Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/93

Для уравненія же (77) она представляется въ такомъ видѣ:

$S(u')={\frac {(\alpha \delta \varepsilon -\beta \gamma )u'+(\varepsilon -1)\beta \delta }{(\varepsilon -1)\alpha \gamma u'+\alpha \delta -\beta \gamma \varepsilon }}.$

(80)

‎2) Корни двучленнаго уравненія удовлетворяютъ дифференціальному уравненію 3-го порядка:

$[u]_{z}=[R(z)]_{z}+\left({\frac {dR(z)}{dz}}\right)^{2}\left\{{\frac {1-{\dfrac {1}{N^{2}}}}{2R^{2}(z)}}\right\}.$

(81)

‎Въ самомъ дѣлѣ, положивъ:

$R(z)=t,$

(82)

‎мы легко убѣждаемся въ томъ, что корни уравненія

$u^{N}=t$

(83)

‎удовлетворяютъ дифференціальному уравненію:

$[u]_{t}={\frac {1-{\dfrac {1}{N^{2}}}}{2t^{2}}}.$

(84)

‎Введя въ это уравненіе независимое перемѣнное $z$, находимъ:

$[u]_{z}=[R(z)]_{z}+\left({\frac {dR(z)}{dz}}\right)^{2}\left\{{\frac {1-{\dfrac {1}{N^{2}}}}{2R^{2}(z)}}\right\}.$

(85)

‎Корни уравненія (77) удовлетворяютъ также дифференціальному уравненію (85) потому, что дифференціальное выраженіе

$[u]_{z}$

‎не мѣняется отъ линейныхъ подстановокъ.

Уравненія (84) и (85) имѣютъ аналогію съ уравненіями (66) и (75).

---

Тот же текст в современной орфографии

Для уравнения же (77) она представляется в таком виде:

$S(u')={\frac {(\alpha \delta \varepsilon -\beta \gamma )u'+(\varepsilon -1)\beta \delta }{(\varepsilon -1)\alpha \gamma u'+\alpha \delta -\beta \gamma \varepsilon }}.$

(80)

‎2) Корни двучленного уравнения удовлетворяют дифференциальному уравнению 3-го порядка:

$[u]_{z}=[R(z)]_{z}+\left({\frac {dR(z)}{dz}}\right)^{2}\left\{{\frac {1-{\dfrac {1}{N^{2}}}}{2R^{2}(z)}}\right\}.$

(81)

‎В самом деле, положив:

$R(z)=t,$

(82)

‎мы легко убеждаемся в том, что корни уравнения

$u^{N}=t$

(83)

‎удовлетворяют дифференциальному уравнению:

$[u]_{t}={\frac {1-{\dfrac {1}{N^{2}}}}{2t^{2}}}.$

(84)

‎Введя в это уравнение независимую переменную $z$, находим:

$[u]_{z}=[R(z)]_{z}+\left({\frac {dR(z)}{dz}}\right)^{2}\left\{{\frac {1-{\dfrac {1}{N^{2}}}}{2R^{2}(z)}}\right\}.$

(85)

‎Корни уравнения (77) удовлетворяют также дифференциальному уравнению (85), потому что дифференциальное выражение

$[u]_{z}$

‎не меняется от линейных подстановок.

Уравнения (84) и (85) имеют аналогию с уравнениями (66) и (75).

---