Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/81

Обозначимъ степень многочлена $T_{1}(u)$ буквою $\nu _{2}$.

Докажемъ, что степень $\nu _{2}$ выше степени $\nu$ первичной функціи $f(u)$.

Форма $T(\eta ',\ \eta '')$ есть функціональный опредѣлитель формъ $f(\eta ',\ \eta '')$ и $H(\eta ',\ \eta '')$; слѣдовательно она коваріантъ формы $f(\eta ',\ \eta '')$. Поэтому на основаніи теоремы 13 главы I она равна радикалу изъ раціональной функціи $z$.

Если такъ, то изъ равенства (47) слѣдуетъ, что и $T_{1}(\eta ',\ \eta '')$ есть радикалъ изъ раціональной функціи $z$.

Изъ теоремы 12 главы I мы знаемъ, что въ такомъ случаѣ форма $T_{1}(\eta ',\ \eta '')$ должна быть или первичною формою, или произведеніемъ нѣсколькихъ первичныхъ формъ. Отсюда слѣдуетъ, что степень $\nu _{2}$ формы $T_{1}(\eta ',\ \eta '')$ выше степени $\nu$ первичной формы $f(\eta ',\ \eta '')$ наинисшей степени.

Итакъ, дѣйствительно

$\nu _{2}>\nu .$

‎Обратимся снова къ уравненію (39). Въ немъ, какъ мы теперь знаемъ, $\sigma =3$, а числа $m_{1},\ m_{2},\ m_{3}$ равны $\lambda ,\ \lambda _{1},\ \lambda _{2}$. Слѣдовательно уравненіе (39) можно представить въ такомъ видѣ:

${\frac {1}{\lambda }}+{\frac {1}{\lambda _{1}}}+{\frac {1}{\lambda _{2}}}-{\frac {2}{N}}=1.$

(48)

‎Изъ равенства (3) и изъ сравненія степеней обѣихъ частей тождества (46) заключаемъ, что:

$N=\nu \lambda =\nu _{1}\lambda _{1}=\nu _{2}\lambda _{2}.$

(49)

‎Числа $N,\lambda ,\ \lambda _{1},\ \lambda _{2},\nu ,\ \nu _{1},\ \nu _{2}$ суть числа цѣлыя и положительныя; числа $\lambda ,\ \lambda _{1},\ \lambda _{2}$ больше 1. Изъ чиселъ $\nu ,\ \nu _{1},\ \nu _{2}$ наименьшее есть $\nu$; число $\nu _{1}=2\nu -4$^[1]. Число $N$ на основаніи теоремы 2 не менѣе 4.

1. За исключеніемъ того случая, когда $\nu$ равно 1. При $\nu =2$ имѣетъ мѣсто особый случай, разсмотрѣнный въ § 4.

Тот же текст в современной орфографии

Обозначим степень многочлена $T_{1}(u)$ буквой $\nu _{2}$.

Докажем, что степень $\nu _{2}$ выше степени $\nu$ первичной функции $f(u)$.

Форма $T(\eta ',\ \eta '')$ есть функциональный определитель форм $f(\eta ',\ \eta '')$ и $H(\eta ',\ \eta '')$; следовательно она ковариант формы $f(\eta ',\ \eta '')$. Поэтому на основании теоремы 13 главы I она равна радикалу из рациональной функции $z$.

Если так, то из равенства (47) следует, что и $T_{1}(\eta ',\ \eta '')$ есть радикал из рациональной функции $z$.

Из теоремы 12 главы I мы знаем, что в таком случае форма $T_{1}(\eta ',\ \eta '')$ должна быть или первичной формой, или произведением нескольких первичных форм. Отсюда следует, что степень $\nu _{2}$ формы $T_{1}(\eta ',\ \eta '')$ выше степени $\nu$ первичной формы $f(\eta ',\ \eta '')$ наинисшей степени.

Итак, действительно

$\nu _{2}>\nu .$

‎Обратимся снова к уравнению (39). В нем, как мы теперь знаем, $\sigma =3$, а числа $m_{1},\ m_{2},\ m_{3}$ равны $\lambda ,\ \lambda _{1},\ \lambda _{2}$. Следовательно, уравнение (39) можно представить в таком виде:

${\frac {1}{\lambda }}+{\frac {1}{\lambda _{1}}}+{\frac {1}{\lambda _{2}}}-{\frac {2}{N}}=1.$

(48)

‎Из равенства (3) и из сравнения степеней обеих частей тождества (46) заключаем, что:

$N=\nu \lambda =\nu _{1}\lambda _{1}=\nu _{2}\lambda _{2}.$

(49)

‎Числа $N,\lambda ,\ \lambda _{1},\ \lambda _{2},\nu ,\ \nu _{1},\ \nu _{2}$ суть числа целые и положительные; числа $\lambda ,\ \lambda _{1},\ \lambda _{2}$ больше 1. Из чисел $\nu ,\ \nu _{1},\ \nu _{2}$ наименьшее есть $\nu$; число $\nu _{1}=2\nu -4$^[1]. Число $N$ на основании теоремы 2 не менее 4.

1. За исключением того случая, когда $\nu$ равно 1. При $\nu =2$ имеет место особый случай, рассмотренный в § 4.