Алгебраические уравнения, разрешимые в гипергеометрических функциях (Лахтин)/Глава II/ДО

Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ — Глава II. Свойства алгебраическихъ уравненій, имѣющихъ корнями отношенія частныхъ интеграловъ линейнаго дифференціальнаго уравненія 2-го порядка
авторъ Л. К. Лахтинъ

§ 5. Основныя свойства  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

661

§ 6. Дифференціальное уравненіе 3-го порядка, которому удовлетворяютъ корни алгебраическаго уравненія изучаемаго класса  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

681

§ 7. Двучленное уравненіе  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

688

---

Глава II.

Свойства алгебраическихъ уравненій, имѣющихъ корнями отношенія частныхъ интеграловъ линейнаго дифференціальнаго уравненія 2-го порядка.

‎Въ главѣ I мы разсмотрѣли главнѣйшія свойства уравненій, имѣющихъ корнями частные интегралы линейнаго дифференціальнаго уравненія 2-го порядка, и видѣли, что рѣшеніе этихъ уравненій можетъ быть приведено къ рѣшенію уравненій иного класса: уравненій имѣющихъ корнями отношенія частныхъ интеграловъ линейнаго дифференціальнаго уравненія 2-го порядка.

Теперь мы займемся изученіемъ свойствъ уравненій этого новаго класса и убѣдимся въ томъ, что всѣ они разрѣшимы въ гипергеометрическихъ функціяхъ.

§ 5. Основныя свойства.

Согласно съ результатами, найденными въ главѣ I, мы можемъ утверждать, что неприводимое алгебраическое уравненіе, которому удовлетворяютъ частные интегралы линейнаго дифференціальнаго уравненія 2-го порядка:

${\frac {d^{2}y}{dz^{2}}}+p_{1}{\frac {dy}{dz}}+p_{2}y=0,$

(1)

‎должно имѣть такой видъ:

${\frac {H^{\lambda _{1}}(u)}{f^{\lambda }(u)}}=R(z).$

(2)

‎Степени многочленовъ $f(u)$ и $H(u)$ по прежнему мы будемъ обозначать буквами $\nu$ и $\nu _{1}$. Въ такомъ случаѣ:

$\lambda \nu =\lambda _{1}\nu _{1}=N.$

(3)

‎Теорема 1. Показатели $\lambda$ и $\lambda _{1}$, входящіе въ уравненіе (2), не могутъ равняться единицѣ.

Обозначимъ по прежнему индексы первичныхъ формъ

$f(\eta ',\ \eta ''),\ H(\eta ',\ \eta '')$

‎буквами $\mu$ и $\mu _{1}$.

Изъ формулъ (96) главы I мы видимъ, что показатели $\lambda$ и $\lambda _{1}$ или соотвѣтственно равны индексамъ $\mu$ и $\mu _{1}$, или вдвое меньше ихъ.

Изъ теоремъ 14, 15, 17 и 18 главы I слѣдуетъ, что если степень $\nu$ первичной формы $f(\eta ',\ \eta '')$ отлична отъ 2, то индексы $\mu$ и $\mu _{1}$ не могутъ равняться ни 1, ни 2.

Если такъ, то при $\nu$ отличномъ отъ 2 показатели $\lambda$ и $\lambda _{1}$ не могутъ равняться 1.

Случай $\nu =2$ былъ нами разсмотрѣнъ въ § 4.

Въ этомъ случаѣ уравненіе (1) таково:

${\frac {H^{2}(u)}{f^{m}(u)}}=R(z),$

(4)

‎гдѣ

$f(u)=u,\ H(u)={\frac {u^{m}+1}{2}}.$

(5)

‎Такъ какъ при $m=1$ уравненіе (4) никакого интереса не представляетъ, то мы въ правѣ сказать, что въ случаѣ $\nu =2$ уравненіе (1) имѣетъ показателями $\lambda$ и $\lambda _{1}$ числа, не меньшія 2.

Теорема доказана.

Теорема 2. Степень $N$ уравненія (2) не ниже 4.

Изъ равенствъ (3) слѣдуетъ, что

$N=\lambda \nu ,$

‎а такъ какъ $\nu$ не меньше 2, и $\lambda$ по теоремѣ 1 тоже не меньше 2, то $N$ не меньше 4.

Теорема 3. Уравненіе (2) имѣетъ группу линейныхъ подстановокъ^[1].

Пусть ${\bar {u}}$ и $u$ суть два корня уравненія (2). Каждый изъ нихъ есть отношеніе двухъ линейно независимыхъ частныхъ интеграловъ уравненія (1):

$u={\frac {y'}{y''}},\ {\bar {u}}={\frac {{\bar {y}}'}{{\bar {y}}''}}.$

(6)

‎Частные интегралы ${\bar {y}}',\ {\bar {y}}''$ могутъ быть выражены линейно черезъ $y'$ и $y''$:

$\left.{\begin{matrix}{\bar {y}}'=\alpha y'+\beta y',\\{\bar {y}}''=\gamma y'+\delta y''.\end{matrix}}\right\}$

(7)

‎Отсюда:

${\bar {u}}={\frac {\alpha u+\beta }{\gamma u+\delta }}.$

(8)

‎Мы видимъ, что всѣ корни уравненія (2) связаны между собою линейно. Остается доказать, что эти линейныя подстановки образуютъ группу.

‎Представимъ для краткости уравненіе (2) въ такомъ видѣ:

$\psi (u,\ z)=0.$

(2')

‎Пусть подстановки, преобразующія корень $u_{1}$ въ корни:

$u_{1},\ u_{2},\ \ldots ,\ u_{i},\ \ldots ,\ u_{N}$

(9)

‎уравненія (2') суть:

$S_{1}=1,\ S_{2},\ \ldots ,\ S_{i},\ \ldots ,\ S_{N}.$

(10)

‎Такъ какъ

$u_{i}=S_{i}(u_{1})$

‎есть корень уравненія (2'), то мы имѣемъ:

$\psi (S_{i}(u_{1}),\ z)=0.$

(11)

‎Уравненіе:

$\psi (S_{i}(u),\ z)=0$

(12)

‎такой же степени, какъ и неприводимое уравненіе (2') и имѣетъ съ нимъ общій корень $u_{1}$; слѣдовательно уравненія (2') и (12) между собою тождественны.

Подставивъ въ уравненіе (12) вмѣсто $u$ корень уравненія (2'):

$u_{j}=S_{j}(u_{1}),$

‎мы должны получить тождество:

$\psi (S_{i}S_{j}(u_{1}),\ z)=0.$

(13)

‎Сравнивая это тождество съ уравненіемъ (2'), мы находимъ что величина:

$S_{i}S_{j}(u_{1})$

‎есть одинъ изъ корней (9) уравненія (2'), т. е.:

$S_{i}S_{j}(u_{1})=u_{h},$

(14)

‎гдѣ $h$ имѣетъ одно изъ значеній: $1,\ 2,\ 3,\ \ldots ,\ N$.

Тождество (14) можно представить въ такомъ видѣ:

$S_{i}S_{j}(u_{1})=S_{h}(u_{1}),$

‎откуда

$S_{i}S_{j}=S_{h}.$

(15)

‎Дѣйствительно, подстановки (10) образуютъ группу.

