Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/80

$c={\frac {H^{\lambda _{1}}(a)}{f^{\lambda }(a)}}.$

(43)

‎Эта величина отлична отъ $\infty$ и 0, потому что функціональный опредѣлитель $T(u)$ не можетъ имѣть общаго корня ни съ $f(u)$, ни съ $H(u)$.

Теорема доказана.

Во всемъ дальнѣйшемъ изложеніи мы будемъ предполагать, что $c$ имѣетъ значеніе (43). Поэтому критическими точками корней уравненія (29) будутъ служить точки:

$t=0,\ 1,\ \infty .$

‎Пусть при $t=1$ уравненіе (29) имѣетъ $\lambda _{1}$-кратные корни.

Вычтя изъ обѣихъ частей уравненія (29) по 1, получимъ:

${\frac {H^{\lambda _{1}}(u)-cf^{\lambda }(u)}{f^{\lambda }(u)}}=t-1.$

(44)

‎При $t=1$ оно обратится въ:

$H^{\lambda _{1}}(u)-cf^{\lambda }(u)=0.$

(45)

‎Такъ какъ это уравненіе должно имѣть исключительно $\lambda _{1}$-кратные корни, то должно существовать такое тождество:

$H^{\lambda _{1}}(u)-cf^{\lambda }(u)=T_{1}^{\lambda _{1}}(u),$

(46)

‎гдѣ $T_{1}(u)$ нѣкоторый раціональный многочленъ, не имѣющій кратныхъ корней.

Мы знаемъ, что всѣ корни уравненія (29), соотвѣтствующіе $t=1$, могутъ быть найдены изъ уравненія:

$T(u)=0$

‎и для этого уравненія они служатъ $\lambda _{1}-1$-кратными корнями. Слѣдовательно:

$T_{1}^{\lambda _{1}}(u)=c_{1}T(u),$

(47)

‎гдѣ $c_{1}$ нѣкоторое постоянное число.

Тот же текст в современной орфографии

$c={\frac {H^{\lambda _{1}}(a)}{f^{\lambda }(a)}}.$

(43)

‎Эта величина отлична от $\infty$ и 0, потому что функциональный определитель $T(u)$ не может иметь общего корня ни с $f(u)$, ни с $H(u)$.

Теорема доказана.

Во всем дальнейшем изложении мы будем предполагать, что $c$ имеет значение (43). Поэтому критическими точками корней уравнения (29) будут служить точки:

$t=0,\ 1,\ \infty .$

‎Пусть при $t=1$ уравнение (29) имеет $\lambda _{1}$-кратные корни.

Вычтя из обеих частей уравнения (29) по 1, получим:

${\frac {H^{\lambda _{1}}(u)-cf^{\lambda }(u)}{f^{\lambda }(u)}}=t-1.$

(44)

‎При $t=1$ оно обратится в:

$H^{\lambda _{1}}(u)-cf^{\lambda }(u)=0.$

(45)

‎Так как это уравнение должно иметь исключительно $\lambda _{1}$-кратные корни, то должно существовать такое тождество:

$H^{\lambda _{1}}(u)-cf^{\lambda }(u)=T_{1}^{\lambda _{1}}(u),$

(46)

‎где $T_{1}(u)$ — некоторый рациональный многочлен, не имеющий кратных корней.

Мы знаем, что все корни уравнения (29), соответствующие $t=1$, могут быть найдены из уравнения:

$T(u)=0$

‎и для этого уравнения они служат $\lambda _{1}-1$-кратными корнями. Следовательно:

$T_{1}^{\lambda _{1}}(u)=c_{1}T(u),$

(47)

‎где $c_{1}$ — некоторое постоянное число.