отсюда заключаемъ, что уравненіе (1) таково:

$a_{0}y^{m}+a_{\mu }y^{m-\mu }+a_{2\mu }y^{m-2\mu }+\ldots +a_{m-\mu }y^{\mu }+a_{m}=0.$

(7)

‎Теорема 2. Всѣ отношенія корней (3), взятыхъ попарно, не могутъ быть постоянными.

Допустимъ, что всѣ отношенія корней (3), взятыхъ попарно, оказались постоянными. Тогда эти корни (3) представятся въ такомъ видѣ:

$y_{1},\ j_{\mu _{1}}y_{1},\ j_{\mu _{2}}y_{1},\ \ldots ,\ j_{\mu _{m-1}}y_{1},$

‎гдѣ $j_{\mu _{1}},\ j_{\mu _{2}},\ \ldots ,\ j_{\mu _{m-1}}$ суть корни изъ 1 степеней соотвѣтственно равныхъ:

$\mu _{1},\ \mu _{2},\ \ldots ,\ \mu _{m-1}.$

‎Всѣ эти числа $\mu _{i}$, какъ мы видѣли, должны быть дѣлителями числа $m$. Пусть наименьшее кратное чиселъ $\mu _{i}$ есть $\mu$. Число $\mu$ будетъ тоже дѣлителемъ числа $m$; слѣдовательно оно будетъ или меньше $m$, или равно $m$. Обозначимъ первообразный корень степени $\mu$ изъ 1 буквою $j$; тогда количества $j_{\mu _{i}}$ выразятся, какъ степени взятаго первообразнаго корня $j$:

$j^{\alpha _{1}},\ j^{\alpha _{2}},\ \ldots ,\ j^{\alpha _{m-1}}.$

‎Число этихъ количествъ равно $m-1$ и всѣ они различны между собою и отличны отъ 1. Это показываетъ:

1) что числа

$\alpha _{1},\ \alpha _{2},\ \ldots ,\ \alpha _{m-1}$

‎представляютъ собою рядъ натуральныхъ чиселъ:

$1,\ 2,\ 3,\ \ldots ,\ m-1,$

‎только, быть можетъ, въ измѣненномъ порядкѣ;

2) что степень $\mu$ должна равняться $m$.

Итакъ, $j$ есть первообразный корень степени $m$ изъ 1.

Корни (3) при сдѣланномъ предположеніи, представляются въ такомъ видѣ:

$y_{1},\ jy_{1},\ j^{2}y_{1},\ \ldots ,\ j^{m-1}y_{1}.$

‎А это значитъ, что уравненіе (1) есть уравненіе двучленное:

$y^{m}=y_{1}^{m},$

‎гдѣ $y_{1}^{m}$ есть раціональная функція $z$.

Такъ какъ взятое уравненіе (1) было не двучленное, то мы пришли къ противорѣчію.

Теорема доказана.

Теорема 3. Если одинъ изъ корней уравненія (1) удовлетворятъ дифференціальному уравненію (2), то ему удовлетворятъ всѣ корни уравненія (1).

Изъ уравненія (1) мы имѣемъ:

${\frac {dy}{dz}}=-{\frac {\frac {\partial {\mathit {\Phi }}(y,\ z)}{\partial z}}{\frac {\partial {\mathit {\Phi }}(y,\ z)}{\partial y}}}=\Psi (y,\ z),$

(8)

${\frac {d^{2}y}{dz^{2}}}={\frac {\partial \Psi (y,\ z)}{\partial y}}\Psi (y,\ z)+{\frac {\partial \Psi (y,\ z)}{\partial z}}=\mathrm {X} (y,\ z).$

(9)

‎Если корень $y_{1}$ уравненія (1) удовлетворяетъ уравненію (2), то это значитъ, что имѣетъ мѣсто тождество:

$\mathrm {X} (y_{1},\ z)+p_{1}\Psi (y_{1},\ z)+p_{2}y_{1}=0.$

(10)

‎Слѣдовательно корень $y_{1}$ уравненія (1) удовлетворяетъ также уравненію

$\mathrm {X} (y,\ z)+p_{1}\Psi (y,\ z)+p_{2}y=0.$

(11)

‎Вслѣдствіе неприводимости уравненія (1), уравненію (11) должны удовлетворять и всѣ остальные корни уравненія (1); а это и значитъ, что всѣ они удовлетворяютъ дифференціальному уравненію (2).

Теорема 4. Если какой нибудь корень уравненія (1) удовлетворяетъ уравненію (2), то общій интегралъ уравненія (2) представится въ видѣ:

$c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2},$

‎гдѣ $c_{1}$ и $c_{2}$ суть постоянныя числа, а $y_{1}$ и $y_{2}$ суть любые два корня уравненія (1), отношеніе которыхъ не есть величина постоянная.

Если какой нибудь корень уравненія (1) удовлетворяетъ уравненію (2), то на основаніи теоремы 3 всѣ корни уравненія (1) удовлетворятъ уравненію (2) и будутъ его частными интегралами; слѣд. въ разсматриваемомъ случаѣ $y_{1}$ и $y_{2}$ будутъ частными интегралами уравненія (2) и при томъ линейно-независимыми, ибо по условію отношеніе ${\frac {y_{1}}{y_{2}}}$ не есть величина постоянная.

Если такъ, то функція

$c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2},$

‎есть дѣйствительно общій интегралъ уравненія (2).

На основаніи теоремы 2 въ числѣ корней уравненія (1) всегда найдется хотя бы одна пара корней, отношеніе которыхъ не есть величина постоянная.

Теорема 5. Если одинъ изъ корней уравненія (1) удовлетворяетъ уравненію (2), то всѣ интегралы уравненія (2) будутъ алгебраическіе.

На основаніи теоремы 4 въ разсматриваемомъ случаѣ всѣ интегралы уравненія (2) представятся въ видѣ:

$c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2},$

‎т. е. въ видѣ раціональной функціи двухъ корней алгебраическаго уравненія. Извѣстно, что такая функція сама есть корень нѣкотораго алгебраическаго уравненія.

---

Опредѣлимъ теперь нѣсколько ближе видъ функцій $p_{1}$ и $p_{2}$, входящихъ въ дифференціальное уравненіе (2).

Прежде всего замѣтимъ, что если какой либо корень уравненія (1) удовлетворяетъ уравненію (2), то всѣ частные интегралы дифференціальнаго уравненія (2) суть правильные^[2] на всей Нейманновой сферѣ и имѣютъ конечное число особыхъ точекъ. Въ самомъ дѣлѣ, мы видѣли, что всѣ эти частные интегралы суть функціи алгебраическія; слѣдовательно они имѣютъ лишь конечное число полюсовъ и критическихъ точекъ алгебраическаго характера, а существенно особыхъ точекъ совсѣмъ не имѣютъ.

Эта особенность уравненія (2) въ значительной степени его опредѣляетъ.

Въ самомъ дѣлѣ, извѣстно, что особыми точками частныхъ интеграловъ уравненія (2) могутъ служить: точка $z=\infty$ и тѣ точки, гдѣ $p_{1}$ или $p_{2}$ обращаются въ безконечность.

Что касается до точки $z=\infty$, то мы въ правѣ считать ее простою точкою, п. ч. въ противномъ случаѣ мы могли бы преобразовать уравненіе (2) линейною подстановкою вида:

$z={\frac {\alpha z'+\beta }{\gamma z'+\delta }}$

‎такъ, чтобы въ преобразованномъ уравненіи точка $z'=\infty$ была простою точкою.

Пусть $\alpha _{i}$ есть особая точка интеграловъ уравненія (2). Это значитъ, что $p_{1}$ или $p_{2}$, или обѣ функціи вмѣстѣ при $z=\alpha _{i}$ обращаются въ безконечность.

Извѣстно^[3], что линейное дифференціальное уравненіе 2-го порядка (2) должно имѣть два линейно-независимыхъ частныхъ интеграла, которые въ области не существенно особой точки $z=\alpha _{i}$ разлагаются въ ряды вида:

$\left.{\begin{matrix}y_{1}=(z-\alpha _{i})^{r_{1}}\varphi _{1}(z-\alpha _{i}),\\y_{2}=(z-\alpha _{i})^{r_{2}}\varphi _{2}(z-\alpha _{i}),\end{matrix}}\right\}$

(12)

‎гдѣ $\varphi _{1}(z-\alpha _{i})$ и $\varphi _{2}(z-\alpha _{i})$ суть функціи голоморфныя въ области точки $\alpha _{i}$ и отличныя отъ нуля при $z=\alpha _{i}$.

Исключеніе представляетъ только тотъ случай, когда показатели $r_{1}$ и $r_{2}$ оказываются равными:

$r_{1}=r_{2}.$

‎Въ этомъ случаѣ существуетъ два линейно-независимыхъ частныхъ интеграла, разлагающихся въ области точки $\alpha _{i}$ въ ряды такого вида:

$y_{1}=(z-\alpha _{i})^{r_{1}}\varphi _{1}(z-\alpha _{i}),$ $y_{2}=(z-\alpha _{i})^{r_{1}}[\varphi _{2}(z-\alpha _{i})+lg(z-\alpha _{i})\varphi _{3}(z-\alpha _{i})].$^[4]

‎Если въ уравненіи (2) всѣ интегралы алгебраическіе, то этотъ послѣдній случай встрѣтиться не можетъ.

Поэтому мы въ правѣ утверждать, что уравненіе (2) въ области особой точки непремѣнно имѣетъ два частныхъ интеграла вида (12) съ различными между собою показателями степени $r_{1}$ и $r_{2}$.

Подставивъ въ уравненіе (2) выраженіе

$y=(z-\alpha _{i})^{r_{j}}\varphi _{i}(z-\alpha _{i}),$ гдѣ $j=1$ или 2,

(12')

‎найдемъ:

${\begin{matrix}r_{j}(r_{j}-1)(z-\alpha _{i})^{r_{j}-2}\varphi _{j}(z-\alpha _{i})+r_{j}p_{1}(z-\alpha _{i})^{r_{j}-1}\varphi _{j}(z-\alpha _{i})+\\+\,p_{2}(z-\alpha _{i})^{r_{j}}\varphi _{j}(z-\alpha _{i})+\ldots =0,\end{matrix}}$

(13)

‎Для нахожденія величинъ $r_{1}$ и $r_{2}$ мы отберемъ въ лѣвой части тождества (13) коэффиціентъ при наинисшей степени $(z-\alpha _{i})$ и приравняемъ его нулю. Полученное такимъ образомъ уравненіе должно быть квадратнымъ относительно $r_{j}$: ему должно удовлетворять два не равныхъ между собою корня $r_{1}$ и $r_{2}$. Слѣдовательно наинисшая степень $z-\alpha _{i}$ лѣвой части тождества (13) есть $r_{j}-2$. Коэффиціенты $p_{1}$ и $p_{2}$, какъ мы знаемъ, могутъ (одинъ изъ нихъ даже долженъ) имѣть полюсъ въ точкѣ $\alpha _{i}$. Изъ тождества (13) заключаемъ, что порядокъ этого полюса для функціи $p_{1}$—не выше 1, а для функціи $p_{2}$—не выше 2. Поэтому коэффиціенты $p_{1}$ и $p_{2}$ можно представить въ такомъ видѣ:

$p_{1}={\frac {\pi _{1}}{z-\alpha _{i}}},\ p_{2}={\frac {\pi _{2}}{(z-\alpha _{i})^{2}}},$

(14)

‎гдѣ $\pi _{1}$ и $\pi _{2}$ суть раціональныя алгебраическія функціи $z$, которыя при $z=\alpha _{i}$ имѣютъ конечныя величины (одна изъ нихъ можетъ обращаться въ 0).

Подставивъ выраженія (14) въ тождество (13), мы найдемъ что коэффиціентъ при $(z-\alpha _{i})^{r_{j}-2}$ въ лѣвой части тождества (13) равенъ:

$[r_{j}(r_{j}-1)+(\pi _{1})_{0}r_{j}+(\pi _{2})_{0}]\varphi _{j}(0),$

(15)

‎гдѣ $(\pi _{1})_{0}$ и $(\pi _{2})_{0}$ суть значенія $\pi _{1}$ и $\pi _{2}$ при $z=\alpha _{j}$.

Такъ какъ $\varphi _{j}(0)$ отлично отъ 0, то уравненіе, опредѣляющее показатели $r_{1}$ и $r_{2}$ таково:

$r_{j}(r_{j}-1)+(\pi _{1})_{0}r_{j}+(\pi _{2})_{0}=0,$

‎или, опуская индексъ $j$:

$r(r-1)+(\pi _{1})_{0}r+(\pi _{2})_{0}=0.$

(16)

‎Это—опредѣляющее уравненіе Фукса^[5] для точки $\alpha _{i}$.

Разложимъ функціи $p_{1}$ и $p_{2}$ на простыя дроби. Изъ формулъ (14) видно, что эти разложенія будутъ таковы:

$\left.{\begin{matrix}p_{1}={\dfrac {\lambda _{1}}{z-\alpha _{1}}}+{\dfrac {\lambda _{2}}{z-\alpha _{2}}}+\ldots +{\dfrac {\lambda _{i}}{z-\alpha _{i}}}+\ldots +{\dfrac {\lambda _{\rho }}{z-\alpha _{\rho }}},\\p_{2}={\dfrac {\mu _{1}}{(z-\alpha _{1})^{2}}}+{\dfrac {\mu _{2}}{(z-\alpha _{2})^{2}}}+\ldots +{\dfrac {\mu _{i}}{(z-\alpha _{i})^{2}}}+\ldots +{\dfrac {\mu _{\rho }}{(z-\alpha _{\rho })^{2}}}+\\+\,{\dfrac {\nu _{1}}{z-\alpha _{1}}}+{\dfrac {\nu _{2}}{z-\alpha _{2}}}+\ldots +{\dfrac {\nu _{i}}{z-\alpha _{i}}}+\ldots +{\dfrac {\nu _{\rho }}{z-\alpha _{\rho }}},\end{matrix}}\right\}$

(17)

‎гдѣ $\lambda _{1},\ \ldots ,\ \lambda _{\rho },\ \mu _{1},\ \ldots ,\ \mu _{\rho },\ \nu _{1},\ \ldots ,\ \nu _{\rho }$ суть числа конечныя, при чемъ нулевыя значенія встрѣтиться могутъ.

Изъ выраженій (17) слѣдуетъ, что величины

$(\pi _{1})_{0}$ и $(\pi _{2})_{0},$

‎входящія въ уравненіе (16), таковы:

$(\pi _{1})_{0}=\lambda _{i},\ (\pi _{2})_{0}=\mu _{i}.$

‎Слѣдовательно опредѣляющее уравненіе Фукса для точки принимаетъ такой видъ:

$r(r-1)+\lambda _{i}r+\mu _{i}=0.$

(18)

‎Для того, чтобы интегралы уравненія (2) были алгебраическіе, необходимо, чтобы корни опредѣляющаго уравненія (18) были раціональны. Такъ какъ сумма корней уравненія (18) равна $1-\lambda _{i}$, а произведеніе ихъ равно $\mu _{i}$, то ясно, что $\lambda _{i}$ и $\mu _{i}$ должны быть числами раціональными.

И такъ, функціи $p_{1}$ и $p_{2}$ имѣютъ видъ (17), гдѣ $\lambda _{i}$ и $\mu _{i}$ суть раціональныя числа.

Найдя выраженія (17) функцій $p_{1}$ и $p_{2}$, мы можемъ сдѣлать нѣкоторое преобразованіе какъ алгебраическаго уравненія (1), такъ и дифференціальнаго уравненія (2) съ цѣлью упростить нѣсколько это дифференціальное уравненіе, и облегчить дальнѣйшія изслѣдованія.

Положимъ:

$y=e^{-{\frac {1}{2}}\int p_{1}\,dz}\eta =(z-\alpha _{1})^{-{\frac {1}{2}}\lambda _{1}}(z-\alpha _{2})^{-{\frac {1}{2}}\lambda _{2}}\ldots (z-\alpha _{\rho })^{-{\frac {1}{2}}\lambda _{\rho }}\eta .$

(19)

‎Такъ какъ

$\lambda _{1},\ \lambda _{2},\ \ldots ,\ \lambda _{\rho }$

‎суть числа раціональныя, то множитель:

$(z-\alpha _{1})^{-{\frac {1}{2}}\lambda _{1}}(z-\alpha _{2})^{-{\frac {1}{2}}\lambda _{2}}\ldots (z-\alpha _{\rho })^{-{\frac {1}{2}}\lambda _{\rho }}$

‎есть радикалъ изъ раціональной функціи $z$.

Если $y$ было функціей алгебраической, то и $\eta$ будетъ тоже функціей алгебраической и обратно.

Послѣ подстановки (19) алгебраическое уравненіе (1) преобразуется въ новое алгебраическое уравненіе нѣкоторой степени $n$:

$F(y,\ z)=0.$

(20)

‎Дифференціальное же уравненіе (2) преобразуется въ болѣе простое уравненіе:

${\frac {d^{2}y}{dz^{2}}}=Py,$

(21)

‎гдѣ

$P={\frac {1}{4}}p_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}{\frac {dp_{1}}{dz}}-p_{2}.$

(22)

‎Понятно, что все сказанное объ уравненіяхъ (1) и (2) безъусловно примѣнимо и къ уравненіямъ (20) и (21), но не обратно: уравненіямъ (20) и (21) принадлежатъ новыя свойства, которыя уравненіямъ (1) и (2) не принадлежали.

Уравненіе (21) можно разсматривать, какъ простѣйшій частный случай уравненія (2): когда коэффиціентъ $p_{1}$ равенъ 0, а коэффиціентъ $p_{2}$ равенъ $-P$. Поэтому изъ формулъ (17) заключаемъ, что коэффиціентъ $-P$ разлагается на простыя дроби такого вида:

${\begin{matrix}-P={\dfrac {M_{1}}{(z-\alpha _{1})^{2}}}+{\dfrac {M_{2}}{(z-\alpha _{2})^{2}}}+\ldots +{\dfrac {M_{\rho }}{(z-\alpha _{\rho })^{2}}}\,+\\+\,{\dfrac {N_{1}}{z-\alpha _{1}}}+{\dfrac {N_{2}}{z-\alpha _{2}}}+\ldots +{\dfrac {N_{\rho }}{z-\alpha _{\rho }}}.\end{matrix}}$

(23)

‎Опредѣляющее уравненіе Фукса для особой точки будетъ таково:

$r(r-1)+M_{i}=0.$

(24)

‎Для того, чтобы дифференціальное уравненіе (21) имѣло алгебраическіе интегралы, необходимо, чтобы корни опредѣляющихъ уравненій вида (24) для всѣхъ особыхъ точекъ были раціональны.

Теорема 6. Опредѣлитель, составленный изъ коэффиціентовъ обхода около какой либо критической точки для двухъ частныхъ интеграловъ уравненія (21),—равенъ единицѣ.

На основаніи извѣстной теоремы Ліувилля между двумя частными интегралами $y_{1}$ и $y_{2}$ уравненія (2) существуетъ такая зависимость:

$y_{2}{\frac {dy_{1}}{dz}}-y_{1}{\frac {dy_{2}}{dz}}=Ce^{-\int p_{1}\,dz},$

(25)

‎гдѣ $C$ есть нѣкоторое постоянное число. Примѣняя эту теорему къ уравненію (21), находимъ:

$\eta _{2}{\frac {d\eta _{1}}{dz}}-\eta _{1}{\frac {d\eta _{2}}{dz}}=C.$

(26)

‎Будемъ разсматривать $\eta _{1}$ и $\eta _{2}$, какъ функціи на плоскости комплекснаго перемѣннаго. При обходахъ около критическихъ точекъ функціи $\eta _{1}$ и $\eta _{2}$ будутъ развѣтвляться и принимать новыя значенія. Пусть послѣ нѣкотораго обхода функціи $\eta _{1}$ и $\eta _{2}$ приняли новыя значенія ${\bar {\eta }}_{1}$ и ${\bar {\eta }}_{2}$. Если отношеніе ${\frac {{\bar {\eta }}_{1}}{{\bar {\eta }}_{2}}}$ не есть постоянная величина, то ${\bar {\eta }}_{1}$ и ${\bar {\eta }}_{2}$ выразятся, какъ линейныя функціи $\eta _{1}$ и $\eta _{2}$:

$\left.{\begin{matrix}{\bar {\eta }}_{1}=\alpha \eta _{1}+\beta \eta _{2},\\{\bar {\eta }}_{2}=\gamma \eta _{1}+\delta \eta _{2},\end{matrix}}\right\}$[6]

(27)

‎при чемъ опредѣлитель $\alpha \delta -\beta \gamma$ отличенъ отъ 0.

Выраженіе:

$\eta _{2}{\frac {d\eta _{1}}{dz}}-\eta _{1}{\frac {d\eta _{2}}{dz}},$

‎какъ показываетъ равенство (26), постоянно при всѣхъ значеніяхъ $z$. Оно сохранитъ свое значеніе и послѣ сдѣланнаго обхода; слѣд.

${\bar {\eta }}_{2}{\frac {d{\bar {\eta }}_{1}}{dz}}-{\bar {\eta }}_{1}{\frac {d{\bar {\eta }}_{2}}{dz}}=\eta _{2}{\frac {d\eta _{1}}{dz}}-\eta _{1}{\frac {d\eta _{2}}{dz}}.$

(28)

‎Подставляя въ это равенство выраженія ${\bar {\eta }}_{1},\ {\bar {\eta }}_{2}$ изъ формулъ (27), находимъ:

$(\alpha \delta -\beta \gamma )\left(\eta _{2}{\frac {d\eta _{1}}{dz}}-\eta _{1}{\frac {d\eta _{2}}{dz}}\right)=\eta _{2}{\frac {d\eta _{1}}{dz}}-\eta _{1}{\frac {d\eta _{2}}{dz}}.$

(29)

‎Такъ какъ величина

$\eta _{2}{\frac {d\eta _{1}}{dz}}-\eta _{1}{\frac {d\eta _{2}}{dz}}$

‎не есть 0, (иначе отношеніе было бы постоянно), то:

$\alpha \delta -\beta \gamma =1.$

(30)

‎Теорема доказана.

Теорема 7. Если уравненіе (20) имѣетъ алгебраическіе интегралы, то всякіе два частныхъ интеграла его взаимно выражаются раціонально^[7] и удовлетворяютъ алгебраическимъ уравненіямъ одинаковыхъ степеней.

‎Изъ уравненія (26) находимъ, что

$\eta _{1}=\left[C\int {\frac {dz}{\eta _{2}^{2}}}+Const.\right]\eta _{2},$ $\eta _{2}=\left[C\int {\frac {dz}{\eta _{1}^{2}}}+Const'\right]\eta _{1},$

(31)

‎Такъ какъ лѣвыя части равенствъ (31) суть функціи алгебраическія, то и правыя части ихъ будутъ функціями алгебраическими. Для опредѣленности будемъ говорить объ одной изъ формулъ (31), напр. о первой.

Построимъ Риманнову поверхность $S$, соотвѣтствующую функціи $\eta _{2}$, построимъ на этой Риманновой поверхности систему сѣченій $L$ (Querschnittsystem)^[8] съ тѣмъ, чтобы превратить поверхность $S$ въ односвязную (если порядокъ связности ея выше 1); назовемъ полученную односвязную поверхность черезъ $S'$. Посмотримъ, каковъ характеръ измѣненія функціи $\int {\frac {dz}{\eta _{2}^{2}}}$ на поверхности $S$. На поверхности $S'$ функція эта однозначна, но при переходѣ съ одного берега какого либо изъ сѣченій системы $L$ на другой она будетъ пріобрѣтать нѣкоторое постоянное приращеніе, называемое періодомъ интеграл $\int {\frac {dz}{\eta _{2}^{2}}}$. Въ разсматриваемомъ нами случаѣ $\int {\frac {dz}{\eta _{2}^{2}}}$ есть функція алгебраическая, слѣд. всѣ эти періоды равны 0; а если такъ, то функція однозначна не только на поверхности $S'$, но и на всей поверхности $S$. То же самое, необходимо, будетъ справедливо для функціи:

$\eta _{1}=\left[C\int {\frac {dz}{\eta _{2}^{2}}}+Const.\right]\eta _{2}.$

(31')

‎И такъ, мы нашли, что функція $\eta _{1}$ однозначно распространена на Риманновой поверхности, соотвѣтствующей функціи $\eta _{2}$. Вторая формула (31) такимъ же образомъ даетъ намъ возможность доказать, что функція $\eta _{2}$ однозначно распространена на Риманновой поверхности, соотвѣтствующей функціи $\eta _{1}$.

Отсюда слѣдуетъ:

1) что функціи $\eta _{1}$ и $\eta _{2}$ взаимно выражаются раціонально:

$\eta _{1}=\Psi _{1}(\eta _{2},\ z),\ \eta _{2}=\Psi _{2}(\eta _{1},\ z).$

(32)

‎гдѣ $\Psi _{1}(\eta _{2},\ z)$ и $\Psi _{2}(\eta _{1},\ z)$ суть раціональныя функціи ихъ аргументовъ;

2) что функціи $\eta _{1}$ и $\eta _{2}$ удовлетворяютъ алгебраическимъ уравненіямъ одинаковыхъ степеней.

Теорема доказана.

(Случай, когда отношеніе взятыхъ интеграловъ $\eta _{1}$ и $\eta _{2}$ постоянно, не составляетъ исключенія изъ этой теоремы: справедливость ея въ этомъ случаѣ очевидна).

Теорема 8. Каждой парѣ линейно-независимыхъ частныхъ интеграловъ дифференціальнаго уравненія (21) соотвѣтствуетъ группа^[9] линейныхъ бинарныхъ подстановокъ съ опредѣлителемъ равнымъ 1. Порядокъ этой группы равенъ степени уравненія (20).

Пусть $\eta _{1}$ и $\eta _{2}$ суть два линейно независимыхъ частныхъ интеграла уравненія (21). Совершивъ обходъ около какой либо критической точки, мы увидимъ, что $\eta _{1}$ и $\eta _{2}$ примутъ новыя значенія ${\bar {\eta }}_{1},\ {\bar {\eta }}_{2}$, связанныя съ прежними линейною зависимостью:

$\left.{\begin{matrix}{\bar {\eta }}_{1}=\alpha \eta _{1}+\beta \eta _{2},\\{\bar {\eta }}_{2}=\gamma \eta _{1}+\delta \eta _{2},\end{matrix}}\right\}$

(33)

‎при чемъ на основаніи теоремы 6:

$\alpha \delta -\beta \gamma =1.$

Принимая обычное въ теоріи чиселъ обозначеніе, мы скажемъ, что новыя значенія ${\bar {\eta }}_{1},\ {\bar {\eta }}_{2}$ получились изъ прежнихъ $\eta _{1},\ \eta _{2}$ линейнымъ преобразованіемъ:

${\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{pmatrix}},$

‎при чемъ

$\alpha \delta -\beta \gamma =1.$

‎Каждому обходу около критической точки будетъ соотвѣтствовать подстановка такого же вида. Вообразимъ себѣ всевозможные обходы около критическихъ точекъ и имъ соотвѣтствующія подстановки. Число этихъ подстановокъ конечно, потому что функціи $\eta _{1},\ \eta _{2}$ алгебраическія и имѣютъ конечное число значеній. Подстановки эти образуютъ группу, потому что каждые два обхода около критическихъ точекъ совершенные другъ за другомъ равносильны одному обходу, окружающему всѣ критическія точки, заключенныя внутри обоихъ этихъ обходовъ.

Такъ какъ на основаніи теоремы 7 интегралъ $\eta _{2}$ есть раціональная функція интеграла $\eta _{1}$, то число всѣхъ паръ значеній функцій $\eta _{1},\ \eta _{2}$ равно числу различныхъ значеній функціи $\eta _{1}$, т. е. равно $n$.

Порядокъ группы бинарныхъ подстановокъ, связывающихъ между собою пары значеній $\eta _{1},\ \eta _{2}$ равенъ числу этихъ паръ значеній, т. е. равенъ $n$.

Теорема доказана.

§ 2. Первичныя формы.

Возьмемъ снова алгебраическое уравненіе $n$-ой степени:

$F(\eta ,\ z)=0,$

(20)

‎корни котораго суть частные интегралы уравненія

${\frac {d^{2}\eta }{dz^{2}}}=P\eta .$

(21)

‎Пусть

$\eta _{1},\ \eta _{2},\ \ldots ,\ \eta _{n}$

(34)

‎суть корни уравненія (20). Нѣкоторыя изъ этихъ величинъ разнятся между собою лишь постояннымъ множителемъ, который въ такомъ случаѣ есть корень нѣкоторой степени изъ 1. Отбросимъ въ рядѣ (34) всѣ тѣ величины, которыя разнятся отъ одной изъ остальныхъ лишь постояннымъ множителемъ. Въ оставшемся рядѣ корней:

$\eta _{1},\ \eta _{2},\ \ldots ,\ \eta _{\nu }$

(35)

‎не будетъ ни одной пары величинъ, отношеніе которыхъ было бы постоянно. Систему (35) будемъ называть приведенной системой корней уравненія (20). Всѣ остальные корни уравненія (20) будутъ разниться отъ корней приведенной системы (34) присутствіемъ множителей вида $j^{\alpha }$, гдѣ $j$ первообразный корень изъ 1 нѣкоторой степени $\mu$. Это число $\mu$ есть дѣлитель степени уравненія $n$, а $\alpha$ нѣкоторое цѣлое число. На основаніи вида уравненія (7) мы можемъ утверждать, что уравненіе (20) будетъ такого вида:

$A_{0}\eta ^{n}+A_{\mu }\eta ^{n-\mu }+A_{2\mu }\eta ^{n-2\mu }+\ldots +A_{n-\mu }\eta ^{\mu }+A_{n}=0.$

(36)

‎Мы видимъ, что если уравненію (36) удовлетворяетъ количество $\eta _{1}$, то ему, необходимо, удовлетворитъ и весь рядъ количествъ:

$\eta _{1},\ j\eta _{1},\ j^{2}\eta _{1},\ \ldots ,\ j^{\mu -1}\eta _{1}.$

(37)

Отсюда слѣдуетъ, что всѣ корни уравненія (36), или, что то же, уравненія (20), могутъ быть расположены въ видѣ таблицы:

$\left.{\begin{matrix}\eta _{1},\ j\eta _{1},\ j^{2}\eta _{1},\ \ldots ,\ j^{\mu -1}\eta _{1},\\\eta _{2},\ j\eta _{2},\ j^{2}\eta _{2},\ \ldots ,\ j^{\mu -1}\eta _{2},\\\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\\eta _{\nu },\ j\eta _{\nu },\ j^{2}\eta _{\nu },\ \ldots ,\ j^{\mu -1}\eta _{\nu }.\end{matrix}}\right\}$

(38)

‎Такъ какъ таблица эта исчерпываетъ всѣ корни уравненія степени $n$, то между числами $\mu$, $\nu$ и $n$ существуетъ соотношеніе:

$\mu \nu =n.$

(39)

‎Пусть $\eta '$ и $\eta ''$ есть какая-нибудь пара линейно независимыхъ частныхъ интеграловъ уравненія (21). Въ такомъ случаѣ всѣ корни системы (34) выразятся чрезъ нихъ линейно:

$\eta _{i}=c_{1}^{(i)}\eta '+c_{2}^{(i)}\eta '',$

(40)

‎произведеніе же величинъ:

$\eta _{1},\ \eta _{2},\ \ldots ,\ \eta _{\nu }$

(35)

‎представится въ видѣ цѣлой однородной формы съ перемѣнными $\eta ',\ \eta ''$:

$\eta _{1}\eta _{2}\ldots \eta _{\nu }={\overset {i=\nu }{\underset {i=1}{P}}}[c_{1}^{(i)}\eta '+c_{2}^{(i)}\eta '']=\Omega (\eta ',\ \eta '').$[10]

(41)

‎Форму $\Omega (\eta ',\ \eta '')$ мы будемъ называть, слѣдуя Фуксу первичною формою (Primform)^[11]; $\nu$ есть ея степень, а $\mu$ называется ея индексомъ.

Равенство (39) показываетъ, что степень уравненія (20) равна степени первичной формы, умноженной на ея индексъ.

Теорема 9. Существуетъ группа бинарныхъ линейныхъ подстановокъ съ опредѣлителемъ 1, подъ вліяніемъ которыхъ первичная форма индекса $\mu$ или совсѣмъ не мѣняется, или пріобрѣтаетъ множителемъ различныя степени корня степени $\mu$ изъ 1.

При обходахъ на плоскости перемѣннаго $z$ будутъ происходить всевозможныя перестановки въ рядѣ количествъ (34), а вмѣстѣ съ тѣмъ будетъ мѣняться и величина первичной формы (41). Эти перестановки въ рядѣ (34) могутъ быть двоякаго рода: 1) могутъ перемѣститься корни приведенной системы (35) только между собою, 2) корни приведенной системы (35) могутъ перемѣститься какъ между собою, такъ и съ корнями, не входящими въ эту систему. Въ первомъ случаѣ первичная форма, какъ видно изъ равенства (41), совсѣмъ не измѣняется, а во второмъ она пріобрѣтаетъ множителемъ лишь нѣкоторую степень количества $j$—радикала степени $\mu$ изъ 1.

Итакъ, при всевозможныхъ обходахъ на плоскости $z$ форма $\Omega (\eta ',\ \eta '')$ будетъ пріобрѣтать лишь множителемъ степени величины $j$. Съ другой стороны изъ теоремы 8 мы знаемъ, что каждому обходу на плоскости перемѣннаго $z$ соотвѣтствуетъ своя линейная подстановка надъ $\eta ',\ \eta ''$ съ опредѣлителемъ, равнымъ 1, и что всѣ эти подстановки образуютъ группу. Отсюда мы заключаемъ, что подъ вліяніемъ подстановокъ этой группы форма $\Omega (\eta ',\ \eta '')$ будетъ пріобрѣтать множителемъ лишь различныя степени количества $j$.

Теорема доказана.

Теорема 10. Всякая первичная форма^[12] индекса $\mu$ равна радикалу степени $\mu$ изъ нѣкоторой раціональной функціи $z$.

Въ теоремѣ 9 мы видѣли, что подъ вліяніемъ всевозможныхъ обходовъ на плоскости $z$ первичная форма пріобрѣтаетъ лишь множителемъ различныя степени $j$ — радикала степени $\mu$ изъ 1. Если такъ, то форма:

$\Omega ^{\mu }(\eta ',\ \eta '')$

‎ни при какихъ обходахъ на плоскости $z$ мѣняться не будетъ; а такъ какъ, кромѣ того, мы знаемъ, что это алгебраическая функція $z$, то приходимъ къ заключенію, что она функція раціональная

$\Omega ^{\mu }(\eta ',\ \eta '')=R(z).$

(42)

‎Откуда:

$\Omega (\eta ',\ \eta '')={\sqrt[{\mu }]{R(z)}}.$

(43)

‎Теорема доказана.

Слѣдуетъ замѣтить однако, что степень радикала можетъ понизиться, если функція $R(z)$ имѣетъ видъ:

$R(z)={\mathfrak {R}}^{\mu '}(z),$

‎гдѣ ${\mathfrak {R}}(z)$ есть функція раціональная, а $\mu '$ — дѣлитель $\mu$.

