Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/69

$\psi (u,\ z)=0.$

(2')

‎Пусть подстановки, преобразующія корень $u_{1}$ въ корни:

$u_{1},\ u_{2},\ \ldots ,\ u_{i},\ \ldots ,\ u_{N}$

(9)

‎уравненія (2') суть:

$S_{1}=1,\ S_{2},\ \ldots ,\ S_{i},\ \ldots ,\ S_{N}.$

(10)

‎Такъ какъ

$u_{i}=S_{i}(u_{1})$

‎есть корень уравненія (2'), то мы имѣемъ:

$\psi (S_{i}(u_{1}),\ z)=0.$

(11)

‎Уравненіе:

$\psi (S_{i}(u),\ z)=0$

(12)

‎такой же степени, какъ и неприводимое уравненіе (2') и имѣетъ съ нимъ общій корень $u_{1}$; слѣдовательно уравненія (2') и (12) между собою тождественны.

Подставивъ въ уравненіе (12) вмѣсто $u$ корень уравненія (2'):

$u_{j}=S_{j}(u_{1}),$

‎мы должны получить тождество:

$\psi (S_{i}S_{j}(u_{1}),\ z)=0.$

(13)

‎Сравнивая это тождество съ уравненіемъ (2'), мы находимъ что величина:

$S_{i}S_{j}(u_{1})$

‎есть одинъ изъ корней (9) уравненія (2'), т. е.:

$S_{i}S_{j}(u_{1})=u_{h},$

(14)

‎гдѣ $h$ имѣетъ одно изъ значеній: $1,\ 2,\ 3,\ \ldots ,\ N$.

Тождество (14) можно представить въ такомъ видѣ:

$S_{i}S_{j}(u_{1})=S_{h}(u_{1}),$

‎откуда

Тот же текст в современной орфографии

$\psi (u,\ z)=0.$

(2')

‎Пусть подстановки, преобразующие корень $u_{1}$ в корни:

$u_{1},\ u_{2},\ \ldots ,\ u_{i},\ \ldots ,\ u_{N}$

(9)

‎уравнения (2') суть:

$S_{1}=1,\ S_{2},\ \ldots ,\ S_{i},\ \ldots ,\ S_{N}.$

(10)

‎Так как

$u_{i}=S_{i}(u_{1})$

‎есть корень уравнения (2'), то мы имеем:

$\psi (S_{i}(u_{1}),\ z)=0.$

(11)

‎Уравнение:

$\psi (S_{i}(u),\ z)=0$

(12)

‎такой же степени, как и неприводимое уравнение (2'), и имеет с ним общий корень $u_{1}$; следовательно уравнения (2') и (12) между собой тождественны.

Подставив в уравнение (12) вместо $u$ корень уравнения (2'):

$u_{j}=S_{j}(u_{1}),$

‎мы должны получить тождество:

$\psi (S_{i}S_{j}(u_{1}),\ z)=0.$

(13)

‎Сравнивая это тождество с уравнением (2'), мы находим, что величина:

$S_{i}S_{j}(u_{1})$

‎есть один из корней (9) уравнения (2'), т. е.:

$S_{i}S_{j}(u_{1})=u_{h},$

(14)

‎где $h$ имеет одно из значений: $1,\ 2,\ 3,\ \ldots ,\ N$.

Тождество (14) можно представить в таком виде:

$S_{i}S_{j}(u_{1})=S_{h}(u_{1}),$

‎откуда