Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/52

§ 3. Уравненія, которымъ удовлетворяютъ отношенія корней уравненія разсматриваемаго класса.

Теорема 19. Отношеніе частныхъ интеграловъ уравненія (21) удовлетворяютъ неприводимому алгебраическому уравненію степени:

$N=n$ или $N={\frac {n}{2}}$.

‎Пусть $\eta ',\ \eta ''$ суть два линейно независимыхъ частныхъ интеграла уравненія (21).

Возьмемъ функцію:

$u={\frac {\eta }{\eta ''}}$

(82)

‎и построимъ то неприводимое^[1] уравненіе, которому она удовлетворяетъ:

$\Psi (u,\ z)=0.$

(83)

‎Пусть степень этого уравненія равна $N$.

Ясно, что $\eta '$ есть алгебраическая функція $u$ и обратно: $u$ есть алгебраическая функція $\eta '$.

Величина $u$ есть однозначная функція $\eta '$^[2]. Въ самомъ дѣлѣ, изъ теоремы 7 мы знаемъ, что $\eta ''$ есть раціональная функція $\eta '$. Вставивъ это выраженіе $\eta ''$ въ формулу (82), мы найдемъ, что $u$ есть раціональная функція $\eta '$.

Посмотримъ, сколько значеній имѣетъ $\eta '$, разсматриваемая какъ функція $u$.

Пусть нѣкоторому значенію $u$ соотвѣтствуетъ два значенія $\eta '$:

1. Если бы полученное уравненіе оказалось приводимымъ, то мы отдѣлили бы тотъ неприводимый множитель лѣвой части уравненія, который имѣетъ корнемъ величину (82). Приравнявъ этотъ множитель нулю, мы нашли бы неприводимое уравненіе (83).
2. Въ коэффиціенты этой функціи можетъ входить перемѣнное $z$; при томъ эти коэффиціенты будутъ раціональны относительно $z$. Перемѣнное $z$ мы разсматриваемъ, какъ величину данную.

Тот же текст в современной орфографии

§ 3. Уравнения, которым удовлетворяют отношения корней уравнения рассматриваемого класса.

Теорема 19. Отношение частных интегралов уравнения (21) удовлетворяет неприводимому алгебраическому уравнению степени:

$N=n$ или $N={\frac {n}{2}}$.

‎Пусть $\eta ',\ \eta ''$ суть два линейно независимых частных интеграла уравнения (21).

Возьмем функцию:

$u={\frac {\eta }{\eta ''}}$

(82)

‎и построим то неприводимое^[1] уравнение, которому она удовлетворяет:

$\Psi (u,\ z)=0.$

(83)

‎Пусть степень этого уравнения равна $N$.

Ясно, что $\eta '$ есть алгебраическая функция $u$, и обратно: $u$ есть алгебраическая функция $\eta '$.

Величина $u$ есть однозначная функция $\eta '$^[2]. В самом деле, из теоремы 7 мы знаем, что $\eta ''$ есть рациональная функция $\eta '$. Вставив это выражение $\eta ''$ в формулу (82), мы найдем, что $u$ есть рациональная функция $\eta '$.

Посмотрим, сколько значений имеет $\eta '$, рассматриваемая как функция $u$.

Пусть некоторому значению $u$ соответствуют два значения $\eta '$:

1. Если бы полученное уравнение оказалось приводимым, то мы отделили бы тот неприводимый множитель левой части уравнения, который имеет корнем величину (82). Приравняв этот множитель нулю, мы нашли бы неприводимое уравнение (83).
2. В коэффициенты этой функции может входить переменная $z$; притом эти коэффициенты будут рациональны относительно $z$. Переменная $z$ мы рассматриваем как величину данную.