Алгебраические уравнения, разрешимые в гипергеометрических функциях (Лахтин)/Глава III

Алгебраические уравнения, разрешимые в гипергеометрических функциях — Глава III. О функциях Шварца
автор Л. К. Лахтин

§ 8. Линейное преобразование на плоскости комплексной переменной  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

690

§ 9. Некоторые теоремы теории гипергеометрических функций  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

701

§ 10. Основные свойства функций Шварца  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

703

§ 11. Свойства сети треугольников  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

717

§ 12. Построение четырех типов сети треугольников, у которых сумма внутренних углов больше $\pi$  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

724

---

Глава III.

О функциях Шварца.

Мы изучили в прошлой главе важнейшие свойства алгебраических уравнений, корнями которых служат отношения частных интегралов гипергеометрического уравнения.

Отношения частных интегралов гипергеометрического уравнения представляют собой функции весьма замечательные по своим свойствам.

Функции эти впервые были изучены Шварцем и получили поэтому название функций Шварца.

Теория функций Шварца находится в тесной связи с теорией групп линейных подстановок.

В настоящей главе мы займемся рассмотрением главнейших свойств функций Шварца. Но прежде, чем приступить к этой задаче, остановимся несколько на свойствах линейного преобразования на плоскости комплексной переменной, а затем приведем те теоремы теории гипергеометрических функций, которыми нам придется пользоваться.

§ 8. Линейное преобразование на плоскости комплексной переменной.

Припомним некоторые определения и теоремы, известные из теории функций комплексной переменной.

Пусть даны два комплексных количества:

$z=x+iy,\ z'=x'+iy'.$

По определению Коши мы назовем $z'$ функцией $z$, если $x'$ и $y'$ суть функции $x$ и $y$. Величина $z'$ представится в таком виде:

$z'=f(x,\;y).$

‎Это самое широкое определение функции комплексной переменной.

Моногенными функциями Коши назвал те функции, которые удовлетворяют условию:

${\frac {\partial f(x,\;y)}{\partial x}}+i{\frac {\partial f(x,\;y)}{\partial y}}.$

‎Моногенные функции могут быть представлены в таком виде:

$z'=F(z),$

‎где $F$ есть знак алгебраических или трансцендентных операций, совершаемых над величиной

$z=x+iy.$

‎Пусть $z'$ есть моногенная функция. Пусть точка $z$ описывает некоторую кривую $C$, не проходящую 1) через точки, в которых производная ${\frac {dz'}{dz}}$ обращается в 0 или $\infty$, 2) через критические точки функции $z'$; тогда точка $z'$ тоже опишет некоторую кривую $C'$, в бесконечно малых частях подобную кривой $C$.

Такая кривая $C'$ называется подобным отображением кривой $C$. Если кривая $C$ проходит через критические точки функции $z'$ или через такие точки, где производная ${\frac {dz'}{dz}}$ обращается в 0 или $\infty$, то в соответствующих точках кривой $C'$ может наступить нарушение подобия; но мы условимся во всяком случае называть кривую $C'$ подобным отображением кривой $C$.

Если кривые $C$ и $C'$ сомкнуты, то мы условимся называть площадь $S'$, ограничиваемую кривой $C'$, подобным отображением площади $S$, ограничиваемой кривой $C$.

Способность давать подобные отображения присуща исключительно моногенным функциям. Если мы убедимся в том, что некоторая функция $z'$ переменной $z$ всякую кривую $C$ преобразует в кривую $C'$, подобную ей в бесконечно малых частях, то мы вправе сказать, что $z'$ есть мопогенная функция $z$.

Построим сферу радиуса 1 с центром в начале координат.

Сечение этой сферы плоскостью переменной $z$ назовем экватором сферы. Полюс сферы, лежащий над плоскостью переменной $z$, назовем северным полюсом, а противоположный полюс — южным.

Станем проектировать стереографически из южного полюса точки плоскости на сферу. Обозначим проекцию точки $z$ на сферу буквой $Z$. Точка $Z$ есть изображение количества

$z=x+iy$

‎на сфере.

Часть плоскости, лежащую кверху от действительной оси, будем называть верхнею полуплоскостью, а соответствующую ей половину сферы — верхней полусферой. Остальную половину плоскости будем называть нижней полуплоскостью, а соответствующую ей полусферу — нижней полусферой.

Говоря об обходах на плоскости, мы постоянно будем иметь в виду в то же время и соответствующие им обходы на сфере.

Отнесем сферу к прямоугольным осям координат.

Пусть две оси совпадают с осями $x$ и $y$ плоскости $z$; тогда третья ось пройдет через полюсы сферы, ее мы назовем осью сферы.

Обозначим координаты точек сферы буквами $\xi ,\ \eta ,\ \zeta$. Уравнение сферы будет таково:

$\xi ^{2}+\eta ^{2}+\zeta ^{2}=1.$

(1)

‎Не трудно убедиться в том, что координаты $x,\ y$ точки $z$ плоскости связаны с координатами $\xi ,\ \eta ,\ \zeta$ соответствующей ей точки $Z$ сферы такими соотношениями:

$x={\frac {\xi }{1+\zeta }},\ y={\frac {\eta }{1+\zeta }},$

(2)

‎откуда:

$z={\frac {\xi +i\eta }{1+\zeta }};$

(3)

‎координаты же $\xi ,\ \eta ,\ \zeta$ точки $Z$ выражаются через координаты $x$ и $y$ точки $z$ таким образом:

$\xi ={\frac {2x}{1+x^{2}+y^{2}}},\ \eta ={\frac {2y}{1+x^{2}+y^{2}}},\ \zeta ={\frac {1-x^{2}-y^{2}}{1+x^{2}+y^{2}}}.$

(4)

‎Возьмем линейную подстановку:

${\bar {z}}={\frac {\alpha z+\beta }{\gamma z+\delta }},$

(5)

‎где коэффициенты $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma ,\ \delta$ суть постоянные числа: действительные или мнимые.

Подстановка (5) преобразует каждую точку плоскости $z$ в некоторую другую точку ${\bar {z}}$ той же плоскости.

Преобразование это однозначное: каждой данной точке соответствует определенная одна преобразованная, и обратно.

Одновременно с таким преобразованием точек плоскости мы будем представлять себе и соответствующее преобразование точек сферы.

Каково бы то ни было значение коэффициентов $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma ,\ \delta$, всегда существует на плоскости переменной $z$ пара таких точек, которые подстановкой (5) преобразуются сами в себя. Эти точки суть корни уравнения:

$z={\frac {\alpha z+\beta }{\gamma z+\delta }},$

(6)

‎или:

$\gamma z^{2}+(\delta -\alpha )z-\beta =0.$

(7)

Если корни уравнения (7) равны, то указанные две точки совпадают.

Станем различать два случая:

1) корни уравнения (7) различны между собой;

2) корни уравнения (7) одинаковы.

Начнем с первого случая.

I. Пусть корни уравнения (7) различны между собой и соответственно равны:

$z_{1}$ и $z_{2}.$

‎Так как точки эти подстановкой (5) преобразуются сами в себя, то ясно, что подстановку (5) можно представить в таком виде:

${\frac {{\bar {z}}-z_{1}}{{\bar {z}}-z_{2}}}=k{\frac {z-z_{1}}{z-z_{2}}},$

(8)

‎где $k$ есть некоторое постоянное число. Так как оно, вообще говоря, комплексное, то мы его представим в нормальной форме:

$k=\rho e^{\theta i}.$

(9)

‎Тогда подстановка (8) примет такой вид:

${\frac {{\bar {z}}-z_{1}}{{\bar {z}}-z_{2}}}=\rho e^{\theta i}{\frac {z-z_{1}}{z-z_{2}}},$

(10)

‎Будем называть подстановку (10) эллиптической, если $\rho =1$, гиперболической, если $\theta =0$ и локсодромической^[1], если $\rho$ отлично от 1, а $\theta$ отлично от 0.

II. Пусть корни уравнения (7) одинаковы и равны $z_{0}$.

Тогда подстановка (5) примет вид:

${\frac {1}{{\bar {z}}-z_{0}}}={\frac {1}{z-z_{0}}}+A,$

(11)

‎где $A$ есть некоторое постоянное число

Такую подстановку мы назовем параболической.

Посмотрим, каков порядок линейной подстановки (5) в каждом из указанных четырех случаев.

Начнем снова с первых трех случаев.

Пусть подстановка (5) приведена к виду:

${\frac {{\bar {z}}-z_{1}}{{\bar {z}}-z_{2}}}=\rho e^{\theta i}{\frac {z-z_{1}}{z-z_{2}}}.$

(10)

‎Введем такие обозначения:

$S(z)={\frac {\alpha z+\beta }{\gamma z+\delta }},$

(12)

${\mathfrak {T}}(z)=\rho e^{\theta i}z,$

(13)

$U(z)={\frac {z-z_{1}}{z-z_{2}}}.$

(14)

‎Равенства (5) и (10) примут вид:

${\bar {z}}=S(z),$

(15)

$U({\bar {z}})={\mathfrak {T}}U(z).$

(16)

‎Обозначая подстановку, обратную $U(z)$, через $U^{-1}(z)$, мы находим из равенства (16):

${\bar {z}}=U^{-1}{\mathfrak {T}}U(z).$

(17)

‎Из равенств (15) и (17) следует:

$S(z)=U^{-1}{\mathfrak {T}}U(z),$

(18)

‎откуда:

$S=U^{-1}{\mathfrak {T}}U.$

(19)

‎Степень $n$ подстановки $S$ выразится так:

$S^{n}=U^{-1}{\mathfrak {T}}^{n}U.$

(20)

‎Если $m$ есть порядок подстановки $S$, то должно иметь место символическое равенство:

$S^{m}=U^{-1}{\mathfrak {T}}^{m}U=1.$

(21)

‎Из этого равенства следует, что:

${\mathfrak {T}}^{m}=1.$

(22)

‎Следовательно порядок подстановки $S$ таков же, как и подстановки ${\mathfrak {T}}$. Это и следовало ожидать, потому что подстановки $S$ и ${\mathfrak {T}}$ подобны^[2] между собой.

Подстановка ${\mathfrak {T}}^{m}(z)$ такова:

${\mathfrak {T}}^{m}(z)=\rho ^{m}e^{m\theta i}z.$

(23)

‎Если

${\mathfrak {T}}^{m}=1,$

(22)

‎то:

${\mathfrak {T}}^{m}=1,$

(22')

‎или:

$\rho ^{m}e^{m\theta i}z=z,$

(24)

‎откуда:

$\rho =1,\ m\theta =2h\pi ,$

(25)

‎где $h$ — целое число.

Следовательно подстановки гиперболические и локсодромические никогда не могут быть конечного порядка. Подстановки же эллиптические только тогда будут конечного порядка, когда они приводятся к виду:

${\frac {{\bar {z}}-z_{1}}{{\bar {z}}-z_{2}}}=\rho e^{\frac {2h\pi i}{m}}{\frac {z-z_{1}}{z-z_{2}}},$

(26)

‎где $m$ и $h$ — взаимно простые целые числа.

Порядок подстановки (26) равен $m$.

В частном случае, когда

$z_{2}=\infty ,\ z_{1}=0.$

‎подстановка (26) примет такой вид:

${\bar {z}}=e^{\frac {2h\pi i}{m}}z.$

(27)

‎Это — эллиптическая подстановка в нормальном виде.

Для параболической подстановки мы можем повторить почти дословно те же рассуждения.

Положив:

$S(z)={\frac {\alpha z+\beta }{\gamma z+\delta }},$

(12)

${\mathfrak {T}}(z)=z+A,$

(28)

$U(z)={\frac {1}{z-z_{0}}},$

(29)

‎и приняв во внимание равенства (5) и (11), мы приведем параболическую подстановку $S(z)$ к такому виду:

$S(z)=U^{-1}{\mathfrak {T}}U(z),$

(30)

‎откуда:

$S=U^{-1}{\mathfrak {T}}U;$

(31)

‎далее:

$S^{n}=U^{-1}{\mathfrak {T}}^{n}U.$

(32)

‎Условие:

$S^{m}=1$

(33)

‎приводит к такому условию:

${\mathfrak {T}}^{m}=1.$

(34)

‎Так как:

${\mathfrak {T}}(z)^{m}=z+mA,$

(35)

‎то из равенства (34) следует:

$z+mA=z.$

(36)

Это равенство показывает, что порядок параболической линейной подстановки не может быть числом конечным.

Так как в последующем нам придется иметь дело с конечными группами линейных подстановок, то все подстановки, входящие в состав этих групп, должны быть конечного порядка. Все эти подстановки будут эллиптические вида (26).

Вернемся к геометрическим представлениям на сфере.

Повернем сферу около некоторой оси, проходящей через ее центр, на некоторый угол $\theta$.

Такому повороту сферы соответствует некоторое преобразование ее точек: каждой данной точке $Z$ сферы соответствует некоторая преобразованная точка ${\bar {Z}}$, и обратно.

Одновременно с точками сферы и точки плоскости тоже преобразуются: каждой данной точке $z$ плоскости соответствует единственная преобразованная точка ${\bar {z}}$, и обратно.

Ясно, что ${\bar {z}}$ есть функция $z$. Докажем, что она будет моногенная функция $z$.

Пусть точка $z$ опишет некоторую произвольную кривую $c$ на плоскости. Точка $Z$ в то же время опишет на сфере некоторую кривую $C$, подобную в бесконечно малых частях кривой $c$: действительно, кривая $c$ есть стереографическая проекция кривой $C$, а в стереографической проекции подобие бесконечно малых частей сохраняется. В то же самое время точка ${\bar {Z}}$ опишет кривую ${\bar {C}}$, разнящуюся от $C$ лишь положением на сфере: кривая $C$ повернулась вместе со сферою и заняла новое положение ${\bar {C}}$. Ясно, что ${\bar {C}}$ не только подобна, но и равна C. Наконец, точка ${\bar {z}}$ опишет кривую ${\bar {c}}$, служащую стереографической проекцией кривой ${\bar {C}}$ и, следовательно, подобную кривой ${\bar {C}}$.

Если так, то кривые ${\bar {c}}$ и $c$ подобны между собой в бесконечно малых частях. Поэтому ${\bar {z}}$ есть моногенная функция $z$:

${\bar {z}}=F(z).$

Не трудно усмотреть, какова эта функция.

Мы видели, что каждой точке $z$ соответствует единственная точка ${\bar {z}}$, и обратно: каждой точке ${\bar {z}}$ соответствует единственная точка $z$. Это значит, что функция $F(z)$ линейная:

${\bar {z}}={\frac {\alpha z+\beta }{\gamma z+\delta }}.$

(5)

‎Следовательно, каждому повороту сферы около оси, проходящей через ее центр, соответствует линейное преобразование плоскости.

Если угол поворота сферы равен

${\frac {2h\pi }{m}},$

‎где $h$ и $m$ — взаимно простые целые числа, то соответствующая ему подстановка (5) должна быть $m$-го порядка, потому что после $m$ таких поворотов сфера впервые приходить в свое первоначальное положение. Отсюда следует, что линейная подстановка, соответствующая повороту сферы, — эллиптическая.

Она должна приводиться к виду:

${\frac {{\bar {z}}-z_{1}}{{\bar {z}}-z_{2}}}=e^{\theta i}{\frac {z-z_{1}}{z-z_{2}}}.$

(37)

‎Ясно, что $z_{1}$ и $z_{2}$ суть точки плоскости, соответствующие полюсам $Z_{1}$ и $Z_{2}$ той оси, около которой была повернута сфера.

Пусть координаты точки $Z_{1}$ таковы:

$\xi _{1},\ \eta _{1},\ \zeta _{1}.$

‎Тогда координаты точки $Z_{2}$ будут:

$-\xi _{1},\ -\eta _{1},\ -\zeta _{1}.$

‎Величины $z_{1}$ и $z_{2}$ выразятся так:

$z_{1}={\frac {\xi _{1}+i\eta _{1}}{\zeta _{1}+1}},\ z_{2}={\frac {\xi _{1}+i\eta _{1}}{\zeta _{1}-1}}.$

(38)

Угол $\theta$, входящий в формулу (37), как не трудно видеть, равен углу, на который повернута сфера.

Введем такие обозначения:

$\xi _{1}\sin {\frac {\theta }{2}}=a,\ \eta _{1}\sin {\frac {\theta }{2}}=b,\ \zeta _{1}\sin {\frac {\theta }{2}}=c,\ \cos {\frac {\theta }{2}}=d.$

(39)

‎Из уравнения сферы:

$\xi ^{2}+\eta ^{2}+\zeta ^{2}=1$

(1)

‎следует, что:

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=1.$

(40)

‎Подставим выражения (38) величин $z_{1},\ z_{2}$ в уравнение (37) и решим это уравнение относительно ${\bar {z}}$, принимая при этом во внимание равенства (39) и (40). В результате получим:

${\bar {z}}=-{\frac {(d+ic)z+(b-ia)}{(b+ia)z-(d-ic)}}.$

(41)

‎Формула (41) есть выражение эллиптической линейной подстановки, соответствующей повороту сферы на угол $\theta$ около оси, имеющей полюсами:

$\xi _{1},\ \eta _{1},\ \zeta _{1}$ и $-\xi _{1},\ -\eta _{1},\ -\zeta _{1}.$

‎Обратимся теперь к подобным отображениям, даваемым линейной подстановкой:

${\bar {z}}={\frac {\alpha z+\beta }{\gamma z+\delta }}.$

(5)

‎Функция (5) критических точек не имеет вовсе; производная:

${\frac {d{\bar {z}}}{dz}}={\frac {\alpha \delta -\beta \gamma }{(\gamma z+\delta )^{2}}}$

(42)

‎обращается в 0 при $z=\infty$, а в бесконечность — одновременно с ${\bar {z}}$.

