Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/72

$[u]_{z}=-2P.$

(19)

‎Теорема 5. Если и есть частный интегралъ дифференціальнаго уравненія (19), то общій его интегралъ представится въ видѣ линейной функціи $u$:

$U={\frac {\alpha u+\beta }{\gamma u+\delta }}.$

(20)

‎Одифференцируемъ равенство (20) три раза по $z$, считая $U$ и $u$ функціями $z$, и исключимъ постоянныя: $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma ,\ \delta$.

Результатъ исключенія представится въ такомъ видѣ:

$[U]_{z}=[u]_{z}.$

(21)

‎Такъ какъ на основаніи уравненія (19):

$[u]_{z}=-2P,$

‎то изъ равенства (21) слѣдуетъ, что

$[U]_{z}=-2P.$

(22)

‎А это и значитъ, что $U$ есть интегралъ уравненія (19).

Въ него входятъ три независимыхъ произвольныхъ постоянныхъ:

${\frac {\alpha }{\delta }},\ {\frac {\beta }{\delta }},\ {\frac {\gamma }{\delta }}.$

‎Слѣдовательно $U$ есть интегралъ общій.

Найденное свойство уравненія (19) значительно облегчаетъ его интегрированіе: достаточно найти одинъ частный интегралъ его, чтобы сталъ извѣстенъ и общій интегралъ.

Равенство (21) показываетъ, что выраженіе:

$[u]_{z}$

‎инваріантно по отношенію ко всякой линейной подстановкѣ.

‎Теорема 6. Всякій интегралъ дифференціальнаго уравненія:

Тот же текст в современной орфографии

$[u]_{z}=-2P.$

(19)

‎Теорема 5. Если и есть частный интеграл дифференциального уравнения (19), то общий его интеграл представится в виде линейной функции $u$:

$U={\frac {\alpha u+\beta }{\gamma u+\delta }}.$

(20)

‎Продифференцируем равенство (20) три раза по $z$, считая $U$ и $u$ функциями $z$, и исключим постоянные: $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma ,\ \delta$.

Результат исключения представится в таком виде:

$[U]_{z}=[u]_{z}.$

(21)

‎Так как на основании уравнения (19):

$[u]_{z}=-2P,$

‎то из равенства (21) следует, что

$[U]_{z}=-2P.$

(22)

‎А это и значит, что $U$ есть интеграл уравнения (19).

В него входят три независимых произвольных постоянных:

${\frac {\alpha }{\delta }},\ {\frac {\beta }{\delta }},\ {\frac {\gamma }{\delta }}.$

‎Следовательно $U$ есть интеграл общий.

Найденное свойство уравнения (19) значительно облегчает его интегрирование: достаточно найти один частный интеграл его, чтобы стал известен и общий интеграл.

Равенство (21) показывает, что выражение:

$[u]_{z}$

‎инвариантно по отношению ко всякой линейной подстановке.

‎Теорема 6. Всякий интеграл дифференциального уравнения: