Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/86

$[u]_{t}=[v]_{t}.$

‎Слѣдовательно функція $[u]_{t}$ въ области точки $t_{2}$ голоморфна.

ІІІ. Пусть въ точкѣ $t=0$ функція $u$ конечна. Тогда въ области точки 0 она разложится въ рядъ вида:

$u-u_{0}=a_{0}t^{\frac {1}{\lambda _{1}}}+b_{0}t^{\frac {1}{\lambda _{1}}}+c_{0}t^{\frac {1}{\lambda _{1}}}+\ldots$

(56)

‎гдѣ $a_{0}$ отлично отъ 0 по той же причинѣ, по какой въ формулѣ (55) коэффиціентъ $a$ отличенъ отъ 0.

Подставивъ рядъ (56) въ выраженіе $[u]_{t}$, находимъ, что въ области точки $t=0$ имѣетъ мѣсто разложеніе:

$[u]_{t}={\frac {1-{\dfrac {1}{\lambda _{1}^{2}}}}{2t^{2}}}+{\frac {A}{t}}+W_{0}(t),$

(57)

‎гдѣ $W_{0}(t)$ есть функція голоморфная въ области точки $t=0$.

Если въ точкѣ $t=0$ функція $u$ обратится въ $\infty$, то функція:

$v={\frac {1}{u}}$

‎будетъ конечна и разложится въ рядъ вида (56); функція $[v]_{t}$ разложится въ рядъ вида (57). Но вслѣдствіе линейной зависимости между $u$ и $v$ имѣетъ мѣсто равенство:

$[u]_{t}=[v]_{t}.$

‎Слѣдовательно формула (57) справедлива и въ томъ случаѣ, когда въ точкѣ $t=0$ функція $u$ обращается въ $\infty$.

Повторяя тѣ же разсужденія, убѣдимся въ томъ, что въ области точки $t=1$ имѣетъ мѣсто разложеніе:

$[u]_{t}={\frac {1-{\dfrac {1}{\lambda _{2}^{2}}}}{2(t-1)^{2}}}+{\frac {B}{t-1}}+W_{1}(t),$

(58)

‎гдѣ $W_{1}(t)$ функція, голоморфная въ области точки $t=1$.

Тот же текст в современной орфографии

$[u]_{t}=[v]_{t}.$

‎Следовательно функция $[u]_{t}$ в области точки $t_{2}$ голоморфна.

ІІІ. Пусть в точке $t=0$ функция $u$ конечна. Тогда в области точки 0 она разложится в ряд вида:

$u-u_{0}=a_{0}t^{\frac {1}{\lambda _{1}}}+b_{0}t^{\frac {1}{\lambda _{1}}}+c_{0}t^{\frac {1}{\lambda _{1}}}+\ldots$

(56)

‎где $a_{0}$ отлично от 0 по той же причине, по какой в формуле (55) коэффициент $a$ отличен от 0.

Подставив ряд (56) в выражение $[u]_{t}$, находим, что в области точки $t=0$ имеет место разложение:

$[u]_{t}={\frac {1-{\dfrac {1}{\lambda _{1}^{2}}}}{2t^{2}}}+{\frac {A}{t}}+W_{0}(t),$

(57)

‎где $W_{0}(t)$ есть функция, голоморфная в области точки $t=0$.

Если в точке $t=0$ функция $u$ обратится в $\infty$, то функция:

$v={\frac {1}{u}}$

‎будет конечна и разложится в ряд вида (56); функция $[v]_{t}$ разложится в ряд вида (57). Но вследствие линейной зависимости между $u$ и $v$ имеет место равенство:

$[u]_{t}=[v]_{t}.$

‎Следовательно формула (57) справедлива и в том случае, когда в точке $t=0$ функция $u$ обращается в $\infty$.

Повторяя те же рассуждения, убедимся в том, что в области точки $t=1$ имеет место разложение:

$[u]_{t}={\frac {1-{\dfrac {1}{\lambda _{2}^{2}}}}{2(t-1)^{2}}}+{\frac {B}{t-1}}+W_{1}(t),$

(58)

‎где $W_{1}(t)$ — функция, голоморфная в области точки $t=1$.