Такъ какъ всѣ корни уравненія (20) расположены въ таблицѣ (38), то свободный членъ уравненія (20), независимо отъ знака, равенъ произведенію величинъ (38), т.-е. онъ равенъ:

$(\eta _{1}\cdot \eta _{2}\cdot \ldots \cdot \eta _{\nu })^{\mu }=\Omega ^{\mu }(\eta ',\ \eta '').$

(44)

‎Иными словами, функція $R(z)$, стоящая во второй части равенства (42), независимо отъ знака, равна свободному члену уравненія (20).

Теорема 11. Если цѣлая однородная форма $\omega (\eta ',\ \eta '')$, имѣющая аргументами два линейно-независимыхъ частныхъ интеграла уравненія (21), равна радикалу изъ раціональной функціи перемѣннаго $z$ и если она имѣетъ общій линейный множитель $c_{1}^{(i)}\eta '+c_{2}^{(i)}\eta ''$ съ первичною формою $\Omega (\eta ',\ \eta '')$, то она нацѣло дѣлится на эту первичную форму.

Выдѣлимъ въ формѣ $\omega (\eta ',\ \eta '')$ линейный множитель:

$c_{1}^{(1)}\eta '+c_{2}^{(1)}\eta ''$:

$\omega (\eta ',\ \eta '')=(c_{1}^{(1)}\eta '+c_{2}^{(1)}\eta '')\omega _{1}(\eta ',\ \eta '').$

(45)

‎Совершимъ такой обходъ на плоскости перемѣннаго $z$, чтобы частный интегралъ:

$\eta _{1}=c_{1}^{(1)}\eta '+c_{2}^{(1)}\eta ''$

(46)

‎перешелъ въ частный интегралъ:

$\eta _{i}=c_{1}^{(i)}\eta '+c_{2}^{(i)}\eta ''.$

(47)

‎Такъ какъ $\eta _{1}$ и $\eta _{i}$ суть корни одного и того же неприводимаго уравненія (20), то такой обходъ существуетъ.

Пусть послѣ этого обхода функція $\omega (\eta ',\ \eta '')$ перешла въ ${\bar {\omega }}(\eta ',\ \eta '')$, а функція $\omega _{1}(\eta ',\ \eta '')$ въ ${\bar {\omega }}_{1}(\eta ',\ \eta '')$:

${\bar {\omega }}(\eta ',\ \eta '')=(c_{1}^{(i)}\eta '+c_{2}^{(i)}\eta ''){\bar {\omega }}_{1}(\eta ',\ \eta '')$

(48)

‎Такъ какъ $\omega (\eta ',\ \eta '')$ есть радикалъ изъ раціональной функціи перемѣннаго $z$, то послѣ сдѣланнаго обхода она могла пріобрѣсти лишь нѣкоторый постоянный множитель $c$:

${\bar {\omega }}(\eta ',\ \eta '')=c.\omega (\eta ',\ \eta '').$

(49)

‎Принявъ во вниманіе формулы (49) и (45), мы можемъ представить равенство (48) въ такомъ видѣ:

$c.(c_{1}^{(1)}\eta '+c_{2}^{(1)}\eta '')\omega _{1}(\eta ',\ \eta '')=(c_{1}^{(i)}\eta '+c_{2}^{(i)}\eta ''){\bar {\omega }}_{1}(\eta ',\ \eta '').$

(50)

‎Равенство это должно быть тождествомъ п. ч. иначе изъ него можно было бы опредѣлить отношеніе ${\frac {\eta '}{\eta ''}}$, и это отношеніе оказалось бы постояннымъ. Тождество (50) показываетъ, что форма $\omega _{1}(\eta ',\ \eta '')$ должна нацѣло раздѣлиться на $c_{1}^{(i)}\eta '+c_{2}^{(i)}\eta ''$, т. е. на всякій линейный множитель формы (41), кромѣ $c_{1}^{(1)}\eta '+c_{2}^{(1)}\eta ''$. Если такъ, то форма $\omega (\eta ',\ \eta '')$ дѣлится нацѣло на всякій линейный множитель формы $\Omega (\eta ',\ \eta '')$, а слѣдовательно, и на самую форму $\Omega (\eta ',\ \eta '')$.

Теорема 12. Если форма $\omega (\eta ',\ \eta '')$, имѣющая аргументами два линейно независимыхъ частныхъ интеграла $\eta ',\ \eta ''$ уравненія (21), равна радикалу изъ раціональной функціи $z$, то ее можно представить въ видѣ произведенія нѣсколькихъ первичныхъ формъ.

Отдѣлимъ въ формѣ $\omega (\eta ',\ \eta '')$ линейный множитель $c_{1}\eta '+c_{2}\eta ''$, найдемъ то алгебраическое уравненіе, которому удовлетворяетъ функція:

$(\eta )=c_{1}\eta '+c_{2}\eta '',$

(51)

‎найдемъ приведенную систему корней этого уравненія:

$(\eta _{1}),\ (\eta _{2}),\ \ldots ,\ (\eta _{\nu })$

‎и составимъ первичную форму:

$(\eta _{1})(\eta _{2})\ldots (\eta _{\nu })=\Omega _{1}(\eta ',\ \eta ''),$

(52)

‎соотвѣтствующую этому уравненію. На основаніи теоремы 11, форма $\omega (\eta ',\ \eta '')$, имѣя съ первичной формой $\Omega _{1}(\eta ',\ \eta '')$ общій множитель $c_{1}\eta '+c_{2}\eta ''$, раздѣлится на нее нацѣло:

$\omega (\eta ',\ \eta '')=\Omega _{1}(\eta ',\ \eta '')\omega _{1}(\eta ',\ \eta '').$

(53)

‎Такъ какъ $\omega (\eta ',\ \eta '')$ и $\Omega _{1}(\eta ',\ \eta '')$ суть радикалы изъ раціональной функціи $z$, то и $\omega _{1}(\eta ',\ \eta '')$ есть радикалъ изъ раціональной функціи $z$.

Примѣняя тѣ же разсужденія къ формѣ $\omega _{1}(\eta ',\ \eta '')$, найдемъ, что

$\omega _{1}(\eta ',\ \eta '')=\Omega _{2}(\eta ',\ \eta '')\omega _{2}(\eta ',\ \eta ''),$

‎гдѣ $\Omega _{2}(\eta ',\ \eta '')$ есть нѣкоторая первичная форма. И т. д.

Въ результатѣ мы найдемъ, что

$\omega (\eta ',\ \eta '')=\Omega _{1}(\eta ',\ \eta '')\Omega _{2}(\eta ',\ \eta '')\ldots \Omega _{\rho }(\eta ',\ \eta ''),$

(54)

‎гдѣ

$\Omega _{1}(\eta ',\ \eta ''),\ \Omega _{2}(\eta ',\ \eta ''),\ \ldots ,\ \Omega _{\rho }(\eta ',\ \eta '')$

‎суть первичныя формы.

Теорема доказана.

Теорема 13. Всякій коваріантъ первичной формы равенъ радикалу изъ раціональной функціи перемѣннаго $z$.

Пусть первичная форма $\Omega (\eta ',\ \eta '')$ такова:

${\begin{matrix}\Omega (\eta ',\ \eta '')=\alpha _{0}\eta '\,{}^{\nu }+(\nu )_{1}\alpha _{1}\eta '\,{}^{\nu -1}\eta ''+(\nu )_{2}\alpha _{2}\eta '\,{}^{\nu -2}\eta ''\,{}^{2}+\ldots \\+\,(\nu )_{\nu -1}\alpha _{\nu -1}\eta '\eta ''\,{}^{\nu -1}+\alpha _{\nu }\eta ''\,{}^{\nu }.\end{matrix}}$[13]

(54)

‎Возьмемъ какой-либо коваріантъ ея:

${\begin{matrix}c(\eta ',\ \eta '')=\alpha _{0}\eta '\,{}^{\sigma }+(\sigma )_{1}c_{1}\eta '\,{}^{\sigma -1}\eta ''+(\sigma )_{2}c_{2}\eta '\,{}^{\sigma -2}\eta ''\,{}^{2}+\ldots \\+\,(\sigma )_{\sigma -1}c_{\sigma -1}\eta '\eta ''\,{}^{\sigma -1}+c_{\sigma }\eta ''\,{}^{\sigma }.\end{matrix}}$

(55)

‎Совершимъ обходъ около какой-нибудь критической точки на плоскости перемѣннаго $z$. Пусть послѣ этого обхода интегралы $\eta ',\ \eta ''$ перейдутъ въ ${\bar {\eta }}',\ {\bar {\eta }}''$, при чемъ:

$\left.{\begin{matrix}\eta '=\alpha {\bar {\eta }}'+\beta {\bar {\eta }}'',\\\eta ''=\gamma {\bar {\eta }}'+\delta {\bar {\eta }}'',\end{matrix}}\right\}\alpha \delta -\beta \gamma =1.$[14]

(56)

‎Форма $\Omega (\eta ',\ \eta '')$ перейдетъ въ $\Omega ({\bar {\eta }}',\ {\bar {\eta }}'')$, гдѣ:

${\begin{matrix}\Omega ({\bar {\eta }}',\ {\bar {\eta }}'')=\alpha _{0}{\bar {\eta }}'\,{}^{\nu }+(\nu )_{1}\alpha _{1}{\bar {\eta }}'\,{}^{\nu -1}{\bar {\eta }}''+(\nu )_{2}\alpha _{2}{\bar {\eta }}'^{\nu -2}{\bar {\eta }}''\,{}^{2}+\ldots \\+\,(\nu )_{\nu -1}\alpha _{\nu -1}{\bar {\eta }}'{\bar {\eta }}''\,{}^{\nu -1}+\alpha _{\nu }{\bar {\eta }}''\,{}^{\nu }.\end{matrix}}$

(57)

‎Такъ какъ $\Omega (\eta ',\ \eta '')$ есть радикалъ изъ раціональной функціи перемѣннаго $z$, то:

$\Omega ({\bar {\eta }}',\ {\bar {\eta }}'')=j^{k}\Omega (\eta ',\ \eta ''),$

(58)

‎гдѣ $j$ корень степени $\mu$ изъ единицы, а $k$—нѣкоторое цѣлое число.

Подставивъ въ $\Omega (\eta ',\ \eta '')$ вмѣсто $\eta ',\ \eta ''$ ихъ выраженія (56), мы приведемъ эту форму къ такому виду:

$\Omega (\eta ',\ \eta '')=A_{0}{\bar {\eta }}'\,{}^{\nu }+(\nu )_{1}A_{1}{\bar {\eta }}'\,{}^{\nu -1}{\bar {\eta }}''+\ldots +A_{\nu }{\bar {\eta }}''\,{}^{\nu }.$

(59)

‎Подставивъ выраженія (57) и (59) въ равенство (58), находимъ:

${\begin{matrix}\alpha _{0}{\bar {\eta }}'\,{}^{\nu }+(\nu )_{1}\alpha _{1}{\bar {\eta }}'\,{}^{\nu -1}{\bar {\eta }}''+\ldots +\alpha _{\nu }{\bar {\eta }}''\,{}^{\nu }=\\=\,j^{k}\{A_{0}{\bar {\eta }}'\,{}^{\nu }+(\nu )_{1}A_{1}{\bar {\eta }}'\,{}^{\nu -1}{\bar {\eta }}''+\ldots +A_{\nu }{\bar {\eta }}''\,{}^{\nu }\}.\end{matrix}}$

(60)

‎Равенство (60) есть тождество, потому что иначе отношеніе ${\frac {{\bar {\eta }}'}{{\bar {\eta }}''}}$ было бы постоянно, интегралы ${\bar {\eta }}',\ {\bar {\eta }}''$, а вмѣстѣ съ ними и $\eta ',\ \eta ''$ не были бы линейно независимы.

Сравнивая коэффиціенты въ обѣихъ частяхъ тождества (60), находимъ:

$\alpha _{0}=j^{k}A_{0},\ \alpha _{1}=j^{k}A_{1},\ \alpha _{2}=j^{k}A_{2},\ \ldots ,\ \alpha _{\nu }=j^{k}A_{\nu }.$

(61)

‎Коваріантъ $c(\eta ',\ \eta '')$ формы $\Omega (\eta ',\ \eta '')$ послѣ совершеннаго обхода перейдетъ въ $c({\bar {\eta }}',\ {\bar {\eta }}'')$.