Такъ какъ всѣ корни уравненія (2') или, что то же, уравненія (2) черезъ каждый изъ нихъ выражаются раціонально, то это уравненіе само для себя служитъ резольвентою Галуа.

Теорема 4. Всякое отношеніе двухъ линейно независимыхъ частныхъ интеграловъ линейнаго дифференціальнаго уравненія втораго порядка (1)^[2] и всякій корень уравненія (2) удовлетворяютъ дифференціальному уравненію 3-го порядка вида:

${\frac {\dfrac {d^{3}u}{dz^{3}}}{\dfrac {du}{dz}}}-{\frac {3}{2}}\left({\frac {\dfrac {d^{2}u}{dz^{2}}}{\dfrac {du}{dz}}}\right)^{2}=-2P,$

(16)

‎гдѣ $P$ есть раціональная функція $z$:

$P={\frac {1}{4}}p_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}{\frac {dp_{1}}{dz}}-p_{2}.$[3]

(17)

‎Возьмемъ линейное дифференціальное уравненіе 2-го порядка:

${\frac {d^{2}y}{dz^{2}}}+p_{1}{\frac {dy}{dz}}+p_{2}y=0.$

(1)

‎Пусть $y',\ y''$ суть два линейно независимыхъ частныхъ интеграла этого уравненія и пусть

$u={\frac {y'}{y''}}.$

(6')

‎Одифференцируемъ это равенство три раза по $z$ и составимъ выраженіе:

${\frac {\dfrac {d^{3}u}{dz^{3}}}{\dfrac {du}{dz}}}-{\frac {3}{2}}\left({\frac {\dfrac {d^{2}u}{dz^{2}}}{\dfrac {du}{dz}}}\right)^{2},$

‎принимая при этомъ во вниманіе, что $y'$ и $y''$ суть интегралы уравненія (1).

Выполнивъ вычисленія, находимъ:

${\frac {\dfrac {d^{3}u}{dz^{3}}}{\dfrac {du}{dz}}}-{\frac {3}{2}}\left({\frac {\dfrac {d^{2}u}{dz^{2}}}{\dfrac {du}{dz}}}\right)^{2}=-2P,$

(16)

‎гдѣ по прежнему:

$P={\frac {1}{4}}p_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}{\frac {dp_{1}}{dz}}-p_{2}.$

(17)

‎Первая часть теоремы доказана.

Если интегралы уравненія (1) алгебраическіе, то отношеніе:

$u={\frac {y'}{y''}}$

(6')

‎всякихъ двухъ линейно независимыхъ частныхъ интеграловъ уравненія (1) есть корень уравненія вида (2).

Слѣдовательно корень $u$ уравненія (2) также удовлетворяетъ дифференціальному уравненію (16).

Такъ какъ всѣ корни уравненія (2) суть отношенія частныхъ интеграловъ уравненія (1), то всѣ они удовлетворяютъ дифференціальному уравненію (16).

Условимся для краткости въ такомъ обозначеніи:

${\frac {\dfrac {d^{3}u}{dz^{3}}}{\dfrac {du}{dz}}}-{\frac {3}{2}}\left({\frac {\dfrac {d^{2}u}{dz^{2}}}{\dfrac {du}{dz}}}\right)^{2}=[u]_{z}.$

(18)

‎Тогда дифференціальное уравненіе (16) приметъ такой видъ:

$[u]_{z}=-2P.$

(19)

‎Теорема 5. Если и есть частный интегралъ дифференціальнаго уравненія (19), то общій его интегралъ представится въ видѣ линейной функціи $u$:

$U={\frac {\alpha u+\beta }{\gamma u+\delta }}.$

(20)

‎Одифференцируемъ равенство (20) три раза по $z$, считая $U$ и $u$ функціями $z$, и исключимъ постоянныя: $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma ,\ \delta$.

Результатъ исключенія представится въ такомъ видѣ:

$[U]_{z}=[u]_{z}.$

(21)

‎Такъ какъ на основаніи уравненія (19):

$[u]_{z}=-2P,$

‎то изъ равенства (21) слѣдуетъ, что

$[U]_{z}=-2P.$

(22)

‎А это и значитъ, что $U$ есть интегралъ уравненія (19).

Въ него входятъ три независимыхъ произвольныхъ постоянныхъ:

${\frac {\alpha }{\delta }},\ {\frac {\beta }{\delta }},\ {\frac {\gamma }{\delta }}.$

‎Слѣдовательно $U$ есть интегралъ общій.

Найденное свойство уравненія (19) значительно облегчаетъ его интегрированіе: достаточно найти одинъ частный интегралъ его, чтобы сталъ извѣстенъ и общій интегралъ.

Равенство (21) показываетъ, что выраженіе:

$[u]_{z}$

‎инваріантно по отношенію ко всякой линейной подстановкѣ.

‎Теорема 6. Всякій интегралъ дифференціальнаго уравненія:

$[u]_{z}=-2P.$

(19)

‎можетъ быть представленъ въ видѣ отношенія частныхъ интеграловъ линейнаго дифференціальнаго уравненія 2-го порядка.

Возьмемъ уравненіе:

$P={\frac {1}{4}}p_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}{\frac {dp_{1}}{dz}}-p_{2}$

(17)

‎и по данной функціи $P$ подъищемъ двѣ функціи $p_{1}$ и $p_{2}$, которыя удовлетворяли бы уравненію (17)—такихъ паръ функцій можно найти безконечное множество.

Возьмемъ линейное дифференціальное уравненіе

${\frac {d^{2}y}{dz^{2}}}+p_{1}{\frac {dy}{dz}}+p_{2}y=0,$

(1)

‎гдѣ $p_{1}$ и $p_{2}$ имѣютъ только что выбранныя нами значенія.

Изъ теоремы 4 слѣдуетъ, что отношеніе всякихъ двухъ линейно независимыхъ частныхъ интеграловъ уравненія (1):

$u={\frac {y'}{y''}}$

(6')

‎удовлетворяетъ уравненію (19). Общій же интегралъ уравненія (19) на основаніи теоремы 5 выразится такъ:

$U={\frac {\alpha u+\beta }{\gamma u+\delta }}={\frac {\alpha y'+\beta y''}{\gamma y'+\delta y''}}.$

(20)

‎Числитель и знаменатель выраженія:

${\frac {\alpha y'+\beta y''}{\gamma y'+\delta y''}}$

‎суть снова интегралы того же уравненія (1).

Слѣдовательно, всякій интегралъ дифференціальнаго уравненія (19) есть отношеніе частныхъ интеграловъ нѣкотораго линейнаго дифференціальнаго уравненія (1).

Теорема доказана.

Теорема 7. Если алгебраическое уравненіе имѣетъ группу линейныхъ подстановокъ, то корни его удовлетворяютъ дифференціальному уравненію вида:

$[u]_{z}=-2P.$

(19)

‎Пусть алгебраическое уравненіе:

$\psi (u,\ z)=0$

(2')

‎имѣетъ группу линейныхъ подстановокъ и пусть его корни суть:

$u_{1},\ u_{2},\ \ldots ,\ u_{j},\ \ldots ,\ u_{N}.$

(9)

‎Эти величины связаны между собою линейно; поэтому, какъ мы видимъ изъ равенства (21), должны имѣть мѣсто тождества:

$[u_{1}]_{z}=[u_{2}]_{z}=\ldots =[u_{N}]_{z}.$

(23)

‎Одифференцируемъ уравненіе (2') три раза по $z$, считая $u$ функціею $z$, и составимъ выраженіе $[u]_{z}$.

Мы увидимъ, что оно представится въ видѣ раціональной функціи $u$ и $z$:

$[u]_{z}=\varphi (u,\ z).$

(24)

‎Подставляя въ это равенство вмѣсто $u$ послѣдовательно всѣ величины (9), мы получимъ на основаніи тождествъ (23) слѣдующее:

$\varphi (u_{1},\ z)=\varphi (u_{2},\ z)=\ldots =\varphi (u_{i},\ z)=\ldots =\varphi (u_{N},\ z).$

(25)

‎Это значитъ, что величина

$\varphi (u_{i},\ z),$

‎есть симметрическая функція корней (9) уравненія (2'). Слѣдовательно она можетъ быть представлена въ видѣ раціональной функціи $z$:

$\varphi (u_{i},\ z)=-2P.$

(26)

‎гдѣ $P$ есть нѣкоторая раціональная функція $z$.

‎Изъ равенствъ (24), (25) и (26) слѣдуетъ, что:

$[u_{i}]_{z}=-2P,$ гдѣ $i=1,\ 2,\ 3,\ \ldots ,\ N$;

(27)

‎а это и значитъ, что корни (9) уравненія (2') суть частные интегралы уравненія

$[u]_{z}=-2P.$

(19)

‎Теорема доказана.

Возьмемъ снова алгебраическое уравненіе:

${\frac {H^{\lambda _{1}}(u)}{f^{\lambda }(u)}}=R(z)$

(2)

‎и то дифференціальное уравненіе:

$[u]_{z}=-2P,$

(19)

‎которому удовлетворяютъ корни уравненія (2).

Преобразуемъ уравненіе (2), введя вмѣсто $z$ новое независимое перемѣнное $t$, связанное съ $z$ соотношеніемъ:

$R(z)=ct,$

(28)

‎гдѣ $c$—постоянный множитель, который мы оставляемъ пока произвольнымъ.

Алгебраическое уравненіе (2) приметъ видъ:

${\frac {H^{\lambda _{1}}(u)}{f^{\lambda }(u)}}=ct.$

(29)

‎Такъ какъ это уравненіе имѣетъ группу линейныхъ подстановокъ—ту же самую, какъ и уравненіе (2), то на основаніи теоремы 7 мы можемъ сказать, что корни его удовлетворяютъ дифференціальному уравненію вида:

$[u]_{t}=-2p_{1},$

(30)

‎гдѣ $p$ есть нѣкоторая раціональная функція $t$.

Въ концѣ настоящей главы мы найдемъ выраженіе этой функціи, а затѣмъ, пользуясь соотношеніемъ (28), будемъ въ состояніи легко найти функцію $P$.

Теорема 8. Корни уравненія:

${\frac {H^{\lambda _{1}}(u)}{f^{\lambda }(u)}}=ct$

(29)

‎имѣютъ три крититическія точки. При надлежащемъ выборѣ постояннаго $c$ эти критическія точки суть: 0, 1, $\infty$.

Для сокращенія формулъ положимъ:

$H^{\lambda _{1}}(u)=\varphi (u),\ f^{\lambda }(u)=\psi (u).$

(31)

‎Тогда уравненіе (29) приметъ видъ:

${\frac {\varphi (u)}{\psi (u)}}=ct,$

(32)

‎или:

$\varphi (u)-ct\psi (u)=0.$

(33)

‎Найдемъ, какія значенія $u$ могутъ служить кратными корнями уравненія (33) при соотвѣтствующихъ значеніяхъ $t$. Для этого приравняемъ нулю производную по $u$ отъ лѣвой части уравненія (33):

${\frac {d\varphi (u)}{du}}-ct{\frac {d\psi (u)}{du}}=0.$

(34)

‎Исключивъ $t$ изъ уравненій (33) и (34), находимъ:

$\varphi (u){\frac {d\psi (u)}{du}}-\psi (u){\frac {d\psi (u)}{du}}=0.$

(35)

‎Корнями уравненія (35) служатъ всѣ тѣ количества, которыя при соотвѣтствующихъ значеніяхъ $t$, найденныхъ изъ уравненія (33), служатъ кратными корнями уравненія (33).

При этомъ всякое количество $u$, служащее $m$-кратнымъ корнемъ уравненія (33), служитъ $m-1$-кратнымъ корнемъ уравненія (35) и обратно: всякій $m-1$-кратный корень уравненія (35) есть $m$-кратный корень уравненія (33) при соотвѣтствующемъ ему значеніи $t$.

Степень уравненія (35) равна $2N-2$.

Группа уравненія (33) та же, какъ и группа уравненія (2).

Подстановки ея были нами обозначены такъ:

$S_{1}=1,\ S_{2},\ \ldots ,\ S_{i},\ \ldots ,\ S_{N}.$

(10)

‎Пусть при

$t=t_{i}$

‎$m_{i}$ корней уравненія (33) дѣлаются равными между собою:

$u_{1}=u_{2}=\ldots =u_{m_{i}}.$

‎Ясно, что въ такомъ случаѣ будемъ имѣть:

$\left.{\begin{matrix}S_{1}(u_{1})=S_{1}(u_{2})=\ldots =S_{1}(u_{m_{i}}),\\S_{2}(u_{1})=S_{2}(u_{2})=\ldots =S_{2}(u_{m_{i}}),\\S_{3}(u_{1})=S_{3}(u_{2})=\ldots =S_{3}(u_{m_{i}}),\\\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \end{matrix}}\right\}$

(36)

‎т. е. при $t=t_{i}$ уравненіе (33) имѣетъ ${\frac {N}{m_{i}}}$ различныхъ корней, и каждый изъ нихъ есть $m$-кратный корень.

Мы видѣли, что каждый изъ этихъ корней есть $m_{i}-1$-кратный корень уравненія (35); слѣдовательно уравненіе (35) будетъ имѣть:

${\frac {N}{m_{i}}}(m_{i}-1)$

‎корней, соотвѣтствующихъ $t=t_{i}$.

Такимъ же образомъ сосчитаемъ, сколько уравненіе (35) имѣетъ корней, соотвѣтствующихъ всякой другой критической точкѣ.

Число всѣхъ корней уравненія (35) выразится такъ:

$\sum _{i=1}^{i=\sigma }{\frac {N}{m_{i}}}(m_{i}-1),$

(37)

‎гдѣ $\sigma$ есть число всѣхъ критическихъ точекъ корней уравненія (33).

Съ другой стороны, число всѣхъ корней уравненія (35) равно его степени $2N-2$. Слѣдовательно мы можемъ написать такое равенство:

$\sum _{i=1}^{i=\sigma }{\frac {N}{m_{i}}}(m_{i}-1)=2N-2$

(38)

‎или:

$\sum _{i=1}^{i=\sigma }\left(1-{\frac {1}{m_{i}}}\right)=2-{\frac {2}{N}}.$

(39)

‎Такъ какъ $m_{1}$ суть цѣлыя числа не меньшія 2, а $N$ на основаніи теоремы 2 не меньше 4, то изъ неопредѣленнаго уравненія (39) видимъ, что число $\sigma$ больше 1, но меньше 4, т. е. $\sigma$ равно 2 или 3.

Обратимся снова къ уравненію (35). Подставивъ въ него вмѣсто $\varphi (u)$ и $\psi (u)$ выраженія (31) этихъ функцій, мы приведемъ уравненіе (35) къ такому виду:

$f^{\lambda -1}(u)H^{\lambda _{1}-1}(u)\left\{\lambda H(u){\frac {df(u)}{du}}-\lambda _{1}f(u){\frac {dH(u)}{du}}\right\}=0,$

(40)

‎или:

$f^{\lambda -1}(u)H^{\lambda _{1}-1}(u)T(u)=0,$

(41)

‎гдѣ $T(u)$ имѣетъ прежнее значеніе, опредѣляемое формулою (103) главы I.

Уравненіе (41) мы можемъ разбить на 3 уравненія:

$f^{\lambda -1}(u)=0,\ H^{\lambda _{1}-1}(u)=0,\ T(u)=0.$

(42)

‎Первое изъ нихъ опредѣляетъ кратные корни уравненія (29), соотвѣтствующіе критической точкѣ:

$t=\infty .$

‎Это суть $\lambda$-кратные корни уравненія (29), какъ видно и прямо изъ уравненія (29).

Второе изъ уравненій (42) опредѣляетъ кратные корни уравненія (29), соотвѣтствующія критической точкѣ:

$t=0.$

‎Это суть $\lambda _{1}$-кратные корни уравненія (29), какъ видно и прямо изъ уравненія (29).

Третье изъ уравненій (42):

$T(u)=0$

‎опредѣляетъ кратные корни, соотвѣтствующіе нѣкоторой третьей критической точкѣ.

Уравненіе (29) только въ слѣдующихъ трехъ случаяхъ будетъ имѣть меньше трехъ критическихъ точекъ:

1) когда $\lambda =1$, 2) когда $\lambda _{1}=1$, 3) когда степень многочлена $T(u)$ равна 0.

Изъ теоремы 1 мы знаемъ, что показатели $\lambda$ и $\lambda _{1}$ не меньше 2.

Слѣдовательно, два первые изъ трехъ только что указанныхъ случаевъ встрѣтиться не могутъ.

Степень многочлена $T(u)$ равна $3\nu -6$. Это число ни при какомъ $\nu$, отличномъ отъ 2 не можетъ равняться 0. Случай $\nu =2$ былъ разсмотрѣнъ нами въ § 4 и мы видѣли, что въ этомъ случаѣ многочленъ $T(u)$ равенъ:

$T(u)={\frac {u^{m}-1}{2}}.$

‎Степень его отлична отъ 0.

Итакъ, корни уравненія (29) имѣютъ непремѣнно 3 критическія точки: 0, $\infty$ и еще одну намъ неизвѣстную конечную критическую точку $t_{0}$.

Пользуясь тѣмъ, что постоянное $c$ въ уравненіи (29) осталось неопредѣленнымъ, мы можемъ его выбрать такъ, чтобы $t_{0}$ равнялось 1: если $a$ есть какой-нибудь корень уравненія

$T(u)=0,$

‎то для нашей цѣли достаточно положить:

$c={\frac {H^{\lambda _{1}}(a)}{f^{\lambda }(a)}}.$

(43)

‎Эта величина отлична отъ $\infty$ и 0, потому что функціональный опредѣлитель $T(u)$ не можетъ имѣть общаго корня ни съ $f(u)$, ни съ $H(u)$.

Теорема доказана.

Во всемъ дальнѣйшемъ изложеніи мы будемъ предполагать, что $c$ имѣетъ значеніе (43). Поэтому критическими точками корней уравненія (29) будутъ служить точки:

$t=0,\ 1,\ \infty .$

‎Пусть при $t=1$ уравненіе (29) имѣетъ $\lambda _{1}$-кратные корни.

Вычтя изъ обѣихъ частей уравненія (29) по 1, получимъ:

${\frac {H^{\lambda _{1}}(u)-cf^{\lambda }(u)}{f^{\lambda }(u)}}=t-1.$

(44)

‎При $t=1$ оно обратится въ:

$H^{\lambda _{1}}(u)-cf^{\lambda }(u)=0.$

(45)

‎Такъ какъ это уравненіе должно имѣть исключительно $\lambda _{1}$-кратные корни, то должно существовать такое тождество:

$H^{\lambda _{1}}(u)-cf^{\lambda }(u)=T_{1}^{\lambda _{1}}(u),$

(46)

‎гдѣ $T_{1}(u)$ нѣкоторый раціональный многочленъ, не имѣющій кратныхъ корней.

Мы знаемъ, что всѣ корни уравненія (29), соотвѣтствующіе $t=1$, могутъ быть найдены изъ уравненія:

$T(u)=0$

‎и для этого уравненія они служатъ $\lambda _{1}-1$-кратными корнями. Слѣдовательно:

$T_{1}^{\lambda _{1}}(u)=c_{1}T(u),$

(47)

‎гдѣ $c_{1}$ нѣкоторое постоянное число.

Обозначимъ степень многочлена $T_{1}(u)$ буквою $\nu _{2}$.

Докажемъ, что степень $\nu _{2}$ выше степени $\nu$ первичной функціи $f(u)$.

Форма $T(\eta ',\ \eta '')$ есть функціональный опредѣлитель формъ $f(\eta ',\ \eta '')$ и $H(\eta ',\ \eta '')$; слѣдовательно она коваріантъ формы $f(\eta ',\ \eta '')$. Поэтому на основаніи теоремы 13 главы I она равна радикалу изъ раціональной функціи $z$.

Если такъ, то изъ равенства (47) слѣдуетъ, что и $T_{1}(\eta ',\ \eta '')$ есть радикалъ изъ раціональной функціи $z$.

Изъ теоремы 12 главы I мы знаемъ, что въ такомъ случаѣ форма $T_{1}(\eta ',\ \eta '')$ должна быть или первичною формою, или произведеніемъ нѣсколькихъ первичныхъ формъ. Отсюда слѣдуетъ, что степень $\nu _{2}$ формы $T_{1}(\eta ',\ \eta '')$ выше степени $\nu$ первичной формы $f(\eta ',\ \eta '')$ наинисшей степени.

Итакъ, дѣйствительно

$\nu _{2}>\nu .$

‎Обратимся снова къ уравненію (39). Въ немъ, какъ мы теперь знаемъ, $\sigma =3$, а числа $m_{1},\ m_{2},\ m_{3}$ равны $\lambda ,\ \lambda _{1},\ \lambda _{2}$. Слѣдовательно уравненіе (39) можно представить въ такомъ видѣ:

${\frac {1}{\lambda }}+{\frac {1}{\lambda _{1}}}+{\frac {1}{\lambda _{2}}}-{\frac {2}{N}}=1.$

(48)

‎Изъ равенства (3) и изъ сравненія степеней обѣихъ частей тождества (46) заключаемъ, что:

$N=\nu \lambda =\nu _{1}\lambda _{1}=\nu _{2}\lambda _{2}.$

(49)

‎Числа $N,\lambda ,\ \lambda _{1},\ \lambda _{2},\nu ,\ \nu _{1},\ \nu _{2}$ суть числа цѣлыя и положительныя; числа $\lambda ,\ \lambda _{1},\ \lambda _{2}$ больше 1. Изъ чиселъ $\nu ,\ \nu _{1},\ \nu _{2}$ наименьшее есть $\nu$; число $\nu _{1}=2\nu -4$^[4]. Число $N$ на основаніи теоремы 2 не менѣе 4.

Отыщемъ всѣ системы рѣшеній неопредѣленнаго уравненія (48), удовлетворяющія только что перечисленнымъ условіямъ. Онѣ суть слѣдующія:

I. Для чиселъ $\lambda ,\ \lambda _{1},\ \lambda _{2}$ получаемъ значенія $m$, 2, 2, гдѣ $m$ произвольное цѣлое число; $N=2m$. По формуламъ (49) для чиселъ $\nu ,\ \nu _{1},\ \nu _{2}$ получаемъ такія значенія: 2, $m$, $m$. Наименьшему изъ этихъ чиселъ должно равняться $\nu$:

$\nu =2.$

‎Слѣдовательно въ разсматриваемомъ случаѣ:

$\nu =2,\ \nu _{1}=m,\ \nu _{2}=m,\ \lambda =m,\ \lambda _{1}=2,\ \lambda _{2}=2,\ N=2m.$

‎Это—особый случай, разсмотрѣнный нами въ § 4.

II. Для чиселъ $\lambda ,\ \lambda _{1},\ \lambda _{2}$ получаемъ значенія: 3, 3, 2; $N=12$.

По формуламъ (49) для чиселъ $\nu ,\ \nu _{1},\ \nu _{2}$ получаемъ значенія:

4, 4, 6.

‎Наименьшему изъ этихъ чиселъ должно равняться $\nu$:

$\nu =4;$

‎число $\nu _{1}$ равно $2\nu -4$:

$\nu _{1}=2\nu -4=4;$

‎число $\nu _{2}$ должно равняться остающемуся числу 6:

$\nu _{2}=6.$

‎Отсюда:

$\lambda =3,\ \lambda _{1}=3,\ \lambda _{2}=2.$

‎III. Для чиселъ $\lambda ,\ \lambda _{1},\ \lambda _{2}$ получаемъ значенія: 4, 3, 2; $N=24$.

По формуламъ (49) для чиселъ $\nu ,\ \nu _{1},\ \nu _{2}$ получаемъ значенія: 6, 8, 12.

Наименьшему изъ этихъ чиселъ должно равняться $\nu$:

$\nu =6;$

‎число $\nu _{1}$ равно $2\nu -4$:

$\nu _{1}=2\nu -4=8;$

‎число $\nu _{2}$ должно равняться остающемуся числу 12:

$\nu _{2}=12.$

‎Отсюда:

$\lambda =4,\ \lambda _{1}=3,\ \lambda _{2}=2.$

‎VI. Для чиселъ $\lambda ,\ \lambda _{1},\ \lambda _{2}$ получаемъ значенія: 5, 3, 2; $N=60$.

По формуламъ (49) для чиселъ $\nu ,\ \nu _{1},\ \nu _{2}$ получаемъ значенія: 12, 20, 30.

Наименьшему изъ этихъ чиселъ должно равняться $\nu$:

$\nu =12;$

‎число $\nu _{1}$ равно $2\nu -4$:

$\nu _{1}=2\nu -4=20;$

‎число $\nu _{2}$ должно равняться оставшемуся числу 30:

$\nu _{2}=30.$

‎Отсюда:

$\lambda =4,\ \lambda _{1}=3,\ \lambda _{2}=2.$

‎Итакъ, существуетъ лишь четыре комбинаціи чиселъ $N,\nu ,\ \nu _{1},\ \nu _{2},\lambda ,\ \lambda _{1},\ \lambda _{2}$, удовлетворяющихъ всѣмъ требуемымъ условіямъ. Ихъ мы можемъ расположить въ слѣдующую таблицу:

${\begin{array}{r|c|c|c|c|}\hline N=&2m&12&24&60\\\hline \nu =&2&4&6&12\\\hline \nu _{1}=&m&4&8&20\\\hline \nu _{2}=&m&6&12&30\\\hline \lambda =&m&3&4&5\\\hline \lambda _{1}=&2&3&3&3\\\hline \lambda _{2}=&2&2&2&2\\\hline \end{array}}$

(50)

Сообразно съ этимъ существуетъ и четыре типа алгебраическихъ уравненій, имѣющихъ группу линейныхъ подстановокъ.

Обратимъ вниманіе на то, что $\lambda _{2}$ во всѣхъ четырехъ случаяхъ равно 2 и подставимъ это значеніе $\lambda _{2}$ въ тождества (47) и (46):

$T_{1}(u)=c_{1}T(u),$

(51)

$H^{\lambda _{1}}(u)-cf^{\lambda }(u)=c'T^{2}(u),$[5]

(52)

‎гдѣ $c'=c_{1}^{2}$ есть нѣкоторое новое постоянное.

Уравненіе (44) приметъ такой видъ:

${\frac {c'T^{2}(u)}{cf^{\lambda }(u)}}=t-1.$

(53)

‎Итакъ, уравненіе (29) тождественнымъ образомъ можетъ быть преобразовано въ (53).

Соединяя эти двѣ формы уравненія (29) вмѣстѣ, мы представимъ уравненіе (29) въ слѣдующемъ видѣ:

$H^{\lambda _{1}}(u):c'T^{\lambda _{2}}(u):cf^{\lambda }(u)=t:t-1:1.$[6]

(54)

‎Послѣдніе результаты, полученные нами въ настоящемъ параграфѣ, можно формулировать въ видѣ слѣдующихъ двухъ теоремъ:

Теорема 9. Между функціями $f(u),\ H(u),\ T(u)$ существуетъ тождественное соотношеніе вида:

$H^{\lambda _{1}}(u)-cf^{\lambda }(u)=c'T^{2}(u).$

(52)

‎Теорема 10. Существуетъ не болѣе четырехъ типовъ алгебраическихъ уравненій, имѣющихъ группу линейныхъ подстановокъ. Всѣ эти уравненія приводятся къ виду:

$H^{\lambda _{1}}(u):c'T^{\lambda _{2}}(u):cf^{\lambda }(u)=t:t-1:1,$

(54)

‎при чемъ степень $N$ этого уравненія, степени $\nu ,\ \nu _{1},\ \nu _{2}$ функцій $f(u),\ H(u),\ T(u)$ и показатели $\lambda ,\ \lambda _{1},\ \lambda _{2}$ могутъ имѣть только тѣ значенія, которыя приведены въ таблицѣ (50).

§ 6. Дифференціальное уравненіе 3-го порядка, которому удовлетворяютъ корни алгебраическаго уравненія изучаемаго класса.

Мы знаемъ, что корни уравненія (54) удовлетворяютъ дифференціальному уравненію:

$[u]_{t}=-2p.$

(30)

‎Займемся опредѣленіемъ функціи $p$.

Разсмотримъ, каково разложеніе функціи $[u]_{t}$ въ области:

1) обыкновенной точки функціи $u$,

2) полюса функціи $u$,

3) критическихъ точекъ: $0,\ 1,\ \infty$ функціи $u$.

