Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/70

$S_{i}S_{j}=S_{h}.$

(15)

‎Дѣйствительно, подстановки (10) образуютъ группу.

Такъ какъ всѣ корни уравненія (2') или, что то же, уравненія (2) черезъ каждый изъ нихъ выражаются раціонально, то это уравненіе само для себя служитъ резольвентою Галуа.

Теорема 4. Всякое отношеніе двухъ линейно независимыхъ частныхъ интеграловъ линейнаго дифференціальнаго уравненія втораго порядка (1)^[1] и всякій корень уравненія (2) удовлетворяютъ дифференціальному уравненію 3-го порядка вида:

${\frac {\dfrac {d^{3}u}{dz^{3}}}{\dfrac {du}{dz}}}-{\frac {3}{2}}\left({\frac {\dfrac {d^{2}u}{dz^{2}}}{\dfrac {du}{dz}}}\right)^{2}=-2P,$

(16)

‎гдѣ $P$ есть раціональная функція $z$:

$P={\frac {1}{4}}p_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}{\frac {dp_{1}}{dz}}-p_{2}.$[2]

(17)

‎Возьмемъ линейное дифференціальное уравненіе 2-го порядка:

${\frac {d^{2}y}{dz^{2}}}+p_{1}{\frac {dy}{dz}}+p_{2}y=0.$

(1)

‎Пусть $y',\ y''$ суть два линейно независимыхъ частныхъ интеграла этого уравненія и пусть

$u={\frac {y'}{y''}}.$

(6')

‎Одифференцируемъ это равенство три раза по $z$ и составимъ выраженіе:

1. Первая часть доказываемой теоремы справедлива не только для дифференціальнаго уравненія (1), имѣющаго алгебраическіе интегралы, но и вообще для всякаго линейнаго дифференціальнаго уравненія 2-го порядка.
2. Сравн. формулу ([[../../Глава I/ДО#Eq22|22]]) [[../../Глава I/ДО|главы I]].

Тот же текст в современной орфографии

$S_{i}S_{j}=S_{h}.$

(15)

‎Действительно, подстановки (10) образуют группу.

Так как все корни уравнения (2') или, что то же, уравнения (2) через каждый из них выражаются рационально, то это уравнение само для себя служит резольвентой Галуа.

Теорема 4. Всякое отношение двух линейно независимых частных интегралов линейного дифференциального уравнения второго порядка (1)^[1] и всякий корень уравнения (2) удовлетворяют дифференциальному уравнению 3-го порядка вида:

${\frac {\dfrac {d^{3}u}{dz^{3}}}{\dfrac {du}{dz}}}-{\frac {3}{2}}\left({\frac {\dfrac {d^{2}u}{dz^{2}}}{\dfrac {du}{dz}}}\right)^{2}=-2P,$

(16)

‎где $P$ есть рациональная функция $z$:

$P={\frac {1}{4}}p_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}{\frac {dp_{1}}{dz}}-p_{2}.$[2]

(17)

‎Возьмем линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка:

${\frac {d^{2}y}{dz^{2}}}+p_{1}{\frac {dy}{dz}}+p_{2}y=0.$

(1)

‎Пусть $y',\ y''$ суть два линейно независимых частных интеграла этого уравнения и пусть

$u={\frac {y'}{y''}}.$

(6')

‎Продифференцируем это равенство три раза по $z$ и составим выражение:

1. Первая часть доказываемой теоремы справедлива не только для дифференциального уравнения (1), имеющего алгебраические интегралы, но и вообще для всякого линейного дифференциального уравнения 2-го порядка.
2. Сравн. формулу (22) главы I.