Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/33

‎гдѣ $\Psi _{1}(\eta _{2},\ z)$ и $\Psi _{2}(\eta _{1},\ z)$ суть раціональныя функціи ихъ аргументовъ;

2) что функціи $\eta _{1}$ и $\eta _{2}$ удовлетворяютъ алгебраическимъ уравненіямъ одинаковыхъ степеней.

Теорема доказана.

(Случай, когда отношеніе взятыхъ интеграловъ $\eta _{1}$ и $\eta _{2}$ постоянно, не составляетъ исключенія изъ этой теоремы: справедливость ея въ этомъ случаѣ очевидна).

Теорема 8. Каждой парѣ линейно-независимыхъ частныхъ интеграловъ дифференціальнаго уравненія (21) соотвѣтствуетъ группа^[1] линейныхъ бинарныхъ подстановокъ съ опредѣлителемъ равнымъ 1. Порядокъ этой группы равенъ степени уравненія (20).

Пусть $\eta _{1}$ и $\eta _{2}$ суть два линейно независимыхъ частныхъ интеграла уравненія (21). Совершивъ обходъ около какой либо критической точки, мы увидимъ, что $\eta _{1}$ и $\eta _{2}$ примутъ

1. Подъ группою какихъ бы то ни было операцій мы подразумѣваемъ совокупность

   $S_{0},\ S_{1},\ S_{2},\ \ldots ,\ S_{n-1}$

   (a)

   операцій, обладающихъ тѣмъ свойствомъ, что комбинація $S_{i}S_{j}$ всякихъ двухъ операцій этой совокупности есть снова нѣкоторая операція $S_{h}$ принадлежащая къ той же совокупности (a). Порядкомъ группы называется число различныхъ операцій, входящихъ въ совокупность (a).
   ‎Бинарною линейною подстановкою мы будемъ называть однородное линейное преобразованіе двухъ перемѣнныхъ слѣдующаго вида: ${\begin{matrix}{\bar {\eta }}_{1}=\alpha \eta _{1}+\beta \eta _{2},\\{\bar {\eta }}_{2}=\gamma \eta _{1}+\delta \eta _{2},\end{matrix}}$
   при чемъ $\alpha \delta -\beta \gamma$ носитъ названіе опредѣлителя подстановки.
   ‎Ниже намъ часто придется имѣть дѣло съ линейнымъ неоднороднымъ преобразованіемъ одного перемѣннаго: ${\bar {u}}={\frac {\alpha u+\beta }{\gamma u+\delta }}.$
   Такое преобразованіе мы будемъ называть просто линейною подстановкою.

Тот же текст в современной орфографии

‎где $\Psi _{1}(\eta _{2},\ z)$ и $\Psi _{2}(\eta _{1},\ z)$ суть рациональные функции их аргументов;

2) что функции $\eta _{1}$ и $\eta _{2}$ удовлетворяют алгебраическим уравнениям одинаковых степеней.

Теорема доказана.

(Случай, когда отношение взятых интегралов $\eta _{1}$ и $\eta _{2}$ постоянно, не составляет исключения из этой теоремы: справедливость ее в этом случае очевидна).

Теорема 8. Каждой паре линейно-независимых частных интегралов дифференциального уравнения (21) соответствует группа^[1] линейных бинарных подстановок с определителем равным 1. Порядок этой группы равен степени уравнения (20).

Пусть $\eta _{1}$ и $\eta _{2}$ суть два линейно независимых частных интеграла уравнения (21). Совершив обход около-какой либо критической точки, мы увидим, что $\eta _{1}$ и $\eta _{2}$ примут

1. Под группой каких бы то ни было операций мы подразумеваем совокупность

   $S_{0},\ S_{1},\ S_{2},\ \ldots ,\ S_{n-1}$

   (a)

   операций, обладающих тем свойством, что комбинация $S_{i}S_{j}$ всяких двух операций этой совокупности есть снова некоторая операция $S_{h}$, принадлежащая к той же совокупности (a). Порядком группы называется число различных операций, входящих в совокупность (a).
   ‎Бинарной линейной подстановкой мы будем называть однородное линейное преобразование двух переменных следующего вида: ${\begin{matrix}{\bar {\eta }}_{1}=\alpha \eta _{1}+\beta \eta _{2},\\{\bar {\eta }}_{2}=\gamma \eta _{1}+\delta \eta _{2},\end{matrix}}$
   причем $\alpha \delta -\beta \gamma$ носит название определителя подстановки.
   ‎Ниже нам часто придется иметь дело с линейным неоднородным преобразованием одной переменной: ${\bar {u}}={\frac {\alpha u+\beta }{\gamma u+\delta }}.$
   Такое преобразование мы будем называть просто линейной подстановкой.