I. Пусть точка $t=t_{1}$ есть обыкновенная точка функціи $u$.

Въ области точки $t_{1}$ функція $u$ голоморфна и можетъ быть разложена въ рядъ вида:

$u-(u)_{t=t_{1}}=a(t-t_{1})+b(t-t_{1})^{2}+c(t-t_{1})^{2}+\ldots$

(55)

‎Коэффиціентъ $a$ въ рядѣ (55) отличенъ отъ 0, потому что въ противномъ случаѣ $t$ не было бы однозначною функціею $u$, какъ того требуетъ уравненіе (54). Подставивъ рядъ (55) въ выраженіе $[u]_{t}$, мы убѣждаемся въ томъ, что въ области точки $t_{1}$ функція $[u]_{t}$ голоморфна.

II. Пусть $t=t_{2}$ есть полюсъ функціи $u$.

Въ области точки $t_{2}$ функція

$v={\frac {1}{u}}$

‎голоморфна и можетъ быть разложена въ рядъ вида (55). Функція $[v]_{t}$ въ области точки $t_{2}$ голоморфна. Но вслѣдствіе линейной зависимости между $u$ и $v$ должно существовать равенство:

$[u]_{t}=[v]_{t}.$

‎Слѣдовательно функція $[u]_{t}$ въ области точки $t_{2}$ голоморфна.

ІІІ. Пусть въ точкѣ $t=0$ функція $u$ конечна. Тогда въ области точки 0 она разложится въ рядъ вида:

$u-u_{0}=a_{0}t^{\frac {1}{\lambda _{1}}}+b_{0}t^{\frac {1}{\lambda _{1}}}+c_{0}t^{\frac {1}{\lambda _{1}}}+\ldots$

(56)

‎гдѣ $a_{0}$ отлично отъ 0 по той же причинѣ, по какой въ формулѣ (55) коэффиціентъ $a$ отличенъ отъ 0.

Подставивъ рядъ (56) въ выраженіе $[u]_{t}$, находимъ, что въ области точки $t=0$ имѣетъ мѣсто разложеніе:

$[u]_{t}={\frac {1-{\dfrac {1}{\lambda _{1}^{2}}}}{2t^{2}}}+{\frac {A}{t}}+W_{0}(t),$

(57)

‎гдѣ $W_{0}(t)$ есть функція голоморфная въ области точки $t=0$.

Если въ точкѣ $t=0$ функція $u$ обратится въ $\infty$, то функція:

$v={\frac {1}{u}}$

‎будетъ конечна и разложится въ рядъ вида (56); функція $[v]_{t}$ разложится въ рядъ вида (57). Но вслѣдствіе линейной зависимости между $u$ и $v$ имѣетъ мѣсто равенство:

$[u]_{t}=[v]_{t}.$

‎Слѣдовательно формула (57) справедлива и въ томъ случаѣ, когда въ точкѣ $t=0$ функція $u$ обращается въ $\infty$.

Повторяя тѣ же разсужденія, убѣдимся въ томъ, что въ области точки $t=1$ имѣетъ мѣсто разложеніе:

$[u]_{t}={\frac {1-{\dfrac {1}{\lambda _{2}^{2}}}}{2(t-1)^{2}}}+{\frac {B}{t-1}}+W_{1}(t),$

(58)

‎гдѣ $W_{1}(t)$ функція, голоморфная въ области точки $t=1$.

Чтобы найти разложеніе функціи $[u]_{t}$ въ области точки $t=\infty$, совершимъ прежде измѣненіе перемѣннаго, положивъ:

$v={\frac {1}{\tau }}.$

‎Тогда:

$[u]_{t}=\tau ^{4}[u]_{\tau }.$

(59)

‎Уравненіе (54) приметъ видъ:

${\frac {cf^{\lambda }(u)}{H^{\lambda _{1}}(u)}}=\tau .$

(60)

‎Разсужденіями, подобными приведенными выше, мы найдемъ, что въ области точки $\tau =0$ имѣетъ мѣсто разложеніе:

$[u]_{\tau }={\frac {1-{\dfrac {1}{\lambda ^{2}}}}{2\tau ^{2}}}+{\frac {C}{\tau }}+W_{\infty }(\tau ),$

(61)

‎гдѣ $W_{\infty }(\tau )$ функція, голоморфная въ области точки $\tau =0$. Изъ равенствъ (59) и (61) слѣдуетъ, что въ области точки $t=\infty$ имѣетъ мѣсто разложеніе:

$[u]_{\tau }={\frac {1-{\dfrac {1}{\lambda ^{2}}}}{2t^{2}}}+{\frac {C}{t^{3}}}+{\frac {1}{t^{4}}}W_{\infty }\left({\frac {1}{t}}\right).$

(62)

‎Разсмотримъ выраженіе:

$[u]_{t}-\left\{{\frac {1-{\dfrac {1}{\lambda _{1}^{2}}}}{2t^{2}}}+{\frac {1-{\dfrac {1}{\lambda _{2}^{2}}}}{2(t-1)^{2}}}+{\frac {A}{t}}+{\frac {B}{t-1}}\right\}.$

(63)

‎Изъ сказаннаго выше слѣдуетъ, что если $u$ есть корень уравненія (54), то выраженіе (63) есть алгебраическая функція, которая на всей плоскости конечна, однозначна и непрерывна, а въ безконечности обращается въ нуль.

Изъ теоріи функцій комплекснаго перемѣннаго извѣстно, что такая функція на всей плоскости равна 0:

$[u]_{t}={\frac {1-{\dfrac {1}{\lambda _{1}^{2}}}}{2t^{2}}}+{\frac {1-{\dfrac {1}{\lambda _{2}^{2}}}}{2(t-1)^{2}}}+{\frac {A}{t}}+{\frac {B}{t-1}}.$

(64)

‎Для опредѣленія $A$ и $B$ разложимъ вторую часть равенства (64) въ рядъ по убывающимъ степенямъ $t$ (въ области безконечно удаленной точки) и сравнимъ полученное разложеніе съ разложеніемъ (62). Такимъ образомъ находимъ:

$A+B=0,\ B+{\frac {1-{\dfrac {1}{\lambda _{1}^{2}}}}{2}}+{\frac {1-{\dfrac {1}{\lambda _{2}^{2}}}}{2}}={\frac {1-{\dfrac {1}{\lambda ^{2}}}}{2}}.$

(65)

‎Опредѣливъ изъ этихъ уравненій $A$ и $B$ и подставивъ ихъ въ равенство (64), находимъ:

$[u]_{t}={\frac {1-{\dfrac {1}{\lambda _{1}^{2}}}}{2t^{2}}}+{\frac {1-{\dfrac {1}{\lambda _{2}^{2}}}}{2(t-1)^{2}}}+{\frac {{\dfrac {1}{\lambda _{1}^{2}}}+{\dfrac {1}{\lambda _{2}^{2}}}-{\dfrac {1}{\lambda ^{2}}}-1}{2t(t-1)}}.$

(66)

‎Таковъ окончательный видъ уравненія (30). Вторая часть уравненія (66) есть искомое выраженіе функціи $-2p$.

Теорема 11. Всякій интегралъ дифференціальнаго уравненія (66) и всякій корень алгебраическаго уравненія (54) можно представить въ видѣ отношенія двухъ частныхъ интеграловъ гипергеометрическаго уравненія:

$t(1-t){\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+{\big \{}\gamma -(\alpha +\beta +1)t{\big \}}{\frac {dy}{dt}}-\alpha \beta y=0.$

(67)

‎Положимъ временно:

$p_{1}={\frac {\gamma -(\alpha +\beta +1)t}{t(1-t)}},\ p_{1}={\frac {\alpha \beta }{t(1-t)}}.$

(68)

‎На основаніи теоремы 4 отношеніе

$u={\frac {y'}{y''}}$

‎двухъ линейно независимыхъ частныхъ интеграловъ всякаго линейнаго дифференціальнаго уравненія 2-го порядка вида:

${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+p_{1}{\frac {dy}{dt}}+p_{2}y=0$

‎есть интегралъ дифференціальнаго уравненія:

$[u]_{t}=2p_{2}-{\frac {dp_{1}}{dt}}-{\frac {1}{2}}p_{1}^{2}.$

‎Примѣняя этотъ результатъ къ гипергеометрическому уравненію (67), мы найдемъ, что отношеніе всякихъ двухъ линейно независимыхъ частныхъ интеграловъ его удовлетворяетъ уравненію:

${\begin{matrix}[u]_{t}={\dfrac {1-(1-\gamma )^{2}}{2t^{2}}}+{\dfrac {1-(\gamma -\alpha -\beta )^{2}}{2(t-1)^{2}}}\,+\\+\,{\dfrac {(1-\gamma )^{2}+(\gamma -\alpha -\beta )^{2}-(\alpha -\beta )^{2}-1}{2t(t-1)}}.\end{matrix}}$

(69)

‎Сравнивая это уравненіе съ уравненіемъ (66), находимъ, что оно станетъ съ нимъ тождественнымъ, если:

$1-\gamma ={\frac {1}{\lambda _{1}}},\ \gamma -\alpha -\beta ={\frac {1}{\lambda _{2}}},\ \alpha -\beta ={\frac {1}{\lambda }},$

(70)

‎откуда:

$\left.{\begin{array}{l}\alpha ={\dfrac {1}{2}}\left(1-{\dfrac {1}{\lambda _{1}}}-{\dfrac {1}{\lambda _{2}}}+{\dfrac {1}{\lambda }}\right),\\\beta ={\dfrac {1}{2}}\left(1-{\dfrac {1}{\lambda _{1}}}-{\dfrac {1}{\lambda _{2}}}-{\dfrac {1}{\lambda }}\right),\\\gamma =1-{\dfrac {1}{\lambda _{1}}}.\end{array}}\right\}$

(71)

‎Мы видимъ, что если параметры $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma$ гипергеометрическаго уравненія опредѣлены изъ таблицы (71), то отношеніе двухъ линейно независимыхъ интеграловъ его

$u={\frac {y'}{y''}}$

‎удовлетворяетъ дифференціальному уравненію (66).

На основаніи теоремы 6 мы въ правѣ сказать, что всякій интегралъ уравненія (66) можно представить въ видѣ отношенія двухъ частныхъ интеграловъ гипергеометрическаго уравненія (67).

Такъ какъ корни уравненія (54) суть частные интегралы уравненія (66), то мы заключаемъ, что всякій корень уравненія (54) можно представить въ видѣ отношенія двухъ частныхъ интеграловъ уравненія гипергеометрическаго.

Теорема доказана.

Ближайшее слѣдствіе изъ этой теоремы то, что уравненіе (54) разрѣшимо въ гипергеометрическихъ функціяхъ.

Обращаясь къ таблицамъ (71) и (50), мы находимъ числовыя значенія параметровъ $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma$ гипергеометрическихъ уравненій, соотвѣтствующихъ каждому изъ четырехъ найденныхъ нами типовъ алгебраическихъ уравненій, имѣющихъ группу линейныхъ подстановокъ:

${\begin{array}{r|c|c|c|c|}\hline N=&2m&12&24&60\\\hline \alpha =&{\dfrac {1}{2m}}&{\dfrac {1}{4}}&{\dfrac {5}{24}}&{\dfrac {11}{60}}\\\hline \beta =&-{\dfrac {1}{2m}}&-{\dfrac {1}{12}}&-{\dfrac {1}{24}}&-{\dfrac {1}{60}}\\\hline \gamma =&{\dfrac {1}{2}}&{\dfrac {2}{3}}&{\dfrac {2}{3}}&{\dfrac {2}{3}}\\\hline \end{array}}$

(72)

‎Перейдемъ снова отъ перемѣннаго $t$ къ перемѣнному $z$. Мы положили:

$R(z)=ct,$

(28)

‎гдѣ $c$ есть постоянное число, опредѣляемое формулою (43).

Совершая измѣненіе перемѣннаго, мы находимъ, что уравненіе (54) приметъ видъ:

$H^{\lambda _{1}}(u):c'T^{\lambda _{2}}(u):cf^{\lambda }(u)={\frac {1}{c}}R(z):{\frac {1}{c}}R(z)-1:1.$

(73)

‎Это самый общій видъ уравненія, имѣющаго группу линейныхъ подстановокъ.

Послѣ весьма простыхъ вычисленій, изъ равенства (28) мы найдемъ, что

$[u]_{z}=[R(z)]_{z}+{\frac {1}{c^{2}}}\left({\frac {dR(z)}{dz}}\right)^{2}[u]_{t}.$

(74)

‎Подставимъ въ это равенство вмѣсто $[u]_{t}$ ея выраженіе (66), замѣнивъ предварительно въ формулѣ (66) перемѣнное $t$ функціей ${\frac {1}{c}}R(z)$:

${\begin{matrix}[u]_{z}=[R(z)]_{z}+{\dfrac {1}{c^{2}}}\left({\dfrac {dR(z)}{dz}}\right)^{2}\left\{{\dfrac {1-{\dfrac {1}{\lambda _{1}^{2}}}}{{\dfrac {2}{c^{2}}}R^{2}(z)}}+{\dfrac {1-{\dfrac {1}{\lambda _{2}^{2}}}}{2\left({\dfrac {1}{c}}R(z)-1\right)^{2}}}\,+\right.\\\left.+\,{\dfrac {{\dfrac {1}{\lambda _{1}^{2}}}+{\dfrac {1}{\lambda _{2}^{2}}}-{\dfrac {1}{\lambda ^{2}}}-1}{{\dfrac {2}{c}}R(z)\left({\dfrac {1}{c}}R(z)-1\right)}}\right\}.\end{matrix}}$

(75)

‎Таково то дифференціальное уравненіе, которому удовлетворяютъ корни алгебраическаго уравненія (73).

Вторая часть уравненія (75) есть окончательное выраженіе функціи $-2P$, входящей въ уравненіе (19).

На основаніи теоремы 6 всякій интегралъ дифференціальнаго уравненія (75), а слѣдовательно и всякій корень алгебраическаго уравненія (73) можно представить въ видѣ отношенія частныхъ интеграловъ линейнаго дифференціальнаго уравненія 2-го порядка.