Составимъ коваріантъ, подобный $c(\eta ',\ \eta '')$, для формы:

$A_{0}{\bar {\eta }}'\,{}^{\nu }+(\nu )_{1}A_{1}{\bar {\eta }}'\,{}^{\nu -1}{\bar {\eta }}''+\ldots +A_{\nu }{\bar {\eta }}''\,{}^{\nu }.$

(59')

‎Обозначимъ его такъ:

$C({\bar {\eta }}',\ {\bar {\eta }}'')$

‎и пусть:

$C(\eta ',\ \eta '')=C_{0}{\bar {\eta }}'\,{}^{\sigma }+(\nu )_{1}C_{1}{\bar {\eta }}'\,{}^{\sigma -1}{\bar {\eta }}''+\ldots +C_{\nu }{\bar {\eta }}''\,{}^{\sigma }.$

(62)

‎Въ силу основнаго свойства всякаго коваріанта, имѣемъ:

$C({\bar {\eta }}',\ {\bar {\eta }}'')=(\alpha \delta -\beta \gamma )^{\lambda }c(\eta ',\ \eta ''),$

(63)

‎гдѣ $\lambda$—нѣкоторое цѣлое число.

Такъ какъ:

$\alpha \delta -\beta \gamma =1,$

‎то равенство (63) принимаетъ такой видъ:

$C({\bar {\eta }}',\ {\bar {\eta }}'')=c(\eta ',\ \eta ''),$

(64)

‎Извѣстно, что коэффиціенты коваріанта суть однородныя функціи коэффиціентовъ данной формы и при томъ всѣ одинаковаго измѣренія. Обозначимъ измѣреніе коэффиціентовъ коваріанта $c(\eta ',\ \eta '')$ буквою $r$. Принимая во вниманіе формулы (61), получимъ:

$c_{0}=j^{rk}C_{0},\ c_{1}=j^{rk}C_{1},\ \ldots ,\ c_{\sigma }=j^{rk}C_{\sigma }.$

(65)

‎Вслѣдствіе этого равенство (64) преобразуется такъ:

$c({\bar {\eta }}',\ {\bar {\eta }}'')=j^{rk}c(\eta ',\ \eta ''),$

(66)

‎откуда:

$[c({\bar {\eta }}',\ {\bar {\eta }}'')]^{\mu }=[c(\eta ',\ \eta '')]^{\mu },$

(67)

‎т.-е. степень $\mu$ коваріанта $c(\eta ',\ \eta '')$ послѣ совершеннаго обхода не измѣнила своей величины. То же самое, понятно, справедливо и для остальныхъ обходовъ. Слѣдовательно степень $\mu$ коваріанта $c(\eta ',\ \eta '')$ есть раціональная функція $z$, а самъ коваріантъ есть радикалъ изъ раціональной функціи $z$.

Изъ теоремъ 12 и 13 слѣдуетъ, что всякій коваріантъ первичной формы можно представить въ видѣ произведенія нѣсколькихъ первичныхъ формъ.

Каждому частному интегралу дифференціальнаго уравненія (21) соотвѣтствуетъ свое алгебраическое уравненіе, которому онъ удовлетворяетъ; найдя приведенную систему корней этого уравненія, мы будемъ въ состояніи найти и соотвѣтствующую ему первичную форму. Степени алгебраическихъ уравненій на основаніи теоремы 7 одинаковы и равны $n$, степени же первичныхъ формъ могутъ быть различны. Изъ всѣхъ первичныхъ формъ даннаго дифференціальнаго уравненія (21) особую важность имѣетъ та, степень которой наименьшая.

Условимся во всемъ дальнѣйшемъ обозначать эту первичную форму черезъ $f(\eta ',\ \eta '')$, степень ея буквою $\nu$, а индексъ буквою $\mu$. Между числами $n,\ \mu ,\ \nu$ существуетъ зависимость:

$\mu \nu =n.$

(39)

‎Теорема 14. Индексъ $\mu$ первичной формы наинисшей степени $f(\eta ',\ \eta '')$ не можетъ равняться 1.

Если индексъ первичной формы равенъ 1, то въ числѣ корней алгебраическаго уравненія, соотвѣтствующаго этой формѣ, нѣтъ ни одной пары корней, отношеніе которыхъ было бы постоянно. Степень такой формы равна $n$.

Докажемъ, что для дифференціальнаго уравненія (21) можно составить первичную форму степени ниже $n$.

Пусть

$\alpha _{1},\ \alpha _{2},\ \ldots ,\ \alpha _{i}\ldots ,\ \alpha _{\rho }$

‎суть особыя точки интеграловъ уравненія (21).

Непремѣнно нѣкоторыя изъ этихъ точекъ будутъ точками критическими, потому что интегралы уравненія (21) суть функціи многозначныя.

Пусть $\alpha _{i}$ есть критическая точка.

Мы знаемъ, что существуютъ два интеграла уравненія (21), которые въ области точки $\alpha _{i}$ разлагаются въ ряды такого вида:

$\left.{\begin{matrix}\eta _{1}=(z-\alpha _{i})^{r_{1}}\varphi _{1}(z-\alpha _{i}),\\\eta _{2}=(z-\alpha _{i})^{r_{2}}\varphi _{2}(z-\alpha _{i}),\end{matrix}}\right\}$[15]

(68)

‎гдѣ $r_{1}$ и $r_{2}$ суть корни Фуксова опредѣляющаго уравненія:

$r(r-1)+M_{i}=0.$

(24)

‎Корни уравненія (24) раціональны и по крайней мѣрѣ одинъ изъ нихъ есть число дробное: иначе точка $\alpha _{i}$ не была бы критическою точкою ни для одного изъ интеграловъ уравненія (21).

Пусть $r_{1}$ число дробное.

Составимъ то алгебраическое уравненіе, которому удовлетворяетъ функція:

$\eta _{1}=(z-\alpha _{i})^{r_{1}}\varphi _{1}(z-\alpha _{i}).$

(69)

‎Для этого мы должны найти всѣ значенія, пріобрѣтаемыя функціею $\eta _{1}$ при всевозможныхъ обходахъ на плоскости перемѣннаго $z$.

Дѣлая обходы вокругъ точки $\alpha _{i}$, мы увидимъ, что $\eta _{1}$ принимаетъ такія значенія:

$e^{2\pi r_{1}i}\eta _{1},\ e^{4\pi r_{1}i}\eta _{1},\ e^{6\pi r_{1}i}\eta _{1},\ \ldots$

‎Въ числѣ корней составляемаго уравненія находятся такіе корни, которые разнятся отъ корня $\eta _{1}$ постоянными множителями:

$e^{2\pi r_{1}i},\ e^{4\pi r_{1}i},\ e^{6\pi r_{1}i},\ \ldots$

‎Приведенная система корней будетъ содержать въ себѣ менѣе, нежели $n$ корней, соотвѣтствующая первичная форма будетъ степени ниже $n$.

Теорема доказана.

Теорема 15. Если степень первичной формы $f(\eta ',\ \eta '')$ выше 2, то индексъ ея не можетъ равняться 2.

Если индексъ первичной формы равенъ 2, то степень ея равна ${\frac {n}{2}}$. Докажемъ, что всегда можно построить первичную форму степени ниже ${\frac {n}{2}}$, если степень формы $f(\eta ',\ \eta '')$ не равна 2.

Возьмемъ снова тѣ два частныхъ интеграла $\eta ',\ \eta ''$ уравненія (21), которые въ области критической точки разлагаются въ ряды вида:

$\left.{\begin{matrix}\eta _{1}=(z-\alpha _{i})^{r_{1}}\varphi _{1}(z-\alpha _{i}),\\\eta _{2}=(z-\alpha _{i})^{r_{2}}\varphi _{2}(z-\alpha _{i}),\end{matrix}}\right\}$

(68)

‎гдѣ показатели степени $r_{1},\ r_{2}$ суть корни опредѣляющаго уравненія Фукса:

$r(r-1)+M_{i}=0.$

(24)

‎Для того, чтобы функціи $\eta ',\ \eta ''$ были алгебраическія, необходимо, чтобы корни уравненія (24) были раціональны.

Исключимъ цѣлую часть изъ числа $r_{1}$ и обозначимъ ее буквою $e$, а остающуюся положительную правильную дробь обозначимъ буквою $\varepsilon$:

$r_{1}=e+\varepsilon .$

(69)

‎Изъ уравненія (24) видно, что

$r_{1}+r_{2}=1;$

‎слѣдовательно:

$r_{2}=1-e-\varepsilon .$

(70)

‎Различимъ два случая:

1) хотя бы для одной какой-нибудь изъ критическихъ точекъ

$\alpha _{1},\ \alpha _{2},\ \ldots ,\ \alpha _{\rho }$

‎напримѣръ для $\alpha _{i}$, дробь $\varepsilon$ отлична отъ ${\frac {1}{2}}$;

2) для всѣхъ критическихъ точекъ дробь $\varepsilon$ равна ${\frac {1}{2}}$.

I. Пусть для точки $\alpha _{i}$ дробь $\varepsilon$ отлична отъ ${\frac {1}{2}}$.

Обозначимъ знаменатель дроби $\varepsilon$ буквою $l$. Число это по нашему предположенію больше 2.

Пусть:

$e^{\frac {2\pi i}{l}}=j.$

(71)

‎Тогда при $l$ обходахъ около точки $\alpha _{i}$, функція $\eta _{1}$ пріобрѣтетъ $l$ такихъ значеній:

$\eta _{1},\ j\eta _{1},\ j^{2}\eta _{1},\ \ldots ,\ j^{l-1}\eta _{1}.$

(72)

‎Всѣ $n$ значеній того уравненія, которому удовлетворяетъ функція $\eta _{1}$ могутъ быть расположены въ видѣ таблицы, подобной таблицѣ (38). Приведенная система корней этого уравненія будетъ содержать въ себѣ не болѣе ${\frac {n}{l}}$ членовъ. Соотвѣтствующая первичная форма будетъ степени не выше ${\frac {n}{l}}$, т.-е. во всякомъ случаѣ ниже ${\frac {n}{2}}$.

Это противорѣчитъ сдѣланному допущенію, что первичная форма $f(\eta ',\ \eta '')$ наинисшей степени имѣетъ степень равную ${\frac {n}{2}}$.

Итакъ, первый изъ указанныхъ случаевъ встрѣтиться не можетъ.

II. Пусть для всѣхъ критическихъ точекъ дробь $\varepsilon$ равна ${\frac {1}{2}}$.

Возьмемъ форму:

$a\eta _{1}^{2}+b\eta _{1}\eta _{2}+c\eta _{2}^{2},$

(73)

‎гдѣ $a,\ b,\ c$, произвольно взятыя постоянныя числа.

Функціи $\eta _{1}^{2},\ \eta _{1}\eta _{2},\ \eta _{2}^{2}$ въ области точки $\alpha _{i}$ разлагаются въ ряды вида:

$\left.{\begin{matrix}\eta _{1}^{2}=(z-\alpha _{i})^{1+2e}\varphi _{1}^{2}(z-\alpha _{i}),\\\eta _{2}^{2}=(z-\alpha _{i})^{1-2e}\varphi _{2}^{2}(z-\alpha _{i}),\\\eta _{1}\eta _{2}=(z-\alpha _{i})\varphi _{1}(z-\alpha _{i})\varphi _{2}(z-\alpha _{i}).\end{matrix}}\right\}$

(74)

‎Онѣ однозначны въ области особой точки $\alpha _{i}$.

Если такъ, то и функція (73) однозначна въ области точки $\alpha _{i}$.

Возьмемъ форму:

$A\eta '{}^{2}+B\eta '\eta ''+C\eta ''{}^{2},$

(75)

‎гдѣ $A,\ B,\ C$ суть произвольныя постоянныя числа, а $\eta ',\ \eta ''$ любыхъ два линейно-независимыхъ частныхъ интеграла уравненія (21).

Выразивъ $\eta '$ и $\eta ''$ линейно черезъ $\eta _{1},\ \eta _{2}$, мы убѣдимся, въ томъ, что форма (75) приводится къ виду (73) и по доказанному однозначна въ области точки $\alpha _{i}$. По той же причинѣ она однозначна въ области всѣхъ остальныхъ особыхъ точекъ. Слѣдовательно она равна раціональной функцій $z$ и есть первичная форма второй степени.

Итакъ, мы убѣдились въ томъ, что первичная форма $f(\eta ',\ \eta '')$ только тогда можетъ имѣть индексъ 2, когда она второй степени.

Теорема доказана.

Теорема 16. Гессіанъ первичной формы $f(\eta ',\ \eta '')$ есть тоже первичная форма за исключеніемъ случая, когда форма $f(\eta ',\ \eta '')$ второй степени.

Составимъ гессіанъ (опредѣлитель Гессе) формы $f(\eta ',\ \eta '')$. Пусть это будетъ $H(\eta ',\ \eta '')$. На основаніи теоремы 13 форма $H(\eta ',\ \eta '')$, какъ коваріантъ первичной формы, будетъ равна радикалу изъ раціональной функціи $z$, а потому, на основаніи теоремы 12, функція эта есть или первичная форма, или произведеніе нѣсколькихъ первичныхъ формъ.

Такъ какъ степень формы $f(\eta ',\ \eta '')$ равна $\nu$, то степень $H(\eta ',\ \eta '')$ равна $2\nu -4$.

Форма $H(\eta ',\ \eta '')$ не можетъ дѣлиться нацѣло на $f(\eta ',\ \eta '')$, потому что въ такомъ случаѣ дополнительный множитель былъ бы степени $\nu -4$ и не могъ бы быть ни первичною формой, ни, подавно, произведеніемъ первичныхъ формъ. (Первичная форма наинисшей степени есть форма степени $\nu$). Изъ того же разсужденія слѣдуетъ, что форма $H(\eta ',\ \eta '')$ подавно не можетъ дѣлиться нацѣло на какую-либо первичную форму степени, выше $\nu$. Итакъ форма $H(\eta ',\ \eta '')$ есть форма первичная.

Однако надо замѣтить, что наши разсужденія потеряютъ силу, когда

$\nu =1,\ 2,\ 3,\ 4.$

‎Разберемъ эти случаи въ отдѣльности.

1) Если $\nu =1$, то гессіана не существуетъ вовсе. Въ этомъ случаѣ формой $f(\eta ',\ \eta '')$ будетъ линейная форма:

$c_{1}\eta '+c_{2}\eta ''.$

‎Этотъ частный интегралъ равенъ радикалу изъ раціональной функціи—иными словами онъ есть корень двучленнаго уравненія. Случай, когда уравненіе (1), а слѣдовательно и (20) двучленное, былъ нами устраненъ; поэтому въ изучаемыхъ нами случаяхъ $\nu$ не можетъ равняться 1.

2) Если $\nu =2$, то гессіанъ есть постоянное число (инваріантъ). Этотъ случай, дѣйствительно, особый и совершенно элементарнаго характера. Его мы разберемъ отдѣльно въ концѣ настоящей главы; теперь же мы его временно устраняемъ изъ разсмотрѣнія такъ же, какъ устранили уравненіе двучленное.

3) Если $\nu =3$, то степень гессіана равна 2. Это, очевидно, невозможно: форма второй степени $H(\eta ',\ \eta '')$ не можетъ раздѣлиться нацѣло ни на кубичную форму $f(\eta ',\ \eta '')$, ни, подавно, на форму степени выше, нежели 3; а сама она не можетъ быть первичною формой, потому что въ разсматриваемомъ случаѣ первичная форма наинисшей степени есть форма кубичная.

Это противорѣчіе показываетъ, что случая $\nu =3$ совсѣмъ встрѣтиться не можетъ.

4) Если $\nu =4$, то степень гессіана тоже равна 4. Возникаетъ сомнѣніе, не разнится ли гессіанъ отъ формы $f(\eta ',\ \eta '')$ лишь постояннымъ множителемъ. Изъ теоріи алгебраическихъ формъ^[16] извѣстно, что такой случай можетъ наступить только тогда, когда форма $f(\eta ',\ \eta '')$ имѣетъ равные корни. Такъ какъ линейные множители первичной формы $f(\eta ',\ \eta '')$ суть корни приведенной системы, то въ числѣ ихъ равныхъ или отличающихся между собою только постояннымъ множителемъ оказаться не можетъ.

Итакъ, за исключеніемъ случая $\nu =2$ гессіанъ $H(\eta ',\ \eta '')$ формы $f(\eta ',\ \eta '')$ есть первичная форма, отличная отъ $f(\eta ',\ \eta '')$.

Теорема доказана.

Условимся обозначать степень гессіана буквою $\nu _{1}$, индексъ его буквою $\mu _{1}$; тогда

$\nu _{1}=2\nu -4,\ \mu _{1}\nu _{1}=n.$

(76)

Теорема 17. Индексъ $\mu _{1}$ первичной формы $H(\eta ',\ \eta '')$ не можетъ быть равенъ 1.

Если индексъ $\mu _{1}$ первичной формы $H(\eta ',\ \eta '')$ равенъ 1, то степень $\nu _{1}$ этой формы равна $n$:

$\nu _{1}=2\nu -4=n.$

(77)

‎Такъ какъ $\nu$ дѣлитель числа $n$^[17], то изъ равенства (77) слѣдуетъ, что $\nu$ есть дѣлитель числа 4; а такъ какъ мы знаемъ, что

$\nu \geqq 4,$

‎то приходимъ къ заключенію, что

$\nu =4.$

‎Положивъ въ равенствѣ (77):

$\nu =4,$

‎находимъ:

$\nu _{1}=4=n.$

‎Отсюда слѣдуетъ, что:

$\mu ={\frac {n}{\nu }}=1.$

‎А это противорѣчитъ теоремѣ 14.

Теорема 18. Индексъ $\mu _{1}$ первичной формы $H(\eta ',\ \eta '')$ не можетъ равняться двумъ.

Если индексъ $\mu _{1}$ первичной формы $H(\eta ',\ \eta '')$ равенъ 2, то степень $\nu _{1}$ этой формы равна ${\frac {n}{2}}$:

$\nu _{1}=2\nu -4={\frac {n}{2}}.$

(78)

‎Отсюда находимъ, что

$\nu =2+{\frac {n}{4}}.$

(79)

‎Слѣдовательно число $n$ кратно четырехъ:

$n=4n_{1}.$

(80)

‎и поэтому:

$\nu =n_{1}+2.$

(81)

Будемъ различать два случая:

1) Число $n_{1}$ нечетное. Изъ равенства (81) видно, что $\nu$ число взаимно простое съ $n_{1}$. Такъ какъ $\nu$ есть дѣлитель числа $n=4n_{1}$, и не меньше 4, то оно равно 4.

Въ такомъ случаѣ изъ равенства (79) находимъ, что $n=8$.

Индексъ $\mu$ первичной формы $f(\eta ',\ \eta '')$ равенъ:

$\mu ={\frac {n}{\nu }}=2.$

‎Это противорѣчитъ теоремѣ 15.

2) Число $n_{1}$ четное. Изъ равенства (81) видно, что $\nu$ имѣетъ съ нимъ общій наибольшій дѣлитель 2:

$\nu =2\nu _{1},$

‎гдѣ $\nu _{1}$ число взаимно простое съ $n_{1}$.

Если

$\nu =2\nu _{1}$

‎есть дѣлитель числа

$n=4n_{1}$

‎и числа $\nu _{1}$ и $n_{1}$ взаимно простыя, то $\nu _{1}$ равно 1 или 2.

Если $\nu _{1}=1$, то $\nu =2$. Этотъ случай нами устраненъ.

Если $\nu _{1}=2$, то $\nu =4$. Въ такомъ случаѣ изъ равенства (79) находимъ, что $n=8$ и что индексъ $\mu$ первичной формы $f(\eta ',\ \eta '')$ равенъ:

$\mu ={\frac {n}{\nu }}=2.$

‎Это противорѣчитъ теоремѣ 15.

Итакъ, дѣйствительно, индексъ $\mu$ первичной формы $H(\eta ',\ \eta '')$ не можетъ равняться 2.

§ 3. Уравненія, которымъ удовлетворяютъ отношенія корней уравненія разсматриваемаго класса.

Теорема 19. Отношеніе частныхъ интеграловъ уравненія (21) удовлетворяютъ неприводимому алгебраическому уравненію степени:

$N=n$ или $N={\frac {n}{2}}$.

‎Пусть $\eta ',\ \eta ''$ суть два линейно независимыхъ частныхъ интеграла уравненія (21).

Возьмемъ функцію:

$u={\frac {\eta '}{\eta ''}}$

(82)

‎и построимъ то неприводимое^[18] уравненіе, которому она удовлетворяетъ:

$\Psi (u,\ z)=0.$

(83)

‎Пусть степень этого уравненія равна $N$.

Ясно, что $\eta '$ есть алгебраическая функція $u$ и обратно: $u$ есть алгебраическая функція $\eta '$.

Величина $u$ есть однозначная функція $\eta '$^[19]. Въ самомъ дѣлѣ, изъ теоремы 7 мы знаемъ, что $\eta ''$ есть раціональная функція $\eta '$. Вставивъ это выраженіе $\eta ''$ въ формулу (82), мы найдемъ, что $u$ есть раціональная функція $\eta '$.

Посмотримъ, сколько значеній имѣетъ $\eta '$, разсматриваемая какъ функція $u$.

Пусть нѣкоторому значенію $u$ соотвѣтствуетъ два значенія $\eta '$:

$\eta '$ и ${\bar {\eta }}'$.

‎Пусть обходъ на плоскости перемѣннаго $z$, переводящій значеніе $\eta '$ въ ${\bar {\eta }}'$, преобразуетъ значеніе $\eta ''$ въ ${\bar {\eta }}''$.

Въ такомъ случаѣ:

$u={\frac {\eta '}{\eta ''}},\quad u={\frac {{\bar {\eta }}'}{{\bar {\eta }}''}}.$

(84)

‎Отсюда:

${\frac {\eta '}{\eta ''}}={\frac {{\bar {\eta }}'}{{\bar {\eta }}''}}.$

(85)

‎Одифференцировавъ это равенство по $z$, находимъ:

${\frac {\eta ''{\dfrac {d\eta '}{dz}}-\eta '{\dfrac {d\eta ''}{dz}}}{\eta ''{}^{2}}}={\frac {{\bar {\eta }}''{\dfrac {d{\bar {\eta }}'}{dz}}-{\bar {\eta }}'{\dfrac {d{\bar {\eta }}''}{dz}}}{{\bar {\eta }}''{}^{2}}}.$

(86)

‎На основаніи теоремы Ліувилля имѣемъ:

$\eta ''{\frac {d\eta '}{dz}}-\eta '{\frac {d\eta ''}{dz}}=C,$

(87)

‎гдѣ $C$—постоянное число.

Совершивъ обходъ на плоскости перемѣннаго $z$, переводящій значенія $\eta ',\ \eta ''$ въ ${\bar {\eta }}',\ {\bar {\eta }}''$ найдемъ:

${\bar {\eta }}''{\frac {d{\bar {\eta }}'}{dz}}-{\bar {\eta }}'{\frac {d{\bar {\eta }}''}{dz}}=C.$

(88)

‎Изъ равенствъ (86), (87), (88) слѣдуетъ:

$\eta ''{}^{2}={\bar {\eta }}''{}^{2},$

(89)

‎а изъ равенствъ (85) и (89) заключаемъ, что:

$\eta '{}^{2}={\bar {\eta }}'{}^{2}.$

‎Слѣдовательно:

$\eta '=\pm {\bar {\eta }}'.$

(90)

Мы видимъ, что каждому значенію $u$ соотвѣтствуетъ или одно значеніе $\eta '$, или два значенія, разнящихся между собою знаками.

Отсюда слѣдуетъ, что $\eta '$ можетъ быть представлена въ видѣ квадратнаго радикала изъ раціональной функціи $u$^[20].

Итакъ, мы нашли, что $u$ есть раціональная функція $\eta '$, а $\eta '$ есть квадратный радикалъ изъ раціональной функціи $u$.

Отсюда слѣдуетъ, что степень $N$ уравненія (83) или равна^[21], или вдвое меньше степени $n$ уравненія (20):

$N=n$ или $N={\frac {n}{2}}$.

‎Теорема доказана.

Обратимъ вниманіе на слѣдующую особенность уравненія (20): если степень уравненія (83) равна ${\frac {n}{2}}$, то неизвѣстное $\eta$ входитъ въ уравненіе (20) только въ четныхъ степеняхъ.

Въ самомъ дѣлѣ, въ случаѣ $N={\frac {n}{2}}$ значенія функціи $\eta '$ попарно разнятся знаками, какъ мы только что видѣли.

Теорема 20. Отношеніе частныхъ интеграловъ уравненія (21) удовлетворяетъ алгебраическому уравненію:

${\frac {H^{\mu _{1}}(u)}{f^{\mu }(u)}}={\mathfrak {R}}(z),$

(93)

‎гдѣ ${\mathfrak {R}}(z)$ есть раціональная функція $z$, а черезъ $H(u)$ и $f(u)$ обозначены многочлены

$H(u,\ 1),\ f(u,\ 1).$

‎Пусть намъ удалось найти для уравненія (20) первичную форму наинисшей степени:

$f(\eta ',\ \eta '').$

‎Степень этой формы равна $\nu$, а индексъ $\mu$, при чемъ:

$\mu \nu =n.$

(39)

‎Гессіанъ $H(\eta ',\ \eta '')$ формы $f(\eta ',\ \eta '')$, какъ мы знаемъ, есть тоже первичная форма степени $\nu _{1}=2\nu -4$ индекса $\mu _{1}$, причемъ:

$\mu _{1}\nu _{1}=n.$

(76')

‎Составимъ выраженіе:

${\frac {H^{\mu _{1}}(\eta ',\ \eta '')}{f^{\mu }(\eta ',\ \eta '')}}.$

(91)

‎Относительно выраженія (91) можно сказать слѣдующее:

1) оно равно раціональной функціи $z$, потому что числитель и знаменатель его суть раціональныя функціи $z$:

${\frac {H^{\mu _{1}}(\eta ',\ \eta '')}{f^{\mu }(\eta ',\ \eta '')}}={\mathfrak {R}}(z);$

(92)

‎2) выраженіе (91) есть однородная функція нулевой степени относительно перемѣнныхъ $\eta '$ и $\eta ''$, потому что числитель и знаменатель его суть однородныя функціи этихъ перемѣнныхъ одинаковой степени $n$.

Положивъ снова

$u={\frac {\eta '}{\eta ''}}$

(82)

‎и введя для краткости обозначенія:

$H(u,\ 1)=H(u),\ f(u,\ 1)=f(u),$

‎мы приведемъ уравненіе (92) къ такому виду:

${\frac {H^{\mu _{1}}(u)}{f^{\mu }(u)}}={\mathfrak {R}}(z).$

(93)

‎Теорема доказана.

Теорема 21. При $N=n$ уравненіе (93) неприводимо и тождественно съ уравненіемъ (83). При $N={\frac {n}{2}}$ уравненіе (93) распадается на два неприводимыхъ уравненія степени ${\frac {n}{2}}$; эти два уравненія тождественны какъ между собою, такъ и съ уравненіемъ (83).^[22]

I. Пусть $N=n$. Въ этомъ случаѣ уравненіе (93) имѣетъ общій корень съ неприводимымъ уравненіемъ (83), и степени обоихъ уравненій одинаковы. Слѣдовательно они между собою тождественны.

II. Пусть $N={\frac {n}{2}}$. Въ этомъ случаѣ, какъ мы знаемъ, каждой парѣ значеній функцій $\eta ',\ \eta ''$ соотвѣтствуетъ другая пара значеній, разнящихся отъ нихъ только знаками.

Корнями уравненія (93) служатъ величины отношеній всѣхъ паръ значеній $\eta ',\ \eta ''$ между собою. Ясно, что всѣ корни уравненія (93) попарно равны между собою. Уравненіе (93) распадается на два тождественныхъ между собою уравненія степени ${\frac {n}{2}}$. Это возможно только въ томъ случаѣ, если $\mu _{1}$ и $\mu$ суть числа четныя, а раціональная функція ${\mathfrak {R}}(z)$ есть точный квадратъ:

$\mu _{1}=2\lambda _{1},\ \mu =2\lambda ,\ {\mathfrak {R}}(z)=R(z),$

(94)

‎гдѣ $R(z)$ есть нѣкоторая раціональная функція $z$.

При выполненіи этихъ условій уравненіе (93) распадается на два одинаковыхъ уравненія:

${\frac {H^{\lambda }(u)}{f^{\lambda }(u)}}=R(z).$

(95)

‎Это уравненіе степени $N={\frac {n}{2}}$ неприводимо и тождественно съ уравненіемъ (83), что видно изъ такихъ же соображеній, которыя мы привели при разсмотрѣніи предъидущаго случая.

Теорема доказана.

Ради единства формулъ мы дальше всегда будемъ изображать уравненіе (83) въ видѣ (95), имѣя постоянно въ виду два возможныхъ случая:

$\left.{\begin{array}{rc}\mathrm {I.} &N=n,\ \lambda =\mu ,\ \lambda _{1}=\mu _{1},\ R(z)={\mathfrak {R}}(z),\\\mathrm {II.} &N={\dfrac {n}{2}},\ \lambda ={\dfrac {\mu }{2}},\ \lambda _{1}={\dfrac {\mu _{1}}{2}},\ R(z)={\sqrt {{\mathfrak {R}}(z)}},\end{array}}\right\}$

(96)

‎гдѣ $N,\ \lambda ,\ \lambda _{1}$ суть цѣлыя числа, а $R(z)$—раціональная функція $z$. Въ обоихъ случаяхъ имѣютъ мѣсто соотношенія:

$N=\lambda \nu =\lambda _{1}\nu _{1}.$

(97)

‎Теорема 22. Отношенія частныхъ интеграловъ уравненій (2) и (21) и отношенія корней уравненій (1) и (20) удовлетворяютъ уравненіямъ вида:

${\frac {H^{\lambda _{1}}(u)}{f^{\lambda }(u)}}={\mathfrak {R}}(z).$

(95)

‎при чемъ степень $N$ этого уравненія и показатели $\lambda _{1}$ и $\lambda$ опредѣляются равенствами (96).

Справедливость теоремы для интеграловъ уравненія (21) была уже доказана нами выше.

Корни уравненія (20) суть частные интегралы уравненія (21); слѣдовательно, для нихъ теорема подавно справедлива. Изъ формулы (19) видно, что интегралы уравненія (2) связаны съ интегралами уравненія (21) посредствомъ соотношенія:

$y=e^{-{\frac {1}{2}}\int p_{1}\,dz}\eta .$

(19')

‎Слѣдовательно отношеніе интеграловъ:

${\frac {y'}{y''}}$

‎уравненія (2) таково же, какъ и отношеніе интеграловъ:

${\frac {\eta '}{\eta ''}}$

‎уравненія (21):

$u={\frac {y'}{y''}}={\frac {\eta '}{\eta ''}}.$

(98)

‎Если такъ, то теорема должна быть справедлива какъ для дифференціальнаго уравненія (2), такъ и для алгебраическаго уравненія (1).

Такъ какъ теорема 20 по доказанному справедлива для уравненій (1) и (2), а уравненія (20) и (21) могутъ быть разсматриваемы какъ простѣйшій случай уравненій (1) и (2), то въ дальнѣйшемъ мы снова вернемся къ уравненіямъ (1) и (2). Уравненіями (20) и (21) мы будемъ пользоваться иногда для упрощенія вычисленій тамъ, гдѣ это будетъ возможно сдѣлать, не нарушая общности теоремы. Мы будемъ также иногда указывать на особенности этого болѣе простаго частнаго случая.

Теорема 23. Корни $y_{1},\ y_{2}$ уравненія (1) выражаются при помощи одного квадратнаго радикала, какъ явныя функціи корня

$u={\frac {y_{1}}{y_{2}}}$

(98')

‎уравненія (95).

Пусть

$u={\frac {y_{1}}{y_{2}}}$

(98')

‎есть корень уравненія:

${\frac {H^{\lambda _{1}}(u)}{f^{\lambda }(u)}}=R(z).$

(95)

‎Одифференцируемъ равенство (98'):

${\frac {du}{dz}}={\frac {y_{2}{\dfrac {dy_{1}}{dz}}-y_{1}{\dfrac {dy_{2}}{dz}}}{y_{2}^{2}}}.$

(99)

‎Пользуясь теоремою Ліувилля:

$y_{2}{\frac {dy_{1}}{dz}}-y_{1}{\frac {dy_{2}}{dz}}=Ce^{-\int p_{1}\,dz},$

‎приводимъ уравненіе (99) къ такому виду:

${\frac {Ce^{-\int p_{1}\,dz}}{y_{2}^{2}}}={\frac {du}{dz}},$

‎откуда:

$y_{2}={\frac {\sqrt {C}}{\sqrt {\dfrac {du}{dz}}}}e^{-{\frac {1}{2}}\int p_{1}\,dz}.$

(100)

‎Изъ равенствъ (98') и (100) находимъ:

$y_{1}={\frac {u{\sqrt {C}}}{\sqrt {\dfrac {du}{dz}}}}e^{-{\frac {1}{2}}\int p_{1}\,dz}.$

(101)

‎Для нахожденія производной ${\frac {du}{dz}}$ дифференцируемъ уравненіе (95):

${\frac {H^{\lambda _{1}-1}(u)}{f^{\lambda +1}(u)}}\left\{\lambda _{1}f(u){\frac {dH(u)}{du}}-\lambda H(u){\frac {df(u)}{du}}\right\}{\frac {du}{dz}}={\frac {dR(z)}{dz}}.$

(102)

‎Полагая:

$\lambda _{1}f(u){\frac {dH(u)}{du}}-\lambda H(u){\frac {df(u)}{du}}=NT(u),$[23]

(103)

‎находимъ:

$N{\frac {H^{\lambda _{1}-1}(u)T(u)}{f^{\lambda +1}(u)}}{\frac {du}{dz}}={\frac {dR(z)}{dz}},$

(104)

‎откуда, принимая во вниманіе уравненіе (95), имѣемъ:

${\frac {du}{dz}}={\frac {f(u)H(u){\dfrac {dR(z)}{dz}}}{NT(u)R(z)}}.$

(105)

‎Подставивъ это выраженіе въ формулы (101) и (100), находимъ:

$\left.{\begin{matrix}y_{1}=ku{\sqrt {\dfrac {T(u)R(z)}{f(u)H(u){\dfrac {dR(z)}{dz}}}}}e^{-{\frac {1}{2}}\int p_{1}\,dz},\\y_{2}=k{\sqrt {\dfrac {T(u)R(z)}{f(u)H(u){\dfrac {dR(z)}{dz}}}}}e^{-{\frac {1}{2}}\int p_{1}\,dz},\end{matrix}}\right\}$

(106)

‎гдѣ $k$ есть нѣкоторое постоянное число.

Изъ формулъ (106) слѣдуетъ, что доказываемая теорема справедлива.

Для уравненія (20) формулы (106) нѣсколько упрощаются:

$\left.{\begin{matrix}\eta _{1}=ku{\sqrt {\dfrac {T(u)R(z)}{f(u)H(u){\dfrac {dR(z)}{dz}}}}},\\\eta _{2}=k{\sqrt {\dfrac {T(u)R(z)}{f(u)H(u){\dfrac {dR(z)}{dz}}}}}.\end{matrix}}\right\}$

(107)

‎Изъ теоремы 23 слѣдуетъ, что задача о рѣшеніи уравненій (1) и (20) приводится къ задачѣ о рѣшеніи уравненія (95): корни уравненій (1) и (20) выражены нами, какъ явныя функціи корней уравненія (95).

