Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/85

$H^{\lambda _{1}}(u):c'T^{\lambda _{2}}(u):cf^{\lambda }(u)=t:t-1:1,$

(54)

‎при чемъ степень $N$ этого уравненія, степени $\nu ,\ \nu _{1},\ \nu _{2}$ функцій $f(u),\ H(u),\ T(u)$ и показатели $\lambda ,\ \lambda _{1},\ \lambda _{2}$ могутъ имѣть только тѣ значенія, которыя приведены въ таблицѣ (50).

§ 6. Дифференціальное уравненіе 3-го порядка, которому удовлетворяютъ корни алгебраическаго уравненія изучаемаго класса.

Мы знаемъ, что корни уравненія (54) удовлетворяютъ дифференціальному уравненію:

$[u]_{t}=-2p.$

(30)

‎Займемся опредѣленіемъ функціи $p$.

Разсмотримъ, каково разложеніе функціи $[u]_{t}$ въ области:

1) обыкновенной точки функціи $u$,

2) полюса функціи $u$,

3) критическихъ точекъ: $0,\ 1,\ \infty$ функціи $u$.

I. Пусть точка $t=t_{1}$ есть обыкновенная точка функціи $u$.

Въ области точки $t_{1}$ функція $u$ голоморфна и можетъ быть разложена въ рядъ вида:

$u-(u)_{t=t_{1}}=a(t-t_{1})+b(t-t_{1})^{2}+c(t-t_{1})^{2}+\ldots$

(55)

‎Коэффиціентъ $a$ въ рядѣ (55) отличенъ отъ 0, потому что въ противномъ случаѣ $t$ не было бы однозначною функціею $u$, какъ того требуетъ уравненіе (54). Подставивъ рядъ (55) въ выраженіе $[u]_{t}$, мы убѣждаемся въ томъ, что въ области точки $t_{1}$ функція $[u]_{t}$ голоморфна.

II. Пусть $t=t_{2}$ есть полюсъ функціи $u$.

Въ области точки $t_{2}$ функція

$v={\frac {1}{u}}$

‎голоморфна и можетъ быть разложена въ рядъ вида (55). Функція $[v]_{t}$ въ области точки $t_{2}$ голоморфна. Но вслѣдствіе линейной зависимости между $u$ и $v$ должно существовать равенство:

Тот же текст в современной орфографии

$H^{\lambda _{1}}(u):c'T^{\lambda _{2}}(u):cf^{\lambda }(u)=t:t-1:1,$

(54)

‎причем степень $N$ этого уравнения, степени $\nu ,\ \nu _{1},\ \nu _{2}$ функций $f(u),\ H(u),\ T(u)$ и показатели $\lambda ,\ \lambda _{1},\ \lambda _{2}$ могут иметь только те значения, которые приведены в таблице (50).

§ 6. Дифференциальное уравнение 3-го порядка, которому удовлетворяют корни алгебраического уравнения изучаемого класса.

Мы знаем, что корни уравнения (54) удовлетворяют дифференциальному уравнению:

$[u]_{t}=-2p.$

(30)

‎Займемся определением функции $p$.

Рассмотрим, каково разложение функции $[u]_{t}$ в области:

1) обыкновенной точки функции $u$,

2) полюса функции $u$,

3) критических точек: $0,\ 1,\ \infty$ функции $u$.

I. Пусть точка $t=t_{1}$ есть обыкновенная точка функции $u$.

В области точки $t_{1}$ функция $u$ голоморфна и может быть разложена в ряд вида:

$u-(u)_{t=t_{1}}=a(t-t_{1})+b(t-t_{1})^{2}+c(t-t_{1})^{2}+\ldots$

(55)

‎Коэффициент $a$ в ряде (55) отличен от 0, потому что в противном случае $t$ не было бы однозначной функцией $u$, как того требует уравнение (54). Подставив ряд (55) в выражение $[u]_{t}$, мы убеждаемся в том, что в области точки $t_{1}$ функция $[u]_{t}$ голоморфна.

II. Пусть $t=t_{2}$ есть полюс функции $u$.

В области точки $t_{2}$ функция

$v={\frac {1}{u}}$

‎голоморфна и может быть разложена в ряд вида (55). Функция $[v]_{t}$ в области точки $t_{2}$ голоморфна. Но вследствие линейной зависимости между $u$ и $v$ должно существовать равенство: