Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/24

интегралами; слѣд. въ разсматриваемомъ случаѣ $y_{1}$ и $y_{2}$ будутъ частными интегралами уравненія (2) и при томъ линейно-независимыми, ибо по условію отношеніе ${\frac {y_{1}}{y_{2}}}$ не есть величина постоянная.

Если такъ, то функція

$c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2},$

‎есть дѣйствительно общій интегралъ уравненія (2).

На основаніи теоремы 2 въ числѣ корней уравненія (1) всегда найдется хотя бы одна пара корней, отношеніе которыхъ не есть величина постоянная.

Теорема 5. Если одинъ изъ корней уравненія (1) удовлетворяетъ уравненію (2), то всѣ интегралы уравненія (2) будутъ алгебраическіе.

На основаніи теоремы 4 въ разсматриваемомъ случаѣ всѣ интегралы уравненія (2) представятся въ видѣ:

$c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2},$

‎т. е. въ видѣ раціональной функціи двухъ корней алгебраическаго уравненія. Извѣстно, что такая функція сама есть корень нѣкотораго алгебраическаго уравненія.

---

Опредѣлимъ теперь нѣсколько ближе видъ функцій $p_{1}$ и $p_{2}$, входящихъ въ дифференціальное уравненіе (2).

Прежде всего замѣтимъ, что если какой либо корень уравненія (1) удовлетворяетъ уравненію (2), то всѣ частные интегралы дифференціальнаго уравненія (2) суть правильные^[1] на всей Нейманновой сферѣ и имѣютъ конечное число особыхъ точекъ. Въ самомъ дѣлѣ, мы видѣли, что всѣ эти частные интегралы суть функціи алгебраическія; слѣдовательно

1. Т. е. не имѣютъ существенно особыхъ точекъ.

Тот же текст в современной орфографии

интегралами; след. в рассматриваемом случае $y_{1}$ и $y_{2}$ будут частными интегралами уравнения (2) и притом линейно-независимыми, ибо по условию отношение ${\frac {y_{1}}{y_{2}}}$ не есть величина постоянная.

Если так, то функция

$c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2},$

‎есть действительно общий интеграл уравнения (2).

На основании теоремы 2 в числе корней уравнения (1) всегда найдется хотя бы одна пара корней, отношение которых не есть величина постоянная.

Теорема 5. Если один из корней уравнения (1) удовлетворяет уравнению (2), то все интегралы уравнения (2) будут алгебраическими.

На основании теоремы 4 в рассматриваемом случае все интегралы уравнения (2) представляются в виде:

$c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2},$

‎т. е. в виде рациональной функции двух корней алгебраического уравнения. Известно, что такая функция сама есть корень некоторого алгебраического уравнения.

---

Определим теперь несколько ближе вид функций $p_{1}$ и $p_{2}$, входящих в дифференциальное уравнение (2).

Прежде всего заметим, что если какой-либо корень уравнения (1) удовлетворяет уравнению (2), то все частные интегралы дифференциального уравнения (2) суть правильные^[1] на всей Неймановой сфере и имеют конечное число особых точек. В самом деле, мы видели, что все эти частные интегралы суть функции алгебраические; следовательно

1. Т. е. не имеют существенно особых точек.