Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/88

$[u]_{t}={\frac {1-{\dfrac {1}{\lambda _{1}^{2}}}}{2t^{2}}}+{\frac {1-{\dfrac {1}{\lambda _{2}^{2}}}}{2(t-1)^{2}}}+{\frac {A}{t}}+{\frac {B}{t-1}}.$

(64)

‎Для опредѣленія $A$ и $B$ разложимъ вторую часть равенства (64) въ рядъ по убывающимъ степенямъ $t$ (въ области безконечно удаленной точки) и сравнимъ полученное разложеніе съ разложеніемъ (62). Такимъ образомъ находимъ:

$A+B=0,\ B+{\frac {1-{\dfrac {1}{\lambda _{1}^{2}}}}{2}}+{\frac {1-{\dfrac {1}{\lambda _{2}^{2}}}}{2}}={\frac {1-{\dfrac {1}{\lambda ^{2}}}}{2}}.$

(65)

‎Опредѣливъ изъ этихъ уравненій $A$ и $B$ и подставивъ ихъ въ равенство (64), находимъ:

$[u]_{t}={\frac {1-{\dfrac {1}{\lambda _{1}^{2}}}}{2t^{2}}}+{\frac {1-{\dfrac {1}{\lambda _{2}^{2}}}}{2(t-1)^{2}}}+{\frac {{\dfrac {1}{\lambda _{1}^{2}}}+{\dfrac {1}{\lambda _{2}^{2}}}-{\dfrac {1}{\lambda ^{2}}}-1}{2t(t-1)}}.$

(66)

‎Таковъ окончательный видъ уравненія (30). Вторая часть уравненія (66) есть искомое выраженіе функціи $-2p$.

Теорема 11. Всякій интегралъ дифференціальнаго уравненія (66) и всякій корень алгебраическаго уравненія (54) можно представить въ видѣ отношенія двухъ частныхъ интеграловъ гипергеометрическаго уравненія:

$t(1-t){\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+{\big \{}\gamma -(\alpha +\beta +1)t{\big \}}{\frac {dy}{dt}}-\alpha \beta y=0.$

(67)

‎Положимъ временно:

$p_{1}={\frac {\gamma -(\alpha +\beta +1)t}{t(1-t)}},\ p_{1}={\frac {\alpha \beta }{t(1-t)}}.$

(68)

‎На основаніи теоремы 4 отношеніе

$u={\frac {y'}{y''}}$

‎двухъ линейно независимыхъ частныхъ интеграловъ всякаго линейнаго дифференціальнаго уравненія 2-го порядка вида:

Тот же текст в современной орфографии

$[u]_{t}={\frac {1-{\dfrac {1}{\lambda _{1}^{2}}}}{2t^{2}}}+{\frac {1-{\dfrac {1}{\lambda _{2}^{2}}}}{2(t-1)^{2}}}+{\frac {A}{t}}+{\frac {B}{t-1}}.$

(64)

‎Для определения $A$ и $B$ разложим вторую часть равенства (64) в ряд по убывающим степеням $t$ (в области бесконечно удаленной точки) и сравним полученное разложение с разложением (62). Таким образом находим:

$A+B=0,\ B+{\frac {1-{\dfrac {1}{\lambda _{1}^{2}}}}{2}}+{\frac {1-{\dfrac {1}{\lambda _{2}^{2}}}}{2}}={\frac {1-{\dfrac {1}{\lambda ^{2}}}}{2}}.$

(65)

‎Определив из этих уравнений $A$ и $B$ и подставив их в равенство (64), находим:

$[u]_{t}={\frac {1-{\dfrac {1}{\lambda _{1}^{2}}}}{2t^{2}}}+{\frac {1-{\dfrac {1}{\lambda _{2}^{2}}}}{2(t-1)^{2}}}+{\frac {{\dfrac {1}{\lambda _{1}^{2}}}+{\dfrac {1}{\lambda _{2}^{2}}}-{\dfrac {1}{\lambda ^{2}}}-1}{2t(t-1)}}.$

(66)

‎Таков окончательный вид уравнения (30). Вторая часть уравнения (66) есть искомое выражение функции $-2p$.

Теорема 11. Всякий интеграл дифференциального уравнения (66) и всякий корень алгебраического уравнения (54) можно представить в виде отношения двух частных интегралов гипергеометрического уравнения:

$t(1-t){\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+{\big \{}\gamma -(\alpha +\beta +1)t{\big \}}{\frac {dy}{dt}}-\alpha \beta y=0.$

(67)

‎Положим временно:

$p_{1}={\frac {\gamma -(\alpha +\beta +1)t}{t(1-t)}},\ p_{1}={\frac {\alpha \beta }{t(1-t)}}.$

(68)

‎На основании теоремы 4 отношение

$u={\frac {y'}{y''}}$

‎двух линейно независимых частных интегралов всякого линейного дифференциального уравнения 2-го порядка вида: