Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/47

Соотвѣтствующая первичная форма будетъ степени не выше ${\frac {n}{l}}$, т.-е. во всякомъ случаѣ ниже ${\frac {n}{2}}$.

Это противорѣчитъ сдѣланному допущенію, что первичная форма $f(\eta ',\ \eta '')$ наинисшей степени имѣетъ степень равную ${\frac {n}{2}}$.

Итакъ, первый изъ указанныхъ случаевъ встрѣтиться не можетъ.

II. Пусть для всѣхъ критическихъ точекъ дробь $\varepsilon$ равна ${\frac {1}{2}}$.

Возьмемъ форму:

$a\eta _{1}^{2}+b\eta _{1}\eta _{2}+c\eta _{2}^{2},$

(73)

‎гдѣ $a,\ b,\ c$, произвольно взятыя постоянныя числа.

Функціи $\eta _{1}^{2},\ \eta _{1}\eta _{2},\ \eta _{2}^{2}$ въ области точки $\alpha _{i}$ разлагаются въ ряды вида:

$\left.{\begin{matrix}\eta _{1}^{2}=(z-\alpha _{i})^{1+2e}\varphi _{1}^{2}(z-\alpha _{i}),\\\eta _{2}^{2}=(z-\alpha _{i})^{1-2e}\varphi _{2}^{2}(z-\alpha _{i}),\\\eta _{1}\eta _{2}=(z-\alpha _{i})\varphi _{1}(z-\alpha _{i})\varphi _{2}(z-\alpha _{i}).\end{matrix}}\right\}$

(74)

‎Онѣ однозначны въ области особой точки $\alpha _{i}$.

Если такъ, то и функція (73) однозначна въ области точки $\alpha _{i}$.

Возьмемъ форму:

$A\eta '{}^{2}+B\eta '\eta ''+C\eta ''{}^{2},$

(75)

‎гдѣ $A,\ B,\ C$ суть произвольныя постоянныя числа, а $\eta ',\ \eta ''$ любыхъ два линейно-независимыхъ частныхъ интеграла уравненія (21).

Выразивъ $\eta '$ и $\eta ''$ линейно черезъ $\eta _{1},\ \eta _{2}$, мы убѣдимся, въ томъ, что форма (75) приводится къ виду (73) и по доказанному однозначна въ области точки $\alpha _{i}$. По той же причинѣ она однозначна въ области всѣхъ остальныхъ особыхъ точекъ. Слѣдовательно она равна раціональной функцій $z$ и есть первичная форма второй степени.

Тот же текст в современной орфографии

Соответствующая первичная форма будет степени не выше ${\frac {n}{l}}$, т. е. во всяком случае ниже ${\frac {n}{2}}$.

Это противоречит сделанному допущению, что первичная форма $f(\eta ',\ \eta '')$ наинисшей степени имеет степень равную ${\frac {n}{2}}$.

Итак, первый из указанных случаев встретиться не может.

II. Пусть для всех критических точек дробь $\varepsilon$ равна ${\frac {1}{2}}$.

Возьмем форму:

$a\eta _{1}^{2}+b\eta _{1}\eta _{2}+c\eta _{2}^{2},$

(73)

‎где $a,\ b,\ c$ — произвольно взятые постоянные числа.

Функции $\eta _{1}^{2},\ \eta _{1}\eta _{2},\ \eta _{2}^{2}$ в области точки $\alpha _{i}$ разлагаются в ряды вида:

$\left.{\begin{matrix}\eta _{1}^{2}=(z-\alpha _{i})^{1+2e}\varphi _{1}^{2}(z-\alpha _{i}),\\\eta _{2}^{2}=(z-\alpha _{i})^{1-2e}\varphi _{2}^{2}(z-\alpha _{i}),\\\eta _{1}\eta _{2}=(z-\alpha _{i})\varphi _{1}(z-\alpha _{i})\varphi _{2}(z-\alpha _{i}).\end{matrix}}\right\}$

(74)

‎Они однозначны в области особой точки $\alpha _{i}$.

Если так, то и функция (73) однозначна в области точки $\alpha _{i}$.

Возьмем форму:

$A\eta '{}^{2}+B\eta '\eta ''+C\eta ''{}^{2},$

(75)

‎где $A,\ B,\ C$ суть произвольные постоянные числа, а $\eta ',\ \eta ''$ любых два линейно-независимых частных интеграла уравнения (21).

Выразив $\eta '$ и $\eta ''$ линейно через $\eta _{1},\ \eta _{2}$, мы убедимся в том, что форма (75) приводится к виду (73) и по доказанному однозначна в области точки $\alpha _{i}$. По той же причине она однозначна в области всех остальных особых точек. Следовательно она равна рациональной функций $z$ и есть первичная форма второй степени.