Вслѣдствіе этого мы съ особенною полнотою будемъ изучать свойства и способы рѣшенія уравненій (95). Ниже мы увидимъ, что корни всѣхъ уравненій, разрѣшимыхъ въ гипергеометрическихъ функціяхъ, выражаются, какъ явныя функціи корней уравненій вида (95).

§ 4. Случаи, когда дифференціальное уравненіе имѣетъ первичную форму второй стенени.

Пусть дифференціальное уравненіе (21) имѣетъ первичную форму 2-ой степени:

$(\alpha \eta '+\beta \eta '')(\gamma \eta '+\delta \eta '').$

(108)

‎Положивъ:

$\alpha \eta '+\beta \eta ''=\eta _{1},$ $\gamma \eta '+\delta \eta ''=\eta _{2},$

(109)

‎мы приведемъ первичную форму (108) къ виду:

$f(\eta _{1},\ \eta _{2})=\eta _{1}\eta _{2}.$

(110)

‎Функціи $\eta _{1}$ и $\eta _{2}$ суть частные интегралы дифференціальнаго уравненія (21) и корни алгебраическаго уравненія (20) степени $n$.

Индексъ первичной формы (110) равенъ:

$\nu ={\frac {n}{2}}.$

‎Слѣдовательно, степень $n$ четная.

Положивъ:

$n=2m,$

‎мы находимъ, что индексъ первичной формы 2-ой степени (110) равенъ $m$.

Изъ свойствъ первичной формы слѣдуетъ, что

$(\eta _{1}\eta _{2})^{m}={\mathfrak {R}}(z),$

(111)

‎гдѣ ${\mathfrak {R}}(z)$ раціональная функція $z$.

На основаніи вида уравненія (36) мы можемъ сказать, что то алгебраическое уравненіе, которому удовлетворяютъ частные интегралы $\eta _{1},\ \eta _{2}$ должно быть таково:

$A_{0}\eta ^{2m}+A_{m}\eta ^{m}+A_{2m}=0,$

(112)

‎гдѣ $A_{0},\ A_{m},\ A_{2m}$ суть раціональныя функціи $z$.

Всѣ корни этого уравненія могутъ быть расположены въ слѣдующей таблицѣ:

$\left.{\begin{matrix}\eta _{1},\ j\eta _{1},\ j^{2}\eta _{1},\ \ldots ,\ j^{m-1}\eta _{1},\\\eta _{2},\ j\eta _{2},\ j^{2}\eta _{2},\ \ldots ,\ j^{m-1}\eta _{2},\end{matrix}}\right\}$

(113)

‎гдѣ $j$ есть первообразный корень степени $m$ изъ 1.

Произведеніе всѣхъ корней уравненія (112) равно:

${\frac {A_{2m}}{A_{0}}}.$

‎Слѣдовательно

$(\eta _{1}\eta _{2})^{m}={\frac {A_{2m}}{A_{0}}}.$

(114)

‎Изъ равенствъ (111) и (114) находимъ:

${\mathfrak {R}}(z)={\frac {A_{2m}}{A_{0}}}.$

(115)

‎Это равенство опредѣляетъ функцію ${\mathfrak {R}}(z)$.

Корни уравненія (112) опредѣляются формулой:

$\eta ={\sqrt[{m}]{\frac {-A_{m}+{\sqrt {A_{m}^{2}-4A_{0}A_{2m}}}}{2A_{0}}}},$

(116)

‎гдѣ радикалы должны послѣдовательно получать всѣ свои значенія.

Итакъ, случай существованія первичной формы 2-ой степени по характеру своему совершенно элементарный^[24].

Ради полноты изложенія составимъ то алгебраическое уравненіе, которому удовлетворяютъ отношенія корней уравненія (112).

Положивъ:

${\frac {\eta _{1}}{\eta _{2}}}=u,$

‎мы легко находимъ, что $u$ есть корень уравненія:

${\frac {\left({\dfrac {u^{m}+1}{2}}\right)^{2}}{u^{m}}}=R(z),$

(117)

‎гдѣ

$R(z)={\frac {A_{m}^{2}}{4A_{0}A_{2m}}}.$

(118)

‎Это уравненіе того же типа, какъ и уравненіе (95). Разница только въ томъ, что:

${\frac {u^{m}+1}{2}}$

‎не есть гессіанъ функціи $u$^[25].

Для большаго сходства формулъ мы будемъ полагать:

$f(u)=u,\ H(u)={\frac {u^{m}+1}{2}}.$

(119)

‎Тогда уравненіе (117) приметъ видъ:

${\frac {H^{2}(u)}{f^{m}(u)}}=R(z).$

(120)

‎Это уравненіе того же типа и обладаетъ тѣми же свойствами, какъ и уравненіе (95). Въ дальнѣйшемъ мы его больше не будемъ выдѣлять изъ общей теоріи. Не лишено интереса то замѣчаніе, что корни уравненія (112) могутъ быть выражены при помощи формулъ (107) черезъ корень и уравненія (120). При этомъ функціональный опредѣлитель $T(u)$ функцій $f(u)$ и $H(u)$ выразится такъ:

$T(u)={\frac {u^{m}-1}{2}}.$

(121)

---

Сноски

1. Эта теорема и слѣдующія за нею теоремы параграфа 1 и отчасти параграфа 2 заимствованы мною въ мемуарѣ Фукса: Ueber die linearen Differentialgleihungen Zweiter Ordnung, welche algebraische Integrale besitzen, und eine neue Anwendung der Invariantentheorie. Журналъ Крелля т. 81 стр. 97.
2. Т. е. не имѣютъ существенно особыхъ точекъ.
3. См. Анисимовъ. Основанія теоріи линейныхъ дифференціальныхъ уравненій. Стр. 40.
4. См. Анисимовъ ibidem стр. 49.
5. Уравненіе (16), а равно и видъ (14) коэффиціентовъ $p_{1}$ и $p_{2}$ можно получить очень просто изъ общихъ формулъ Фукса. См. Анисимовъ ibidem стр. 96.
6. Величины $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma ,\ \delta$ называются коэффиціентами обхода.
7. Въ коэффиціенты этихъ раціональныхъ функцій можетъ входить перемѣнное $z$ и при томъ коэффиціенты сами суть раціональныя функціи $z$. Перемѣнное $z$ разсматривается, какъ величина данная.
8. О системахъ сѣченій Риманновой поверхности см. Neumann Theorie der Abelschen Integrale глава VII, § 13.
9. Подъ группою какихъ бы то ни было операцій мы подразумѣваемъ совокупность

   $S_{0},\ S_{1},\ S_{2},\ \ldots ,\ S_{n-1}$

   (a)

   операцій, обладающихъ тѣмъ свойствомъ, что комбинація $S_{i}S_{j}$ всякихъ двухъ операцій этой совокупности есть снова нѣкоторая операція $S_{h}$ принадлежащая къ той же совокупности (a). Порядкомъ группы называется число различныхъ операцій, входящихъ въ совокупность (a).
   ‎Бинарною линейною подстановкою мы будемъ называть однородное линейное преобразованіе двухъ перемѣнныхъ слѣдующаго вида: ${\begin{matrix}{\bar {\eta }}_{1}=\alpha \eta _{1}+\beta \eta _{2},\\{\bar {\eta }}_{2}=\gamma \eta _{1}+\delta \eta _{2},\end{matrix}}$
   при чемъ $\alpha \delta -\beta \gamma$ носитъ названіе опредѣлителя подстановки.
   ‎Ниже намъ часто придется имѣть дѣло съ линейнымъ неоднороднымъ преобразованіемъ одного перемѣннаго: ${\bar {u}}={\frac {\alpha u+\beta }{\gamma u+\delta }}.$
   Такое преобразованіе мы будемъ называть просто линейною подстановкою.
10. Если мы примемъ $\eta '=\eta _{1},\ \eta ''=\eta _{2}$ (что мы въ правѣ сдѣлать, потому что отношеніе ${\frac {\eta _{1}}{\eta _{2}}}$ не есть величина постоянная), то форма $\Omega (\eta _{1},\ \eta _{2})$ будетъ имѣть множителемъ $\eta _{1}\eta _{2}$, т.-е. въ формѣ $\Omega (\eta _{1},\ \eta _{2})$ коэффиціенты при $\eta _{1}^{\nu }$ и $\eta _{2}^{\nu }$ будутъ равны 0. Съ такими формами мы впослѣдствіи будемъ встрѣчаться.
11. Клейнъ называетъ такія формы основными формами (Grundformen).
12. Въ этой и послѣдующихъ теоремахъ мы должны помнить, что аргументы $\eta ',\ \eta ''$ первичной формы суть частные интегралы уравненія (21).
13. Величины: $(\nu )_{1},\ (\nu )_{2},\ (\nu )_{3},\ \ldots$
    ‎суть биноміальные коэффиціенты.
14. На основаніи теоремы 6.
15. Въ § 1 это было доказано для уравненія (2). Уравненіе (21) есть простѣйшій частный случай уравненія (2).
16. См. Clebsch. Theorie der binären algebraischen Formen стр. 163 или: Gordan. Vorlesungen über Invariantentheorie, томъ 2, стр. 197.
17. Потому что $\mu \nu =n$.
18. Если бы полученное уравненіе оказалось приводимымъ, то мы отдѣлили бы тотъ неприводимый множитель лѣвой части уравненія, который имѣетъ корнемъ величину (82). Приравнявъ этотъ множитель нулю, мы нашли бы неприводимое уравненіе (83).
19. Въ коэффиціенты этой функціи можетъ входить перемѣнное $z$; при томъ эти коэффиціенты будутъ раціональны относительно $z$. Перемѣнное $z$ мы разсматриваемъ, какъ величину данную.
20. Подкоренная функція можетъ содержать перемѣнное $z$, въ такомъ случаѣ коэффиціенты ея будутъ раціональными функціями $z$. Выраженіе этой функціи приведено ниже.
21. Если корень извлекается точно.
22. Корректную формулировку теоремы см. в Поправке. — Примѣчаніе редактора Викитеки.
23. Бинарная форма $T(\eta ',\ \eta '')$, соотвѣтствующая многочлену $T(u)$, есть функціональный опредѣлитель формъ $f(\eta ',\ \eta '')$ и $H(\eta ',\ \eta '')$. Отсюда слѣдуетъ, что форма $T(\eta ',\ \eta '')$ есть коваріантъ первичной формы $f(\eta ',\ \eta '')$ и потому равна радикалу изъ раціональной функціи перемѣннаго $z$. Впослѣдствіи мы часто будемъ пользоваться многочленомъ $T(u)$.
24. Не лишено интереса такое замѣчаніе: всякое кубичное уравненіе вида:

    $y^{3}+py+q=0$

    (a)

    имѣетъ корнями частные интегралы нѣкотораго линейнаго дифференціальнаго уравненія втораго порядка. Оба радикала Кардановой формулы:

    $\eta _{1}={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}-{\frac {p^{3}}{27}}}}}}$ и $\eta _{2}={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}-{\frac {p^{3}}{27}}}}}}$

    (b)

    суть частные интегралы того же дифференціальнаго уравненія, и въ то же время они суть корни уравненія 6-ой степени:

    $\eta ^{6}+q\eta ^{3}+{\frac {p^{3}}{27}}=0.$

    (c)

    Произведеніе $\eta _{1}\eta _{2}$
    есть первичная форма второй степени индекса 3:

    $\eta _{1}\eta _{2}={\sqrt[{3}]{\frac {p^{3}}{27}}}={\frac {p}{3}}.$

    (d)

25. Если $f(\eta _{1},\ \eta _{2})=\eta _{1}\eta _{2}$, то $f(u)=u$.