Алгебраические уравнения, разрешимые в гипергеометрических функциях (Лахтин)/Глава II

Алгебраические уравнения, разрешимые в гипергеометрических функциях — Глава II. Свойства алгебраических уравнений, имеющих корнями отношения частных интегралов линейного дифференциального уравнения 2-го порядка
автор Л. К. Лахтин

§ 5. Основные свойства  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

661

§ 6. Дифференциальное уравнение 3-го порядка, которому удовлетворяют корни алгебраического уравнения изучаемого класса  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

681

§ 7. Двучленное уравнение  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

688

---

Глава II.

Свойства алгебраических уравнений, имеющих корнями отношения частных интегралов линейного дифференциального уравнения 2-го порядка.

‎В главе I мы рассмотрели главнейшие свойства уравнений, имеющих корнями частные интегралы линейного дифференциального уравнения 2-го порядка, и видели, что решение этих уравнений может быть приведено к решению уравнений иного класса: уравнений, имеющих корнями отношения частных интегралов линейного дифференциального уравнения 2-го порядка.

Теперь мы займемся изучением свойств уравнений этого нового класса и убедимся в том, что все они разрешимы в гипергеометрических функциях.

§ 5. Основные свойства.

Согласно результатам, найденными в главе I, мы можем утверждать, что неприводимое алгебраическое уравнение, которому удовлетворяют частные интегралы линейного дифференциального уравнения 2-го порядка:

${\frac {d^{2}y}{dz^{2}}}+p_{1}{\frac {dy}{dz}}+p_{2}y=0,$

(1)

‎должно иметь такой вид:

${\frac {H^{\lambda _{1}}(u)}{f^{\lambda }(u)}}=R(z).$

(2)

‎Степени многочленов $f(u)$ и $H(u)$ по-прежнему мы будем обозначать буквами $\nu$ и $\nu _{1}$. В таком случае:

$\lambda \nu =\lambda _{1}\nu _{1}=N.$

(3)

‎Теорема 1. Показатели $\lambda$ и $\lambda _{1}$, входящие в уравнение (2), не могут равняться единице.

Обозначим по-прежнему индексы первичных форм

$f(\eta ',\ \eta ''),\ H(\eta ',\ \eta '')$

‎буквами $\mu$ и $\mu _{1}$.

Из формул (96) главы I мы видим, что показатели $\lambda$ и $\lambda _{1}$ или соответственно равны индексам $\mu$ и $\mu _{1}$, или вдвое меньше их.

Из теорем 14, 15, 17 и 18 главы I следует, что если степень $\nu$ первичной формы $f(\eta ',\ \eta '')$ отлична от 2, то индексы $\mu$ и $\mu _{1}$ не могут равняться ни 1, ни 2.

Если так, то при $\nu$, отличном от 2, показатели $\lambda$ и $\lambda _{1}$ не могут равняться 1.

Случай $\nu =2$ был нами рассмотрен в § 4.

В этом случае уравнение (1) таково:

${\frac {H^{2}(u)}{f^{m}(u)}}=R(z),$

(4)

‎где

$f(u)=u,\ H(u)={\frac {u^{m}+1}{2}}.$

(5)

‎Так как при $m=1$ уравнение (4) никакого интереса не представляет, то мы вправе сказать, что в случае $\nu =2$ уравнение (1) имеет показателями $\lambda$ и $\lambda _{1}$ числа, не меньшие 2.

Теорема доказана.

Теорема 2. Степень $N$ уравнения (2) не ниже 4.

Из равенств (3) следует, что

$N=\lambda \nu ,$

‎а так как $\nu$ не меньше 2, и $\lambda$ по теореме 1 тоже не меньше 2, то $N$ не меньше 4.

Теорема 3. Уравнение (2) имеет группу линейных подстановок^[1].

Пусть ${\bar {u}}$ и $u$ суть два корня уравнения (2). Каждый из них есть отношение двух линейно независимых частных интегралов уравнения (1):

$u={\frac {y'}{y''}},\ {\bar {u}}={\frac {{\bar {y}}'}{{\bar {y}}''}}.$

(6)

‎Частные интегралы ${\bar {y}}',\ {\bar {y}}''$ могут быть выражены линейно через $y'$ и $y''$:

$\left.{\begin{matrix}{\bar {y}}'=\alpha y'+\beta y',\\{\bar {y}}''=\gamma y'+\delta y''.\end{matrix}}\right\}$

(7)

‎Отсюда:

${\bar {u}}={\frac {\alpha u+\beta }{\gamma u+\delta }}.$

(8)

‎Мы видим, что все корни уравнения (2) связаны между собой линейно. Остается доказать, что эти линейные подстановки образуют группу.

‎Представим для краткости уравнение (2) в таком виде:

$\psi (u,\ z)=0.$

(2')

‎Пусть подстановки, преобразующие корень $u_{1}$ в корни:

$u_{1},\ u_{2},\ \ldots ,\ u_{i},\ \ldots ,\ u_{N}$

(9)

‎уравнения (2') суть:

$S_{1}=1,\ S_{2},\ \ldots ,\ S_{i},\ \ldots ,\ S_{N}.$

(10)

‎Так как

$u_{i}=S_{i}(u_{1})$

‎есть корень уравнения (2'), то мы имеем:

$\psi (S_{i}(u_{1}),\ z)=0.$

(11)

‎Уравнение:

$\psi (S_{i}(u),\ z)=0$

(12)

‎такой же степени, как и неприводимое уравнение (2'), и имеет с ним общий корень $u_{1}$; следовательно уравнения (2') и (12) между собой тождественны.

Подставив в уравнение (12) вместо $u$ корень уравнения (2'):

$u_{j}=S_{j}(u_{1}),$

‎мы должны получить тождество:

$\psi (S_{i}S_{j}(u_{1}),\ z)=0.$

(13)

‎Сравнивая это тождество с уравнением (2'), мы находим, что величина:

$S_{i}S_{j}(u_{1})$

‎есть один из корней (9) уравнения (2'), т. е.:

$S_{i}S_{j}(u_{1})=u_{h},$

(14)

‎где $h$ имеет одно из значений: $1,\ 2,\ 3,\ \ldots ,\ N$.

Тождество (14) можно представить в таком виде:

$S_{i}S_{j}(u_{1})=S_{h}(u_{1}),$ ‎откуда

$S_{i}S_{j}=S_{h}.$

(15)

‎Действительно, подстановки (10) образуют группу.

Так как все корни уравнения (2') или, что то же, уравнения (2) через каждый из них выражаются рационально, то это уравнение само для себя служит резольвентой Галуа.

Теорема 4. Всякое отношение двух линейно независимых частных интегралов линейного дифференциального уравнения второго порядка (1)^[2] и всякий корень уравнения (2) удовлетворяют дифференциальному уравнению 3-го порядка вида:

${\frac {\dfrac {d^{3}u}{dz^{3}}}{\dfrac {du}{dz}}}-{\frac {3}{2}}\left({\frac {\dfrac {d^{2}u}{dz^{2}}}{\dfrac {du}{dz}}}\right)^{2}=-2P,$

(16)

‎где $P$ есть рациональная функция $z$:

$P={\frac {1}{4}}p_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}{\frac {dp_{1}}{dz}}-p_{2}.$[3]

(17)

‎Возьмем линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка:

${\frac {d^{2}y}{dz^{2}}}+p_{1}{\frac {dy}{dz}}+p_{2}y=0.$

(1)

‎Пусть $y',\ y''$ суть два линейно независимых частных интеграла этого уравнения и пусть

$u={\frac {y'}{y''}}.$

(6')

‎Продифференцируем это равенство три раза по $z$ и составим выражение: ${\frac {\dfrac {d^{3}u}{dz^{3}}}{\dfrac {du}{dz}}}-{\frac {3}{2}}\left({\frac {\dfrac {d^{2}u}{dz^{2}}}{\dfrac {du}{dz}}}\right)^{2},$

‎принимая при этом во внимание, что $y'$ и $y''$ суть интегралы уравнения (1).

Выполнив вычисления, находим:

${\frac {\dfrac {d^{3}u}{dz^{3}}}{\dfrac {du}{dz}}}-{\frac {3}{2}}\left({\frac {\dfrac {d^{2}u}{dz^{2}}}{\dfrac {du}{dz}}}\right)^{2}=-2P,$

(16)

‎где по-прежнему:

$P={\frac {1}{4}}p_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}{\frac {dp_{1}}{dz}}-p_{2}.$

(17)

‎Первая часть теоремы доказана.

Если интегралы уравнения (1) алгебраические, то отношение:

$u={\frac {y'}{y''}}$

(6')

‎всяких двух линейно независимых частных интегралов уравнения (1) есть корень уравнения вида (2).

Следовательно корень $u$ уравнения (2) также удовлетворяет дифференциальному уравнению (16).

Так как все корни уравнения (2) суть отношения частных интегралов уравнения (1), то все они удовлетворяют дифференциальному уравнению (16).

Условимся для краткости в таком обозначении:

${\frac {\dfrac {d^{3}u}{dz^{3}}}{\dfrac {du}{dz}}}-{\frac {3}{2}}\left({\frac {\dfrac {d^{2}u}{dz^{2}}}{\dfrac {du}{dz}}}\right)^{2}=[u]_{z}.$

(18)

‎Тогда дифференциальное уравнение (16) примет такой вид:

$[u]_{z}=-2P.$

(19)

‎Теорема 5. Если и есть частный интеграл дифференциального уравнения (19), то общий его интеграл представится в виде линейной функции $u$:

$U={\frac {\alpha u+\beta }{\gamma u+\delta }}.$

(20)

‎Продифференцируем равенство (20) три раза по $z$, считая $U$ и $u$ функциями $z$, и исключим постоянные: $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma ,\ \delta$.

Результат исключения представится в таком виде:

$[U]_{z}=[u]_{z}.$

(21)

‎Так как на основании уравнения (19):

$[u]_{z}=-2P,$

‎то из равенства (21) следует, что

$[U]_{z}=-2P.$

(22)

‎А это и значит, что $U$ есть интеграл уравнения (19).

В него входят три независимых произвольных постоянных:

${\frac {\alpha }{\delta }},\ {\frac {\beta }{\delta }},\ {\frac {\gamma }{\delta }}.$

‎Следовательно $U$ есть интеграл общий.

Найденное свойство уравнения (19) значительно облегчает его интегрирование: достаточно найти один частный интеграл его, чтобы стал известен и общий интеграл.

Равенство (21) показывает, что выражение:

$[u]_{z}$

‎инвариантно по отношению ко всякой линейной подстановке.

‎Теорема 6. Всякий интеграл дифференциального уравнения:

$[u]_{z}=-2P.$

(19)

‎может быть представлен в виде отношения частных интегралов линейного дифференциального уравнения 2-го порядка.

Возьмем уравнение:

$P={\frac {1}{4}}p_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}{\frac {dp_{1}}{dz}}-p_{2}$

(17)

‎и по данной функции $P$ подыщем две функции $p_{1}$ и $p_{2}$, которые удовлетворяли бы уравнению (17), — таких пар функций можно найти бесконечное множество.

Возьмем линейное дифференциальное уравнение

${\frac {d^{2}y}{dz^{2}}}+p_{1}{\frac {dy}{dz}}+p_{2}y=0,$

(1)

‎где $p_{1}$ и $p_{2}$ имеют только что выбранные нами значения.

Из теоремы 4 следует, что отношение всяких двух линейно независимых частных интегралов уравнения (1):

$u={\frac {y'}{y''}}$

(6')

‎удовлетворяет уравнению (19). Общий же интеграл уравнения (19) на основании теоремы 5 выразится так:

$U={\frac {\alpha u+\beta }{\gamma u+\delta }}={\frac {\alpha y'+\beta y''}{\gamma y'+\delta y''}}.$

(20)

‎Числитель и знаменатель выражения:

${\frac {\alpha y'+\beta y''}{\gamma y'+\delta y''}}$

‎суть снова интегралы того же уравнения (1).

Следовательно, всякий интеграл дифференциального уравнения (19) есть отношение частных интегралов некоторого линейного дифференциального уравнения (1).

Теорема доказана.

Теорема 7. Если алгебраическое уравнение имеет группу линейных подстановок, то корни его удовлетворяют дифференциальному уравнению вида:

$[u]_{z}=-2P.$

(19)

‎Пусть алгебраическое уравнение:

$\psi (u,\ z)=0$

(2')

‎имеет группу линейных подстановок и пусть его корни суть:

$u_{1},\ u_{2},\ \ldots ,\ u_{j},\ \ldots ,\ u_{N}.$

(9)

‎Эти величины связаны между собой линейно; поэтому, как мы видим из равенства (21), должны иметь место тождества:

$[u_{1}]_{z}=[u_{2}]_{z}=\ldots =[u_{N}]_{z}.$

(23)

‎Продифференцируем уравнение (2') три раза по $z$, считая $u$ функцией $z$, и составим выражение $[u]_{z}$.

Мы увидим, что оно представится в виде рациональной функции $u$ и $z$:

$[u]_{z}=\varphi (u,\ z).$

(24)

‎Подставляя в это равенство вместо $u$ последовательно все величины (9), мы получим на основании тождеств (23) следующее:

$\varphi (u_{1},\ z)=\varphi (u_{2},\ z)=\ldots =\varphi (u_{i},\ z)=\ldots =\varphi (u_{N},\ z).$

(25)

‎Это значит, что величина

$\varphi (u_{i},\ z)$

‎есть симметрическая функция корней (9) уравнения (2'). Следовательно она может быть представлена в виде рациональной функции $z$:

$\varphi (u_{i},\ z)=-2P.$

(26)

‎где $P$ есть некоторая рациональная функция $z$.

‎Из равенств (24), (25) и (26) следует, что:

$[u_{i}]_{z}=-2P,$ где $i=1,\ 2,\ 3,\ \ldots ,\ N$;

(27)

‎а это и значит, что корни (9) уравнения (2') суть частные интегралы уравнения

$[u]_{z}=-2P.$

(19)

‎Теорема доказана.

Возьмем снова алгебраическое уравнение:

${\frac {H^{\lambda _{1}}(u)}{f^{\lambda }(u)}}=R(z)$

(2)

‎и то дифференциальное уравнение:

$[u]_{z}=-2P,$

(19)

‎которому удовлетворяют корни уравнения (2).

Преобразуем уравнение (2), введя вместо $z$ новую независимую переменную $t$, связанную с $z$ соотношением:

$R(z)=ct,$

(28)

‎где $c$ — постоянный множитель, который мы оставляем пока произвольным.

Алгебраическое уравнение (2) примет вид:

${\frac {H^{\lambda _{1}}(u)}{f^{\lambda }(u)}}=ct.$

(29)

‎Так как это уравнение имеет группу линейных подстановок — ту же самую, как и уравнение (2), то на основании теоремы 7 мы можем сказать, что корни его удовлетворяют дифференциальному уравнению вида:

$[u]_{t}=-2p_{1},$

(30)

‎где $p$ есть некоторая рациональная функция $t$.

В конце настоящей главы мы найдем выражение этой функции, а затем, пользуясь соотношением (28), будем в состоянии легко найти функцию $P$.

Теорема 8. Корни уравнения:

${\frac {H^{\lambda _{1}}(u)}{f^{\lambda }(u)}}=ct$

(29)

‎имеют три крититические точки. При надлежащем выборе постоянной $c$ эти критические точки суть: 0, 1, $\infty$.

Для сокращения формул положим:

$H^{\lambda _{1}}(u)=\varphi (u),\ f^{\lambda }(u)=\psi (u).$

(31)

‎Тогда уравнение (29) примет вид:

${\frac {\varphi (u)}{\psi (u)}}=ct,$

(32)

‎или:

$\varphi (u)-ct\psi (u)=0.$

(33)

‎Найдем, какие значения $u$ могут служить кратными корнями уравнения (33) при соответствующих значениях $t$. Для этого приравняем нулю производную по $u$ от левой части уравнения (33):

${\frac {d\varphi (u)}{du}}-ct{\frac {d\psi (u)}{du}}=0.$

(34)

‎Исключив $t$ из уравнений (33) и (34), находим:

$\varphi (u){\frac {d\psi (u)}{du}}-\psi (u){\frac {d\psi (u)}{du}}=0.$

(35)

‎Корнями уравнения (35) служат все те количества, которые при соответствующих значениях $t$, найденных из уравнения (33), служат кратными корнями уравнения (33).

При этом всякое количество $u$, служащее $m$-кратным корнем уравнения (33), служит $m-1$-кратным корнем уравнения (35), и обратно: всякий $m-1$-кратный корень уравнения (35) есть $m$-кратный корень уравнения (33) при соответствующем ему значении $t$.

Степень уравнения (35) равна $2N-2$.

Группа уравнения (33) та же, как и группа уравнения (2).

Подстановки ее были нами обозначены так:

$S_{1}=1,\ S_{2},\ \ldots ,\ S_{i},\ \ldots ,\ S_{N}.$

(10)

‎Пусть при

$t=t_{i}$

‎$m_{i}$ корней уравнения (33) делаются равными между собой:

$u_{1}=u_{2}=\ldots =u_{m_{i}}.$

‎Ясно, что в таком случае будем иметь:

$\left.{\begin{matrix}S_{1}(u_{1})=S_{1}(u_{2})=\ldots =S_{1}(u_{m_{i}}),\\S_{2}(u_{1})=S_{2}(u_{2})=\ldots =S_{2}(u_{m_{i}}),\\S_{3}(u_{1})=S_{3}(u_{2})=\ldots =S_{3}(u_{m_{i}}),\\\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \end{matrix}}\right\}$

(36)

‎т. е. при $t=t_{i}$ уравнение (33) имеет ${\frac {N}{m_{i}}}$ различных корней, и каждый из них есть $m$-кратный корень.

Мы видели, что каждый из этих корней есть $m_{i}-1$-кратный корень уравнения (35); следовательно уравнение (35) будет иметь:

${\frac {N}{m_{i}}}(m_{i}-1)$

‎корней, соответствующих $t=t_{i}$.

Таким же образом сосчитаем, сколько уравнение (35) имеет корней, соответствующих всякой другой критической точке.

Число всех корней уравнения (35) выразится так:

$\sum _{i=1}^{\sigma }{\frac {N}{m_{i}}}(m_{i}-1),$

(37)

‎где $\sigma$ есть число всех критических точек корней уравнения (33).

С другой стороны, число всех корней уравнения (35) равно его степени $2N-2$. Следовательно, мы можем написать такое равенство:

$\sum _{i=1}^{\sigma }{\frac {N}{m_{i}}}(m_{i}-1)=2N-2$

(38)

‎или:

$\sum _{i=1}^{\sigma }\left(1-{\frac {1}{m_{i}}}\right)=2-{\frac {2}{N}}.$

(39)

‎Так как $m_{1}$ суть целые числа, не меньшие 2, а $N$ на основании теоремы 2 не меньше 4, то из неопределенного уравнения (39) видим, что число $\sigma$ больше 1, но меньше 4, т. е. $\sigma$ равно 2 или 3.

Обратимся снова к уравнению (35). Подставив в него вместо $\varphi (u)$ и $\psi (u)$ выражения (31) этих функций, мы приведем уравнение (35) к такому виду:

$f^{\lambda -1}(u)H^{\lambda _{1}-1}(u)\left\{\lambda H(u){\frac {df(u)}{du}}-\lambda _{1}f(u){\frac {dH(u)}{du}}\right\}=0,$

(40)

‎или:

$f^{\lambda -1}(u)H^{\lambda _{1}-1}(u)T(u)=0,$

(41)

‎где $T(u)$ имеет прежнее значение, определяемое формулой (103) главы I.

Уравнение (41) мы можем разбить на 3 уравнения:

$f^{\lambda -1}(u)=0,\ H^{\lambda _{1}-1}(u)=0,\ T(u)=0.$

(42)

‎Первое из них определяет кратные корни уравнения (29), соответствующие критической точке:

$t=\infty .$

‎Это суть $\lambda$-кратные корни уравнения (29), как видно и прямо из уравнения (29).

Второе из уравнений (42) определяет кратные корни уравнения (29), соответствующие критической точке:

$t=0.$

‎Это суть $\lambda _{1}$-кратные корни уравнения (29), как видно и прямо из уравнения (29).

Третье из уравнений (42):

$T(u)=0$

‎определяет кратные корни, соответствующие некоторой третьей критической точке.

Уравнение (29) только в следующих трех случаях будет иметь меньше трех критических точек:

1) когда $\lambda =1$, 2) когда $\lambda _{1}=1$, 3) когда степень многочлена $T(u)$ равна 0.

Из теоремы 1 мы знаем, что показатели $\lambda$ и $\lambda _{1}$ не меньше 2.

Следовательно, два первые из трех только что указанных случаев встретиться не могут.

Степень многочлена $T(u)$ равна $3\nu -6$. Это число ни при каком $\nu$, отличном от 2, не может равняться 0. Случай $\nu =2$ был рассмотрен нами в § 4, и мы видели, что в этом случае многочлен $T(u)$ равен:

$T(u)={\frac {u^{m}-1}{2}}.$

‎Степень его отлична от 0.

Итак, корни уравнения (29) имеют непременно 3 критические точки: 0, $\infty$ и еще одну нам неизвестную конечную критическую точку $t_{0}$.

Пользуясь тем, что постоянная $c$ в уравнении (29) осталась неопределенной, мы можем ее выбрать так, чтобы $t_{0}$ равнялось 1: если $a$ есть какой-нибудь корень уравнения

$T(u)=0,$

‎то для нашей цели достаточно положить:

$c={\frac {H^{\lambda _{1}}(a)}{f^{\lambda }(a)}}.$

(43)

‎Эта величина отлична от $\infty$ и 0, потому что функциональный определитель $T(u)$ не может иметь общего корня ни с $f(u)$, ни с $H(u)$.

Теорема доказана.

Во всем дальнейшем изложении мы будем предполагать, что $c$ имеет значение (43). Поэтому критическими точками корней уравнения (29) будут служить точки:

$t=0,\ 1,\ \infty .$

‎Пусть при $t=1$ уравнение (29) имеет $\lambda _{1}$-кратные корни.

Вычтя из обеих частей уравнения (29) по 1, получим:

${\frac {H^{\lambda _{1}}(u)-cf^{\lambda }(u)}{f^{\lambda }(u)}}=t-1.$

(44)

‎При $t=1$ оно обратится в:

$H^{\lambda _{1}}(u)-cf^{\lambda }(u)=0.$

(45)

‎Так как это уравнение должно иметь исключительно $\lambda _{1}$-кратные корни, то должно существовать такое тождество:

$H^{\lambda _{1}}(u)-cf^{\lambda }(u)=T_{1}^{\lambda _{1}}(u),$

(46)

‎где $T_{1}(u)$ — некоторый рациональный многочлен, не имеющий кратных корней.

Мы знаем, что все корни уравнения (29), соответствующие $t=1$, могут быть найдены из уравнения:

$T(u)=0$

‎и для этого уравнения они служат $\lambda _{1}-1$-кратными корнями. Следовательно:

$T_{1}^{\lambda _{1}}(u)=c_{1}T(u),$

(47)

‎где $c_{1}$ — некоторое постоянное число.

Обозначим степень многочлена $T_{1}(u)$ буквой $\nu _{2}$.

Докажем, что степень $\nu _{2}$ выше степени $\nu$ первичной функции $f(u)$.

Форма $T(\eta ',\ \eta '')$ есть функциональный определитель форм $f(\eta ',\ \eta '')$ и $H(\eta ',\ \eta '')$; следовательно она ковариант формы $f(\eta ',\ \eta '')$. Поэтому на основании теоремы 13 главы I она равна радикалу из рациональной функции $z$.

Если так, то из равенства (47) следует, что и $T_{1}(\eta ',\ \eta '')$ есть радикал из рациональной функции $z$.

Из теоремы 12 главы I мы знаем, что в таком случае форма $T_{1}(\eta ',\ \eta '')$ должна быть или первичной формой, или произведением нескольких первичных форм. Отсюда следует, что степень $\nu _{2}$ формы $T_{1}(\eta ',\ \eta '')$ выше степени $\nu$ первичной формы $f(\eta ',\ \eta '')$ наинисшей степени.

Итак, действительно

$\nu _{2}>\nu .$

‎Обратимся снова к уравнению (39). В нем, как мы теперь знаем, $\sigma =3$, а числа $m_{1},\ m_{2},\ m_{3}$ равны $\lambda ,\ \lambda _{1},\ \lambda _{2}$. Следовательно, уравнение (39) можно представить в таком виде:

${\frac {1}{\lambda }}+{\frac {1}{\lambda _{1}}}+{\frac {1}{\lambda _{2}}}-{\frac {2}{N}}=1.$

(48)

‎Из равенства (3) и из сравнения степеней обеих частей тождества (46) заключаем, что:

$N=\nu \lambda =\nu _{1}\lambda _{1}=\nu _{2}\lambda _{2}.$

(49)

‎Числа $N,\lambda ,\ \lambda _{1},\ \lambda _{2},\nu ,\ \nu _{1},\ \nu _{2}$ суть числа целые и положительные; числа $\lambda ,\ \lambda _{1},\ \lambda _{2}$ больше 1. Из чисел $\nu ,\ \nu _{1},\ \nu _{2}$ наименьшее есть $\nu$; число $\nu _{1}=2\nu -4$^[4]. Число $N$ на основании теоремы 2 не менее 4.

Отыщем все системы решений неопределенного уравнения (48), удовлетворяющие только что перечисленным условиям. Они суть следующие:

I. Для чисел $\lambda ,\ \lambda _{1},\ \lambda _{2}$ получаем значения $m$, 2, 2, где $m$ — произвольное целое число; $N=2m$. По формулам (49) для чисел $\nu ,\ \nu _{1},\ \nu _{2}$ получаем такие значения: 2, $m$, $m$. Наименьшему из этих чисел должно равняться $\nu$:

$\nu =2.$

‎Следовательно, в рассматриваемом случае:

$\nu =2,\ \nu _{1}=m,\ \nu _{2}=m,\ \lambda =m,\ \lambda _{1}=2,\ \lambda _{2}=2,\ N=2m.$

‎Это — особый случай, рассмотренный нами в § 4.

II. Для чисел $\lambda ,\ \lambda _{1},\ \lambda _{2}$ получаем значения: 3, 3, 2; $N=12$.

По формулам (49) для чисел $\nu ,\ \nu _{1},\ \nu _{2}$ получаем значения:

4, 4, 6.

‎Наименьшему из этих чисел должно равняться $\nu$:

$\nu =4;$

‎число $\nu _{1}$ равно $2\nu -4$:

$\nu _{1}=2\nu -4=4;$

‎число $\nu _{2}$ должно равняться оставшемуся числу 6:

$\nu _{2}=6.$

‎Отсюда:

$\lambda =3,\ \lambda _{1}=3,\ \lambda _{2}=2.$

‎III. Для чисел $\lambda ,\ \lambda _{1},\ \lambda _{2}$ получаем значения: 4, 3, 2; $N=24$.

По формулам (49) для чисел $\nu ,\ \nu _{1},\ \nu _{2}$ получаем значения: 6, 8, 12.

Наименьшему из этих чисел должно равняться $\nu$:

$\nu =6;$

‎число $\nu _{1}$ равно $2\nu -4$:

$\nu _{1}=2\nu -4=8;$

‎число $\nu _{2}$ должно равняться оставшемуся числу 12:

$\nu _{2}=12.$

‎Отсюда:

$\lambda =4,\ \lambda _{1}=3,\ \lambda _{2}=2.$

‎VI. Для чисел $\lambda ,\ \lambda _{1},\ \lambda _{2}$ получаем значения: 5, 3, 2; $N=60$.

По формулам (49) для чисел $\nu ,\ \nu _{1},\ \nu _{2}$ получаем значения: 12, 20, 30.

Наименьшему из этих чисел должно равняться $\nu$:

$\nu =12;$

‎число $\nu _{1}$ равно $2\nu -4$:

$\nu _{1}=2\nu -4=20;$

‎число $\nu _{2}$ должно равняться оставшемуся числу 30:

$\nu _{2}=30.$

‎Отсюда:

$\lambda =4,\ \lambda _{1}=3,\ \lambda _{2}=2.$

‎Итак, существует лишь четыре комбинации чисел $N,\nu ,\ \nu _{1},\ \nu _{2},\lambda ,\ \lambda _{1},\ \lambda _{2}$, удовлетворяющих всем требуемым условиям. Их мы можем расположить в следующую таблицу:

${\begin{array}{r|c|c|c|c|}\hline N=&2m&12&24&60\\\hline \nu =&2&4&6&12\\\hline \nu _{1}=&m&4&8&20\\\hline \nu _{2}=&m&6&12&30\\\hline \lambda =&m&3&4&5\\\hline \lambda _{1}=&2&3&3&3\\\hline \lambda _{2}=&2&2&2&2\\\hline \end{array}}$

(50)

Сообразно с этим существует и четыре типа алгебраических уравнений, имеющих группу линейных подстановок.

Обратим внимание на то, что $\lambda _{2}$ во всех четырех случаях равно 2, и подставим это значение $\lambda _{2}$ в тождества (47) и (46):

$T_{1}(u)=c_{1}T(u),$

(51)

$H^{\lambda _{1}}(u)-cf^{\lambda }(u)=c'T^{2}(u),$[5]

(52)

‎где $c'=c_{1}^{2}$ есть некоторое новая постоянная.

Уравнение (44) примет такой вид:

${\frac {c'T^{2}(u)}{cf^{\lambda }(u)}}=t-1.$

(53)

‎Итак, уравнение (29) тождественным образом может быть преобразовано в (53).

Соединяя эти две формы уравнения (29) вместе, мы представим уравнение (29) в следующем виде:

$H^{\lambda _{1}}(u):c'T^{\lambda _{2}}(u):cf^{\lambda }(u)=t:t-1:1.$[6]

(54)

‎Последние результаты, полученные нами в настоящем параграфе, можно формулировать в виде следующих двух теорем:

Теорема 9. Между функциями $f(u),\ H(u),\ T(u)$ существует тождественное соотношение вида:

$H^{\lambda _{1}}(u)-cf^{\lambda }(u)=c'T^{2}(u).$

(52)

‎Теорема 10. Существует не более четырех типов алгебраических уравнений, имеющих группу линейных подстановок. Все эти уравнения приводятся к виду:

$H^{\lambda _{1}}(u):c'T^{\lambda _{2}}(u):cf^{\lambda }(u)=t:t-1:1,$

(54)

‎причем степень $N$ этого уравнения, степени $\nu ,\ \nu _{1},\ \nu _{2}$ функций $f(u),\ H(u),\ T(u)$ и показатели $\lambda ,\ \lambda _{1},\ \lambda _{2}$ могут иметь только те значения, которые приведены в таблице (50).

§ 6. Дифференциальное уравнение 3-го порядка, которому удовлетворяют корни алгебраического уравнения изучаемого класса.

Мы знаем, что корни уравнения (54) удовлетворяют дифференциальному уравнению:

$[u]_{t}=-2p.$

(30)

‎Займемся определением функции $p$.

Рассмотрим, каково разложение функции $[u]_{t}$ в области:

1) обыкновенной точки функции $u$,

2) полюса функции $u$,

3) критических точек: $0,\ 1,\ \infty$ функции $u$.

I. Пусть точка $t=t_{1}$ есть обыкновенная точка функции $u$.

В области точки $t_{1}$ функция $u$ голоморфна и может быть разложена в ряд вида:

$u-(u)_{t=t_{1}}=a(t-t_{1})+b(t-t_{1})^{2}+c(t-t_{1})^{2}+\ldots$

(55)

‎Коэффициент $a$ в ряде (55) отличен от 0, потому что в противном случае $t$ не было бы однозначной функцией $u$, как того требует уравнение (54). Подставив ряд (55) в выражение $[u]_{t}$, мы убеждаемся в том, что в области точки $t_{1}$ функция $[u]_{t}$ голоморфна.

II. Пусть $t=t_{2}$ есть полюс функции $u$.

В области точки $t_{2}$ функция

$v={\frac {1}{u}}$

‎голоморфна и может быть разложена в ряд вида (55). Функция $[v]_{t}$ в области точки $t_{2}$ голоморфна. Но вследствие линейной зависимости между $u$ и $v$ должно существовать равенство:

$[u]_{t}=[v]_{t}.$

‎Следовательно функция $[u]_{t}$ в области точки $t_{2}$ голоморфна.

ІІІ. Пусть в точке $t=0$ функция $u$ конечна. Тогда в области точки 0 она разложится в ряд вида:

$u-u_{0}=a_{0}t^{\frac {1}{\lambda _{1}}}+b_{0}t^{\frac {1}{\lambda _{1}}}+c_{0}t^{\frac {1}{\lambda _{1}}}+\ldots$

(56)

‎где $a_{0}$ отлично от 0 по той же причине, по какой в формуле (55) коэффициент $a$ отличен от 0.

Подставив ряд (56) в выражение $[u]_{t}$, находим, что в области точки $t=0$ имеет место разложение:

$[u]_{t}={\frac {1-{\dfrac {1}{\lambda _{1}^{2}}}}{2t^{2}}}+{\frac {A}{t}}+W_{0}(t),$

(57)

‎где $W_{0}(t)$ есть функция, голоморфная в области точки $t=0$.

Если в точке $t=0$ функция $u$ обратится в $\infty$, то функция:

$v={\frac {1}{u}}$

‎будет конечна и разложится в ряд вида (56); функция $[v]_{t}$ разложится в ряд вида (57). Но вследствие линейной зависимости между $u$ и $v$ имеет место равенство:

$[u]_{t}=[v]_{t}.$

‎Следовательно формула (57) справедлива и в том случае, когда в точке $t=0$ функция $u$ обращается в $\infty$.

Повторяя те же рассуждения, убедимся в том, что в области точки $t=1$ имеет место разложение:

$[u]_{t}={\frac {1-{\dfrac {1}{\lambda _{2}^{2}}}}{2(t-1)^{2}}}+{\frac {B}{t-1}}+W_{1}(t),$

(58)

‎где $W_{1}(t)$ — функция, голоморфная в области точки $t=1$.

Чтобы найти разложение функции $[u]_{t}$ в области точки $t=\infty$, совершим прежде изменение переменного, положив:

$v={\frac {1}{\tau }}.$

‎Тогда:

$[u]_{t}=\tau ^{4}[u]_{\tau }.$

(59)

‎Уравнение (54) примет вид:

${\frac {cf^{\lambda }(u)}{H^{\lambda _{1}}(u)}}=\tau .$

(60)

‎Рассуждениями, подобными приведенными выше, мы найдем, что в области точки $\tau =0$ имеет место разложение:

$[u]_{\tau }={\frac {1-{\dfrac {1}{\lambda ^{2}}}}{2\tau ^{2}}}+{\frac {C}{\tau }}+W_{\infty }(\tau ),$

(61)

‎где $W_{\infty }(\tau )$ — функция, голоморфная в области точки $\tau =0$. Из равенств (59) и (61) следует, что в области точки $t=\infty$ имеет место разложение:

$[u]_{\tau }={\frac {1-{\dfrac {1}{\lambda ^{2}}}}{2t^{2}}}+{\frac {C}{t^{3}}}+{\frac {1}{t^{4}}}W_{\infty }\left({\frac {1}{t}}\right).$

(62)

‎Рассмотрим выражение:

$[u]_{t}-\left\{{\frac {1-{\dfrac {1}{\lambda _{1}^{2}}}}{2t^{2}}}+{\frac {1-{\dfrac {1}{\lambda _{2}^{2}}}}{2(t-1)^{2}}}+{\frac {A}{t}}+{\frac {B}{t-1}}\right\}.$

(63)

‎Из сказанного выше следует, что если $u$ есть корень уравнения (54), то выражение (63) есть алгебраическая функция, которая на всей плоскости конечна, однозначна и непрерывна, а в бесконечности обращается в нуль.

Из теории функций комплексного переменного известно, что такая функция на всей плоскости равна 0:

$[u]_{t}={\frac {1-{\dfrac {1}{\lambda _{1}^{2}}}}{2t^{2}}}+{\frac {1-{\dfrac {1}{\lambda _{2}^{2}}}}{2(t-1)^{2}}}+{\frac {A}{t}}+{\frac {B}{t-1}}.$

(64)

‎Для определения $A$ и $B$ разложим вторую часть равенства (64) в ряд по убывающим степеням $t$ (в области бесконечно удаленной точки) и сравним полученное разложение с разложением (62). Таким образом находим:

$A+B=0,\ B+{\frac {1-{\dfrac {1}{\lambda _{1}^{2}}}}{2}}+{\frac {1-{\dfrac {1}{\lambda _{2}^{2}}}}{2}}={\frac {1-{\dfrac {1}{\lambda ^{2}}}}{2}}.$

(65)

‎Определив из этих уравнений $A$ и $B$ и подставив их в равенство (64), находим:

$[u]_{t}={\frac {1-{\dfrac {1}{\lambda _{1}^{2}}}}{2t^{2}}}+{\frac {1-{\dfrac {1}{\lambda _{2}^{2}}}}{2(t-1)^{2}}}+{\frac {{\dfrac {1}{\lambda _{1}^{2}}}+{\dfrac {1}{\lambda _{2}^{2}}}-{\dfrac {1}{\lambda ^{2}}}-1}{2t(t-1)}}.$

(66)

‎Таков окончательный вид уравнения (30). Вторая часть уравнения (66) есть искомое выражение функции $-2p$.

Теорема 11. Всякий интеграл дифференциального уравнения (66) и всякий корень алгебраического уравнения (54) можно представить в виде отношения двух частных интегралов гипергеометрического уравнения:

$t(1-t){\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+{\big \{}\gamma -(\alpha +\beta +1)t{\big \}}{\frac {dy}{dt}}-\alpha \beta y=0.$

(67)

‎Положим временно:

$p_{1}={\frac {\gamma -(\alpha +\beta +1)t}{t(1-t)}},\ p_{1}={\frac {\alpha \beta }{t(1-t)}}.$

(68)

‎На основании теоремы 4 отношение

$u={\frac {y'}{y''}}$

‎двух линейно независимых частных интегралов всякого линейного дифференциального уравнения 2-го порядка вида:

${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+p_{1}{\frac {dy}{dt}}+p_{2}y=0$

‎есть интеграл дифференциального уравнения:

$[u]_{t}=2p_{2}-{\frac {dp_{1}}{dt}}-{\frac {1}{2}}p_{1}^{2}.$

‎Применяя этот результат к гипергеометрическому уравнению (67), мы найдем, что отношение всяких двух линейно независимых частных интегралов его удовлетворяет уравнению:

${\begin{matrix}[u]_{t}={\dfrac {1-(1-\gamma )^{2}}{2t^{2}}}+{\dfrac {1-(\gamma -\alpha -\beta )^{2}}{2(t-1)^{2}}}\,+\\+\,{\dfrac {(1-\gamma )^{2}+(\gamma -\alpha -\beta )^{2}-(\alpha -\beta )^{2}-1}{2t(t-1)}}.\end{matrix}}$

(69)

‎Сравнивая это уравнение с уравнением (66), находим, что оно станет с ним тождественным, если:

$1-\gamma ={\frac {1}{\lambda _{1}}},\ \gamma -\alpha -\beta ={\frac {1}{\lambda _{2}}},\ \alpha -\beta ={\frac {1}{\lambda }},$

(70)

‎откуда:

$\left.{\begin{array}{l}\alpha ={\dfrac {1}{2}}\left(1-{\dfrac {1}{\lambda _{1}}}-{\dfrac {1}{\lambda _{2}}}+{\dfrac {1}{\lambda }}\right),\\\beta ={\dfrac {1}{2}}\left(1-{\dfrac {1}{\lambda _{1}}}-{\dfrac {1}{\lambda _{2}}}-{\dfrac {1}{\lambda }}\right),\\\gamma =1-{\dfrac {1}{\lambda _{1}}}.\end{array}}\right\}$

(71)

‎Мы видим, что если параметры $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma$ гипергеометрического уравнения определены из таблицы (71), то отношение двух линейно независимых интегралов его

$u={\frac {y'}{y''}}$

‎удовлетворяет дифференциальному уравнению (66).

На основании теоремы 6 мы вправе сказать, что всякий интеграл уравнения (66) можно представить в виде отношения двух частных интегралов гипергеометрического уравнения (67).

Так как корни уравнения (54) суть частные интегралы уравнения (66), то мы заключаем, что всякий корень уравнения (54) можно представить в виде отношения двух частных интегралов уравнения гипергеометрического.

Теорема доказана.

Ближайшее следствие из этой теоремы то, что уравнение (54) разрешимо в гипергеометрических функциях.

Обращаясь к таблицам (71) и (50), мы находим числовые значения параметров $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma$ гипергеометрических уравнений, соответствующих каждому из четырех найденных нами типов алгебраических уравнений, имеющих группу линейных подстановок:

${\begin{array}{r|c|c|c|c|}\hline N=&2m&12&24&60\\\hline \alpha =&{\dfrac {1}{2m}}&{\dfrac {1}{4}}&{\dfrac {5}{24}}&{\dfrac {11}{60}}\\\hline \beta =&-{\dfrac {1}{2m}}&-{\dfrac {1}{12}}&-{\dfrac {1}{24}}&-{\dfrac {1}{60}}\\\hline \gamma =&{\dfrac {1}{2}}&{\dfrac {2}{3}}&{\dfrac {2}{3}}&{\dfrac {2}{3}}\\\hline \end{array}}$

(72)

‎Перейдем снова от переменной $t$ к переменной $z$. Мы положили:

$R(z)=ct,$

(28)

‎где $c$ есть постоянное число, определяемое формулой (43).

Совершая изменение переменной, мы находим, что уравнение (54) примет вид:

$H^{\lambda _{1}}(u):c'T^{\lambda _{2}}(u):cf^{\lambda }(u)={\frac {1}{c}}R(z):{\frac {1}{c}}R(z)-1:1.$

(73)

‎Это самый общий вид уравнения, имеющего группу линейных подстановок.

После весьма простых вычислений, из равенства (28) мы найдем, что

$[u]_{z}=[R(z)]_{z}+{\frac {1}{c^{2}}}\left({\frac {dR(z)}{dz}}\right)^{2}[u]_{t}.$

(74)

‎Подставим в это равенство вместо $[u]_{t}$ ее выражение (66), заменив предварительно в формуле (66) переменную $t$ функцией ${\frac {1}{c}}R(z)$:

${\begin{matrix}[u]_{z}=[R(z)]_{z}+{\dfrac {1}{c^{2}}}\left({\dfrac {dR(z)}{dz}}\right)^{2}\left\{{\dfrac {1-{\dfrac {1}{\lambda _{1}^{2}}}}{{\dfrac {2}{c^{2}}}R^{2}(z)}}+{\dfrac {1-{\dfrac {1}{\lambda _{2}^{2}}}}{2\left({\dfrac {1}{c}}R(z)-1\right)^{2}}}\,+\right.\\\left.+\,{\dfrac {{\dfrac {1}{\lambda _{1}^{2}}}+{\dfrac {1}{\lambda _{2}^{2}}}-{\dfrac {1}{\lambda ^{2}}}-1}{{\dfrac {2}{c}}R(z)\left({\dfrac {1}{c}}R(z)-1\right)}}\right\}.\end{matrix}}$

(75)

‎Таково то дифференциальное уравнение, которому удовлетворяют корни алгебраического уравнения (73).

Вторая часть уравнения (75) есть окончательное выражение функции $-2P$, входящей в уравнение (19).

На основании теоремы 6 всякий интеграл дифференциального уравнения (75), а следовательно и всякий корень алгебраического уравнения (73) можно представить в виде отношения частных интегралов линейного дифференциального уравнения 2-го порядка.

Но для нас гораздо важнее то свойство уравнения (73), что оно преобразованием переменной $z$:

$R(z)=ct$

(28)

‎приводится к уравнению (54), разрешимому в гипергеометрических функциях.

Этот последний результат настоящего параграфа мы можем формулировать в виде следующей теоремы:

Теорема 12. Всякое (не двучленное) алгебраическое уравнение, имеющее группу линейных подстановок, разрешимо в гипергеометрических фуркциях.

§ 7. Двучленное уравнение.

Двучленным уравнением мы будем называть не только уравнение

$u^{N}=R(z),$

(76)

‎но и всякое уравнение, приводимое к уравнению (76) линейным преобразованием:

$u={\frac {\alpha u'+\beta }{\gamma u'+\delta }},$

‎т. е. уравнения вида:

$\left({\frac {\alpha u'+\beta }{\gamma u'+\delta }}\right)^{N}=R(z).$

(77)

‎Двучленное уравнение мы до сих пор устраняли во всех наших рассуждениях, потому что оно не принадлежит ни к одному из рассмотренных нами двух классов. Но по своим свойствам оно довольно похоже на уравнения второго из рассмотренных классов, и об этом мы скажем теперь несколько слов.

1) Двучленное уравнение имеет группу линейных подстановок. Группа эта циклическая: она состоит из степеней одной и той же подстановки:

$S^{0}=1,\ S,\ S^{2},\ \ldots ,\ S^{N-1}.$

(78)

‎В самом деле, для уравнения (76) подстановка $S$ такова:

$S(u)=\varepsilon u,$ ‎где $\varepsilon =e^{\frac {2\pi i}{N}}.$

(79)

Для уравнения же (77) она представляется в таком виде:

$S(u')={\frac {(\alpha \delta \varepsilon -\beta \gamma )u'+(\varepsilon -1)\beta \delta }{(\varepsilon -1)\alpha \gamma u'+\alpha \delta -\beta \gamma \varepsilon }}.$

(80)

‎2) Корни двучленного уравнения удовлетворяют дифференциальному уравнению 3-го порядка:

$[u]_{z}=[R(z)]_{z}+\left({\frac {dR(z)}{dz}}\right)^{2}\left\{{\frac {1-{\dfrac {1}{N^{2}}}}{2R^{2}(z)}}\right\}.$

(81)

‎В самом деле, положив:

$R(z)=t,$

(82)

‎мы легко убеждаемся в том, что корни уравнения

$u^{N}=t$

(83)

‎удовлетворяют дифференциальному уравнению:

$[u]_{t}={\frac {1-{\dfrac {1}{N^{2}}}}{2t^{2}}}.$

(84)

‎Введя в это уравнение независимую переменную $z$, находим:

$[u]_{z}=[R(z)]_{z}+\left({\frac {dR(z)}{dz}}\right)^{2}\left\{{\frac {1-{\dfrac {1}{N^{2}}}}{2R^{2}(z)}}\right\}.$

(85)

‎Корни уравнения (77) удовлетворяют также дифференциальному уравнению (85), потому что дифференциальное выражение

$[u]_{z}$

‎не меняется от линейных подстановок.

Уравнения (84) и (85) имеют аналогию с уравнениями (66) и (75).

---

Сноски

1. Как мы уже говорили выше, мы будем называть линейной подстановкой преобразование такого вида: ${\bar {u}}={\frac {\alpha u+\beta }{\gamma u+\delta }}.$
   Линейные подстановки мы будем обозначать символами $S,\ {\mathfrak {T}},\ U,\ \ldots ,$
   напр.: $S(u)={\frac {\alpha u+\beta }{\gamma u+\delta }}.$
   ‎Если над количеством $u$ совершается подстановка $S$ и затем над полученным результатом совершается подстановка ${\mathfrak {T}}$, то мы будем обозначать это формулой: ${\mathfrak {T}}S(u)$
   и называть подстановку ${\mathfrak {T}}S$ произведением подстановок $S$ и ${\mathfrak {T}}$.
   ‎Подстановку вида: $SSS\ldots S(u)$
   мы будем обозначать сокращенно так: $S^{m}(u)$
   и называть символ $S^{m}$ степенью подстановки $S$.
   ‎Если: $S^{m}(u)=u,$
   то мы будем сокращенно выражать это так: $S^{m}=1.$
   Наинисшую степень $m$, удовлетворяющую этому условию мы будем называть порядком подстановки $S$. Если две подстановки $S$ и $S'$ таковы, что $SS'(u)=u,$
   т. е. $SS'=1,$
   то мы будем называть подстановку $S'$ обратной подстановке $S$ и обозначать ее через $S^{-1}$. Ясно, что подстановка, обратная подстановке $S^{\alpha }$, есть $(S^{-1})^{\alpha }$ или, короче, $S^{-\alpha }$.
   ‎Мы уже говорили выше, чт҅о мы называем группой линейных подстановок и порядком группы.
   ‎Ясно, что если в группу входит подстановка $S$, то в нее войдут и все степени этой подстановки: $S,\ S^{2},\ S^{3},\ \ldots ,\ S^{m-1},\ S^{m}=1.$
   ‎Подстановка единица: $1\cdot u=u$
   входит во всякую группу.
   ‎Новое понятие о группах подстановок взошло уже в курсы алгебры (см. Serret Cours d’algèbre supérieure изд. 4, т. II, стр. 356).
   ‎Свойства групп линейных подстановок совершенно аналогичны со свойствами тех субституций, которые обыкновенно рассматриваются в алгебре.
   ‎Говоря: уравнение имеет группу линейных подстановок, мы этими словами будем сокращенно выражать ту особенность уравнения, что
   1) все корни его связаны между собой линейными подстановками и
   2) что эти линейные подстановки образуют группу.
2. Первая часть доказываемой теоремы справедлива не только для дифференциального уравнения (1), имеющего алгебраические интегралы, но и вообще для всякого линейного дифференциального уравнения 2-го порядка.
3. Сравн. формулу (22) главы I.
4. За исключением того случая, когда $\nu$ равно 1. При $\nu =2$ имеет место особый случай, рассмотренный в § 4.
5. С подобными тождествами часто приходится встречаться в теории форм: квадрат нечетного (gauche, ungerade) коварианта выражается рационально через четные (droit, gerade) коварианты.
6. К подобной форме Клейн постоянно приводит изучаемые им уравнения.