Но для насъ гораздо важнѣе то свойство уравненія (73), что оно преобразованіемъ перемѣннаго $z$:

$R(z)=ct$

(28)

‎приводится къ уравненію (54), разрѣшимому въ гипергеометрическихъ функціяхъ.

Этотъ послѣдній результатъ настоящаго параграфа мы можемъ формулировать въ видѣ слѣдующей теоремы:

Теорема 12. Всякое (не двучленное) алгебраическое уравненіе, имѣющее группу линейныхъ подстановокъ, разрѣшимо въ гипергеометрическихъ фуркціяхъ.

§ 7. Двучленное уравненіе.

Двучленнымъ уравненіемъ мы будемъ называть не только уравненіе

$u^{N}=R(z),$

(76)

‎но и всякое уравненіе, приводимое къ уравненію (76) линейнымъ преобразованіемъ:

$u={\frac {\alpha u'+\beta }{\gamma u'+\delta }},$

‎т. е. уравненія вида:

$\left({\frac {\alpha u'+\beta }{\gamma u'+\delta }}\right)^{N}=R(z).$

(77)

‎Двучленное уравненіе мы до сихъ поръ устраняли во всѣхъ нашихъ разсужденіяхъ, потому что оно не принадлежитъ ни къ одному изъ разсмотрѣнныхъ нами двухъ классовъ. Но по своимъ свойствамъ оно довольно похоже на уравненія втораго изъ разсмотрѣнныхъ классовъ и объ этомъ мы скажемъ теперь нѣсколько словъ.

1) Двучленное уравненіе имѣетъ группу линейныхъ подстановокъ. Группа эта циклическая: она состоитъ изъ степеней одной и той же подстановки:

$S^{0}=1,\ S,\ S^{2},\ \ldots ,\ S^{N-1}.$

(78)

‎Въ самомъ дѣлѣ, для уравненія (76) подстановка $S$ такова:

$S(u)=\varepsilon u,$ ‎гдѣ $\varepsilon =e^{\frac {2\pi i}{N}}.$

(79)

Для уравненія же (77) она представляется въ такомъ видѣ:

$S(u')={\frac {(\alpha \delta \varepsilon -\beta \gamma )u'+(\varepsilon -1)\beta \delta }{(\varepsilon -1)\alpha \gamma u'+\alpha \delta -\beta \gamma \varepsilon }}.$

(80)

‎2) Корни двучленнаго уравненія удовлетворяютъ дифференціальному уравненію 3-го порядка:

$[u]_{z}=[R(z)]_{z}+\left({\frac {dR(z)}{dz}}\right)^{2}\left\{{\frac {1-{\dfrac {1}{N^{2}}}}{2R^{2}(z)}}\right\}.$

(81)

‎Въ самомъ дѣлѣ, положивъ:

$R(z)=t,$

(82)

‎мы легко убѣждаемся въ томъ, что корни уравненія

$u^{N}=t$

(83)

‎удовлетворяютъ дифференціальному уравненію:

$[u]_{t}={\frac {1-{\dfrac {1}{N^{2}}}}{2t^{2}}}.$

(84)

‎Введя въ это уравненіе независимое перемѣнное $z$, находимъ:

$[u]_{z}=[R(z)]_{z}+\left({\frac {dR(z)}{dz}}\right)^{2}\left\{{\frac {1-{\dfrac {1}{N^{2}}}}{2R^{2}(z)}}\right\}.$

(85)

‎Корни уравненія (77) удовлетворяютъ также дифференціальному уравненію (85) потому, что дифференціальное выраженіе

$[u]_{z}$

‎не мѣняется отъ линейныхъ подстановокъ.

Уравненія (84) и (85) имѣютъ аналогію съ уравненіями (66) и (75).

---

Сноски

1. Какъ мы уже говорили выше, мы будемъ называть линейною подстановкою преобразованіе такого вида: ${\bar {u}}={\frac {\alpha u+\beta }{\gamma u+\delta }}.$
   Линейныя подстановки мы будемъ обозначать символами $S,\ {\mathfrak {T}},\ U,\ \ldots ,$
   напр.: $S(u)={\frac {\alpha u+\beta }{\gamma u+\delta }}.$
   ‎Если надъ количествомъ $u$ совершается подстановка $S$ и затѣмъ надъ полученнымъ результатомъ совершается подстановка ${\mathfrak {T}}$, то мы будемъ обозначать это формулою: ${\mathfrak {T}}S(u)$
   и называть подстановку ${\mathfrak {T}}S$ произведеніемъ подстановокъ $S$ и ${\mathfrak {T}}$.
   ‎Подстановку вида: $SSS\ldots S(u)$
   мы будемъ обозначать сокращенно такъ: $S^{m}(u)$
   и называть символъ $S^{m}$ степенью подстановки $S$.
   ‎Если: $S^{m}(u)=u,$
   то мы будемъ сокращенно выражать это такъ: $S^{m}=1.$
   Наинисшую степень $m$, удовлетворяющую этому условію мы будемъ называть порядкомъ подстановки $S$. Если двѣ подстановки $S$ и $S'$ таковы, что $SS'(u)=u,$
   т. е. $SS'=1,$
   то мы будемъ называть подстановку $S'$ обратною подстановкѣ $S$ и обозначать ее черезъ $S^{-1}$. Ясно, что подстановка обратная подстановкѣ $S^{\alpha }$ есть $(S^{-1})^{\alpha }$ или, короче, $S^{-\alpha }$.
   ‎Мы уже говорили выше, чт҅о мы называемъ группою линейныхъ подстановокъ и порядкомъ группы.
   ‎Ясно, что если въ группу входитъ подстановка $S$, то въ нее войдутъ и всѣ степени этой подстановки: $S,\ S^{2},\ S^{3},\ \ldots ,\ S^{m-1},\ S^{m}=1.$
   ‎Подстановка единица: $1.u=u$
   входитъ во всякую группу.
   ‎Новое понятіе о группахъ подстановокъ взошло уже въ курсы алгебры (см. Serret Cours d’algèbre supérieure изд. 4, т. II, стр. 356).
   ‎Свойства группъ линейныхъ подстановокъ совершенно аналогичны со свойствами тѣхъ субституцій, которыя обыкновенно разсматриваются въ алгебрѣ.
   ‎Говоря: уравненіе имѣетъ группу линейныхъ подстановокъ, мы этими словами будемъ сокращенно выражать ту особенность уравненія, что
   1) всѣ корни его связаны между собою линейными подстановками и
   2) что эти линейныя подстановки образуютъ группу.
2. Первая часть доказываемой теоремы справедлива не только для дифференціальнаго уравненія (1), имѣющаго алгебраическіе интегралы, но и вообще для всякаго линейнаго дифференціальнаго уравненія 2-го порядка.
3. Сравн. формулу (22) главы I.
4. За исключеніемъ того случая, когда $\nu$ равно 1. При $\nu =2$ имѣетъ мѣсто особый случай, разсмотрѣнный въ § 4.
5. Съ подобными тождествами часто приходится встрѣчаться въ теоріи формъ: квадратъ нечетнаго (gauche, ungerade) коваріанта выражается раціонально черезъ четные (droit, gerade) коваріанты.
6. Къ подобной формѣ Клейнъ постоянно приводитъ изучаемыя имъ уравненія.