Поэтому отображение, получаемое с помощью этой функции, всюду в бесконечно малых частях подобно отображаемой кривой.

Из курсов теории функций комплексной переменной известно, что если точка $z$ движется по кругу (или по прямой)^[3], то и точка ${\bar {z}}$, определяемая формулой (5) движется по кругу (или по прямой).

Черт. 1Возьмем на плоскости переменной $z$ круг произвольного радиуса $R$ с центром в некоторой точке $C$ (черт. 1) и две точки: $A$ и $B$ на прямой $CB$, расположенные так, что:

$CA\cdot CB=R^{2}.$

(43)

‎Такие две точки называются симметричными относительно круга. Одна из них называется зеркальным изображением другой относительно данного круга.

Построим отображение круга $C$ и точек $A$ и $B$ при посредстве линейного преобразования (5). Круг $C$ преобразуется в некоторый новый круг $C'$, точки $A$ и $B$ — в $A'$ и $B'$. Важно то, что точки $A'$ и $B'$ будут симметричны относительно круга $C'$. Мы можем это выразить словами: линейное преобразование не нарушает симметрии.

Если радиус круга обращается в бесконечность, то окружность обращается в прямую, и тогда симметричными будут такие две точки, которые лежат на одном перпендикуляре к прямой на равном расстоянии от неё. Это симметрия в самом элементарном смысле слова.

§ 9. Некоторые теоремы теории гипергеометрических функций^[4].

Приведем теперь некоторые теоремы теории гипергеометрических функций, которыми нам скоро придется пользоваться.

Гипергеометрическим уравнением называется уравнение:

$z(1-z){\frac {d^{2}u}{dz^{2}}}+[\gamma -(\alpha +\beta +1)z]{\frac {du}{dz}}-\alpha \beta u=0.$

(44)

‎Один из частных интегралов этого уравнения в области точки 0 разлагается в такой ряд:

$F(\alpha ,\;\beta ,\;\gamma ,\;z)=1+{\frac {\alpha \beta }{1\cdot \gamma }}z+{\frac {\alpha (\alpha +1)\beta (\beta +1)}{1\cdot 2\cdot \gamma (\gamma +1)}}z^{2}+\ldots ,$

(45)

‎называемый гипергеометрическим рядом.

Ясно, что функция, изображаемая рядом (45), существует и за пределами сходимости этого ряда; но там она выражается иначе.

В ряде (45) коэффициенты $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma$ могут быть какие угодно количества: действительные или мнимые, лишь бы $\gamma$ не было целым отрицательным числом; но в нашей работе мы будем считать их действительными.

В таком случае при действительном $z$ величина функции $F(\alpha ,\;\beta ,\;\gamma ,\;z)$ будет непременно действительная.

Кругом сходимости ряда (45) служит круг, описанный из начала координат радиусом, равным 1.

Критическими точками интегралов уравнения (44) служат: 0, 1, $\infty$.

Черт. 2Выделим на плоскости $z$ следующие области:

1) Область, лежащая внутри круга, описанного из начала координат радиусом равным 1 (черт. 2).

2) Область, лежащая внутри круга, описанного из точки $+1$ радиусом равным 1.

3) Область, лежащая вне круга, описанного из начала координат радиусом равным 1.

Для краткости мы будем их называть так: область I, область II, область III.

Из чертежа 2 видно, что эти области заходят друг за друга. В каждой из указанных областей существует по два частных интеграла, весьма просто выражающихся при помощи гипергеометрических рядов.

Интегралы эти суть следующие:

В области I:

$\left.{\begin{array}{l}y_{1}=F(\alpha ,\;\beta ,\;\gamma ,\;z)\ldots \ {\text{однозначный в области I.}}\\y_{2}=z^{1-\gamma }F(\alpha -\gamma +1,\;\beta -\gamma +1,\;2-\gamma ,\;z)\ldots \ {\text{неоднознач-}}\\\quad \quad \quad \quad \quad {\text{ный в области I.}}\end{array}}\right\}$

(46)

‎В области II:

$\left.{\begin{array}{l}y_{3}=F(\alpha ,\;\beta ,\;\alpha +\beta -\gamma +1,\;1-z)\ldots \ {\text{однозначный в об-}}\\\quad \quad \quad \quad \quad {\text{ласти II.}}\\y_{4}=(1-z)^{\gamma -\alpha -\beta }F(\gamma -\beta ,\;\gamma -\alpha ,\gamma -\alpha -\beta +1,\;1-z)\ldots \ \\\quad \quad \quad \quad \quad \ldots \ {\text{неоднозначный в области II.}}\end{array}}\right\}$

(47)

‎В области III:

${\begin{matrix}\left.{\begin{array}{l}y_{5}=z^{-\alpha }F\left(\alpha ,\;\alpha -\gamma +1,\;\alpha -\beta +1,\;{\dfrac {1}{z}}\right)\\y_{6}=z^{-\beta }F\left(\beta ,\;\beta -\gamma +1,\;\beta -\alpha +1,\;{\dfrac {1}{z}}\right)\end{array}}\right\}&{\begin{matrix}{\text{неоднозначные в}}\\{\text{области III.}}\end{matrix}}\end{matrix}}$

(48)

‎Написанные ряды сходятся в соответствующих областях.

§ 10. Основные свойства функций Шварца.

В главе II мы видели, что всякое (не двучленное) алгебраическое уравнение, имеющее группу линейных подстановок, изменением независимой переменной приводится к уравнению (54) главы II, и в таком случае корни его могут быть выражены в виде отношений частных интегралов гипергеометрического уравнения.

Будем предполагать, что преобразование переменной совершено, и будем снова обозначать независимую переменную буквой $z$.

В таком случае мы имеем уравнение:

$H^{\lambda _{1}}(u):c'T^{\lambda _{2}}(u):cf^{\lambda }(u)=z:z-1:1,$

(49)

‎корни которого суть отношении частных интегралов гипергеометрического уравнения (44) и удовлетворяют дифференциальному уравнению:

$[u]_{z}={\frac {1-{\dfrac {1}{\lambda _{1}^{2}}}}{2z^{2}}}+{\frac {1-{\dfrac {1}{\lambda _{2}^{2}}}}{2(z-1)^{2}}}+{\dfrac {{\dfrac {1}{\lambda _{1}^{2}}}+{\dfrac {1}{\lambda _{2}^{2}}}-{\dfrac {1}{\lambda ^{2}}}-1}{2z(z-1)}},$

(50)

‎причем:

$\left.{\begin{array}{l}\alpha ={\dfrac {1}{2}}\left(1-{\dfrac {1}{\lambda _{1}}}-{\dfrac {1}{\lambda _{2}}}+{\dfrac {1}{\lambda }}\right),\\\beta ={\dfrac {1}{2}}\left(1-{\dfrac {1}{\lambda _{1}}}-{\dfrac {1}{\lambda _{2}}}-{\dfrac {1}{\lambda }}\right),\\\gamma =1-{\dfrac {1}{\lambda _{1}}},\end{array}}\right\}$

(51)

‎а числовые величины $\lambda ,\ \lambda _{1},\ \lambda _{2}$ определяются из таблицы (50) главы II.

Займемся изучением свойств интеграла уравнения (50), считая числа $\lambda ,\ \lambda _{1},\ \lambda _{2}$ целыми и положительными, но не давая им непременно значения, приведенные в таблице (50) главы II. В таком случае частные интегралы уравнения (50) могут быть и трансцендентными функциями.

Следуя Шварцу^[5] мы обозначим один какой-нибудь частный интеграл уравнения (50) следующим образом:

$u=s\left({\frac {1}{\lambda _{1}}},\;{\frac {1}{\lambda }},\;{\frac {1}{\lambda _{2}}},\;z\right),$

(52)

‎или короче:

$u=s(z).$

(53)

‎Остальные частные интегралы уравнения (50) суть линейные функции $u$, как мы знаем из теоремы 5 главы II.

Из теоремы 11 главы II видно, что функция $s(z)$ есть отношение частных интегралов гипергеометрического уравнения (44), причем коэффициенты $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma$ этого уравнения определяются формулами (51).

Отсюда следует, что свойства функции $s(z)$ тесно связаны со свойствами гипергеометрических функций.

Теорема 1. Функция $s(z)$ многозначна и все значения ее связаны между собой линейно.

Это следует из того, что интеграл уравнения (50) — функция многозначная и общий интеграл этого уравнения выражается через любой частный интеграл линейно. Следовательно после обхода около критической точки функция

$u=s(z)$

(53)

‎перейдет в

${\bar {u}}={\bar {s}}(z),$

(54)

‎причем:

${\bar {u}}={\frac {au+b}{cu+d}},$

(55)

‎где $a,\ b,\ c,\ d$ — некоторые постоянные числа. Линейные подстановки, соответствующие всевозможным обходам около критических точек, образуют группу. Эта группа — бесконечного порядка, если число значений функции $s(z)$ бесконечно велико. Если же число значений функции $s(z)$ конечно, то порядок группы будет, понятно, конечен, и в этом случае, как мы увидим, функция $s(z)$ будет, необходимо, алгебраической.

Теорема 2. Функция $s(z)$ имеет три критические точки: 0, 1, $\infty$.

Это следует из того, что $s(z)$ есть отношение двух частных интегралов гипергеометрического уравнения, а они имеют лишь три критические точки: 0, 1, $\infty$.

Теорема 3. Подобное отображение верхней полуплоскости при посредстве функции:

$u=s(z)$

(53)

‎есть треугольник, образованный дугами кругов и имеющий углы соответственно равные:

${\frac {\pi }{\lambda }},\;{\frac {\pi }{\lambda _{1}}},\;{\frac {\pi }{\lambda _{2}}}.$

‎Выберем в каждой из областей, указанных в § 9 по одному частному интегралу уравнения (50):

В области I:

$U={\frac {y_{2}}{y_{1}}}=z^{1-\gamma }{\frac {F(\alpha -\gamma +1,\;\beta -\gamma +1,\;2-\gamma ,\;z)}{F(\alpha ,\;\beta ,\;\gamma ,\;z)}},$

(56)

‎в области II:

$V={\frac {y_{4}}{y_{3}}}=(1-z)^{\gamma -\alpha -\beta }{\frac {F(\gamma -\beta ,\;\gamma -\alpha ,\gamma -\alpha -\beta +1,\;1-z)}{F(\alpha ,\;\beta ,\;\alpha +\beta -\gamma +1,\;1-z)}},$

(57)

‎в области III:

$W={\frac {y_{6}}{y_{5}}}=z^{\alpha -\beta }{\frac {F\left(\beta ,\;\beta -\gamma +1,\;\beta -\alpha +1,\;{\dfrac {1}{z}}\right)}{F\left(\alpha ,\;\alpha -\gamma +1,\;\alpha -\beta +1,\;{\dfrac {1}{z}}\right)}}.$

(58)

‎Интегралы $U,\ V,\ W$ будут существовать, понятно, и за пределами указанных областей, но выражения их будут за этими пределами иные, потому что ряды, стоящие во вторых частях равенств (56), (57), (58), за пределами соответствующих областей станут расходящимися.

Функция $s(z)$ выражается линейно через все три частных интеграла:

$u=s(z)={\frac {a_{1}U+b_{1}}{c_{1}U+d_{1}}}={\frac {a_{2}V+b_{2}}{c_{2}V+d_{2}}}={\frac {a_{3}W+b_{3}}{c_{3}W+d_{3}}}.$

(59)

Черт. 3‎Будем точку $z$ двигать по действительной оси справа влево. Пусть она выходит из точки $a$ (черт. 3), лежащей на оси $x$ в области I и идет по оси $x$ влево. Уйдя в $-\infty$ и двигаясь дальше, она появляется на оси $x$ с правой стороны и идет опять влево, пока снова не придет в $a$. Пусть при этом движении точка $z$ огибает критические точки 0, 1 и $\infty$ по бесконечно малым полукругам, лежащим в верхней полуплоскости (верхней полусфере). Ясно, что путь, описанный точкой $z$, сомкнутый: она обогнула в обратном направлении верхнюю полуплоскость. Так как все критические точки функции $s(z)$ остались вне той площади, которую обогнула точка $z$, то кривая, описанная при этом движении точкой $u$, есть кривая сомкнутая.

Площадь, заключенная внутри этой кривой, есть подобное отображение верхней полуплоскости при посредстве функции $s(z)$.

Посмотрим, каков вид этого подобного отображения.

Пока точка $z$ движется от $a$ к 0, функция $U$ остается действительной, точка $U$ движется прямолинейно по действительной оси. Точка $u$, связанная с $U$ линейной зависимостью (59), описывает некоторую дугу круга $u_{a}\ u_{0}$ (черт. 4). Когда точка $z$ обогнет точку 0 по бесконечно малому полукругу, то функция $U$ перейдет в:

${\bar {U}}=e^{(1-\gamma )\pi i}U,$

Черт. 4‎как видно из формулы (56). При дальнейшем движении точки $z$ от 0 к $-\infty$ точка $U$ пойдет по прямой, наклоненной к оси $x$ под углом $(1-\gamma )\pi$, точка же $u$, повернув в $u_{0}$ под таким же углом к своему прежнему пути, пойдет по новой дуге круга $u_{0}\ u_{\infty }$. Это движение будет продолжаться до тех пор, пока точка $z$ не дойдет до $\infty$.

Совершенно такими же рассуждениями мы убедимся в том, что когда точка $z$, обогнув точку $z=\infty$ по бесконечно малому полукругу, будет двигаться к $+1$, точка $u$, повернув в $u_{\infty }$ под углом $(\alpha -\beta )\pi$ к прежнему пути, пойдет по дуге круга $u_{\infty }\ u_{1}$.

Наконец, когда точка $z$, обогнув точку 1 по бесконечно малому полукругу, станет приближаться к точке своего выхода $a$, точка $u$, повернув в $u_{1}$ под углом $(\gamma -\alpha -\beta )\pi$ к своему прежнему пути, снова вступит на дугу круга $u_{1}\ u_{a}\ u_{0}$ и станет приближаться к точке $u_{a}$.

Итак, подобное отображение верхней полуплоскости с помощью функции $s(z)$ есть треугольник $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$, образованный дугами кругов.

Углы этого треугольника суть:

$(1-\gamma )\pi ,\ (\gamma -\alpha -\beta )\pi ,\ (\alpha -\beta )\pi ,$

(60)

‎или, на основании формул (51):

${\frac {\pi }{\lambda _{1}}},\;{\frac {\pi }{\lambda _{2}}},\;{\frac {\pi }{\lambda }}.$

(61)

‎Необходимо заметить, что приведенный нами чертеж 4 сделан в предположении:

1) что углы треугольника $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$ все меньше $\pi$,

2) что дуги кругов, ограничивающие треугольник $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$, содержат в себе менее 360°.

Докажем, что такой вид треугольника действительно соответствует условиям решаемой нами задачи.

Что касается углов треугольника, то они определяются формулами (61), где $\lambda _{1},\ \lambda _{2},\ \lambda$ суть целые числа. Ясно, что они меньше $\pi$.

Докажем теперь, что ни одна из сторон треугольника $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$ не может содержать в себе 360° или больше.

Допустим, что в дуге $u_{0}\ u_{1}$ больше 360°; пусть она равна:

$k\cdot 360^{\circ }+\psi ^{\circ },$

‎где $\psi ^{\circ }<360^{\circ }$, а $k$ — целое положительное число.

Это значит, что пока точка $z$ проходит по действительной оси отрезок 01, точка $u$ описывает $k$ полных окружностей и еще дугу в $\psi ^{\circ }$.

Посмотрим, какой путь в то же время проходит точка:

$U={\frac {y_{2}}{y_{1}}}=z^{1-\gamma }{\frac {F(\alpha -\gamma +1,\;\beta -\gamma +1,\;2-\gamma ,\;z)}{F(\alpha ,\;\beta ,\;\gamma ,\;z)}}.$

(56)

‎Она связана с точкой $u$ соотношением:

$u={\frac {a_{1}U+b_{1}}{c_{1}U+d_{1}}},$

(59')

‎откуда:

$U={\frac {d_{1}u-b_{1}}{a_{1}-c_{1}u}}.$

(62)

‎Мы видели выше, что пока точка $z$ движется по отрезку 01 действительной оси, точка $U$ движется по действительной оси, а точка $u$ описывает дугу $u_{0}\ u_{1}$. Следовательно линейная подстановка (62) преобразует точки дуги $u_{0}\ u_{1}$ в точки действительной оси. Всякий раз, когда точка $u_{1}$, двигаясь по дуге $u_{0}\ u_{1}$, описывает полную окружность, точка $U$ пробегает всю действительную ось.

‎Мы предположили, что дуга $u_{0}\ u_{1}$ равна:

$k\cdot 360^{\circ }+\psi ^{\circ }.$

Если так, то пока точка $z$ опишет отрезок 01, точка $U$ должна пройти $k$ раз всю действительную ось и еще некоторый конечный отрезок ее. При таком изменении функция $U$ должна $k$ раз пройти через бесконечность. Обращаясь к формуле (56), мы видим, что функция $U$ при $z$, действительном и лежащем между 0 и 1, только в том случае может обратиться в $\infty$, если ряд

$F(\alpha ,\;\beta ,\;\gamma ,\;z)$

‎при этом значении $z$ равен 0. Между тем весьма простыми соображениями мы убеждаемся в том, что при $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma$, удовлетворяющих условиям (51), функция

$F(\alpha ,\;\beta ,\;\gamma ,\;z)$

‎существенно положительна и отлична от 0 для всех значений $z$, лежащих между 0 и 1^[6].

Такое противоречие произошло от сделанного нами допущения, что дуга $u_{0}\ u_{1}$ содержит в себе более 360°.

То же самое справедливо по отношению к двум другим сторонам треугольника $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$^[7].

Теорема 4. Подобное отображение нижней полуплоскости при помощи функции $s(z)$ есть треугольник, смежный с $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$ и симметричный с ним относительно их общей стороны.

Пусть точка $a$ перешла из верхней полуплоскости в нижнюю через отрезок оси $x$, лежащий между 0 и 1. Точка $u$ выйдет из треугольника $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$ через сторону $u_{0}\ u_{1}$, и, пока точка $z$ будет оставаться в нижней полуплоскости, точка $u$ будет оставаться вне треугольника $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$. Чтобы найти подобное отображение всей нижней полуплоскости, мы заставим точку $z$ пройти всю ось $x$ справа влево, обходя критические точки 0, 1, $\infty$ по бесконечно малым полукругам, лежащим в нижней полуплоскости.

Черт. 5Повторяя рассуждения, приведенные выше, мы найдем, что отображение нижней полуплоскости есть треугольник $u_{0}\ u_{1}\ {\bar {u}}_{\infty }$ (черт. 5), имеющий с треугольником $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$ общую сторону $u_{0}\ u_{1}$ и такие же углы, как и треугольник $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$. Остается доказать, что треугольники: $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$ и $u_{0}\ u_{1}\ {\bar {u}}_{\infty }$ симметричны относительно дуги $u_{0}\ u_{1}$.

Возьмем два пути на плоскости переменной $z$:

1) пусть $z$ идет по оси $x$ от 1 к 0, обходит 0 по бесконечно малому полукругу, лежащему в верхней полуплоскости, и идет по оси $x$ к $-1$;

Черт. 62) пусть $z$ идет по оси $x$ от 1 к 0, обходит 0 по бесконечно малому полукругу, лежащему в нижней полуплоскости, и идет по оси $x$ к $-1$.

Из формулы (56) видно, что при посредстве функции $U$ первый путь отобразится ломанной $U_{0}\ U_{1}\ U_{-1}$ (черт. 6), а второй путь — ломанной $U_{0}\ U_{1}\ {\bar {U}}_{-1}$. Прямые $U_{0}\ U_{-1}$ и $U_{0}\ {\bar {U}}_{-1}$ симметричны относительно действительной оси.

Так как функции $u$ и $U$ связаны между собой линейной зависимостью:

$u={\frac {a_{1}U+b_{1}}{c_{1}U+d_{1}}},$

(59')

‎то после этого линейного преобразования прямая $U_{1}\ U_{0}$ перейдет в дугу $u_{1}\ u_{0}$, а прямые $U_{0}\ U_{-1}$ и $U_{0}\ {\bar {U}}_{-1}$ перейдут в дуги кругов, направленные по $u_{0}\ u_{\infty }$ и $u_{0}\ {\bar {u}}_{\infty }$. Линейное преобразование, как мы знаем, не нарушает симметрии; поэтому дуги $u_{0}\ u_{\infty }$ и $u_{0}\ {\bar {u}}_{\infty }$ будут симметричны относительно дуги $u_{0}\ u_{1}$.

Таким же образом докажем, что дуги $u_{1}\ u_{\infty }$ и $u_{1}\ {\bar {u}}_{\infty }$ симметричны относительно дуги $u_{0}\ u_{1}$.

Теорема доказана.

Треугольник, симметричный с данным относительно одной из сторон его, мы можем построить средствами элементарной геометрии.

Если бы точка $z$ перешла из верхней полуплоскости в нижнюю через один из отрезков: $0\ \infty$ или $\infty \ 1$, то точка $u$ вышла бы из треугольника $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$ через сторону $u_{0}\ u_{\infty }$ или $u_{\infty }\ u_{1}$, и тогда нижняя полуплоскость отобразилась бы треугольником, симметричным с $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$ относительно стороны $u_{0}\ u_{\infty }$ или $u_{\infty }\ u_{1}$.

Пусть точка $z$ двигалась сначала в верхней полуплоскости, затем перешла в нижнюю через отрезок 01, описала какую-либо кривую и снова вернулась в верхнюю полуплоскость через отрезок $1\ \infty$. Посмотрим, какой путь описала в то же время точка $u$. Путь этот будет, необходимо, разомкнутый, потому что точка $z$ совершила обход около критической точки $+1$.

Сначала точка $u$ вышла из треугольника $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$ через сторону его $u_{0}\ u_{1}$ в треугольник $u_{0}\ u_{1}\ {\bar {u}}_{\infty }$, а затем, совершив некоторый путь внутри этого треугольника, она вышла из него через сторону $u_{1}\ {\bar {u}}_{\infty }$.

Если мы заставим точку $z$ после сделанного обхода обогнуть верхнюю полуплоскость, то рассуждениями, подобными приведенным в теоремах 3 и 4, убедимся в том, что точка $u$ опишет контур треугольника ${\bar {u}}_{0}\ u_{1}\ {\bar {u}}_{\infty }$ (черт. 5), симметричного с треугольником $u_{0}\ u_{1}\ {\bar {u}}_{\infty }$ относительно общей стороны $u_{1}\ {\bar {u}}_{\infty }$.

Треугольник ${\bar {u}}_{0}\ u_{1}\ {\bar {u}}_{\infty }$ будет служить подобным отображением верхней полуплоскости при помощи другого значения:

${\bar {u}}={\bar {s}}(z)$

‎функции $u=s(z)$, которое она приобрела после обхода около критической точки $+1$.

На основании теоремы 1 функция ${\bar {u}}={\bar {s}}(z)$ выражается через $u=s(z)$ линейно:

$u={\frac {au+b}{cu+d}}.$

(55)

‎Треугольник ${\bar {u}}_{0}\ u_{1}\ {\bar {u}}_{\infty }$ может быть получен из треугольника $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$ линейным преобразованием (55).

Условимся называть эквивалентными всякие две фигуры, которые могут быть получены одна из другой линейным преобразованием. В таком случае труегольники $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$ и ${\bar {u}}_{0}\ u_{1}\ {\bar {u}}_{\infty }$ между собой эквивалентны.

Построим на плоскости сеть^[8] треугольников следующим образом: возьмем треугольник $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$; на всех сторонах его построим треугольники, с ним симметричные; на всех сторонах каждого из построенных треугольников строим треугольники, симметричные с ними относительно общей стороны, и т. д., пока будет возможно продолжать эти построения. Таким образом мы или всю плоскость, или некоторую часть ее покроем сетью треугольников.

Треугольники эти будут плотно прилегать друг к другу и нигде не будут находить друг на друга.

В самом деле, всякие два рядом лежащие треугольника суть смежные: между ними незанятой части плоскости не остается; если же около какой-нибудь точки треугольники сходятся своими вершинами, то сумма углов, сходящихся около этой точки как раз равна $2\pi$, потому что углы эти равны одной из величин: ${\frac {\pi }{\lambda }},\;{\frac {\pi }{\lambda _{1}}},\;{\frac {\pi }{\lambda _{2}}}$, где $\lambda ,\ \lambda _{1},\ \lambda _{2}$ суть числа целые и положительные.

Отсюда видно, что если около какой-либо точки треугольники сходятся своими вершинами, то число этих треугольников четное; оно равно одному из чисел: $2\lambda ,\ 2\lambda _{1},\ 2\lambda _{2}$. Следуя Клейну, поступим так: первый треугольник $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$ оставим белого цвета; все смежные с ним затушуем; все треугольники, смежные с этими черными, оставим белого цвета, а все смежные с белыми затушуем, и т. д. Тогда всякий белый треугольник будет окружен черными, и обратно. Если около какой-либо точки несколько треугольников сходятся своими вершинами, то половина их будет белого цвета, а другая половина черного цвета. Из сказанного выше ясно, что все белые треугольники будут подобными отображениями верхней полуплоскости переменной $z$ при помощи различных значений многозначной функции $s(z)$, а черные треугольники — подобными отображениями нижней полуплоскости переменной $z$ при помощи значений той же функции. Точки, где треугольники сходятся вершинами, будут отображениями критических точек 0, 1, $\infty$, а число треугольников одинакового цвета $\lambda ,\ \lambda _{1},\ \lambda _{2}$, сходящихся около такой точки, равно числу значений функции $s(z)$, связанных между собой в соответствующей критической точке. Все треугольники одинакового цвета эквивалентны между собой, и подстановки, преобразующие первый из них во все остальные, суть подстановки группы, соответствующей функции $s(z)$.

Число треугольников сети равно числу значений функции $s(z)$. Если функция $s(z)$ алгебраическая, то число треугольников сети конечно, и сеть покроет собой всю плоскость переменной $u=s(z)$, ибо алгебраическая функция может приобретать все значения. Если функция $s(z)$ трансцендентная, то в сети может быть бесконечное число треугольников, и эти треугольники могут закрывать не всю плоскость.

Возьмем два смежных треугольника сети; вместе они составят четырехугольник. Ясно, что построенную сеть мы можем рассматривать как сеть четырёхугольников. Каждый из этих четырехугольников есть подобное отображение всей плоскости переменной $z$ при помощи соответствующего ему значения функции $s(z)$ и делится диагональю (дугой круга) на два треугольника различных цветов и соответствующих двум половинам плоскости. Все четырехугольники сети эквивалентны между собой. Где бы в части плоскости, занятой сетью, мы ни отметили точку (лишь бы она не лежала на контуре одного из четырехугольников), в каждом четырехугольнике сети найдется одна вполне определенная точка, ей соответствующая и связанная с ней одной из подставок группы. Вследствие этого последнего свойства мы назовем каждый из четырехугольников сети основной областью^[9] группы.

Лемма. Всякие два треугольника, составленные дугами кругов и имеющие углы соответственно равные и сходственно расположенные, эквивалентны.

Черт. 7Пусть дан треугольник $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$ на плоскости переменной $u$ (черт. 7); пусть углы его суть:

${\frac {\pi }{\lambda }},\;{\frac {\pi }{\lambda _{1}}},\;{\frac {\pi }{\lambda _{2}}},$

‎где $\lambda ,\ \lambda _{1},\ \lambda _{2}$ суть числа целые и положительные. Обозначим вторую точку пересечения дуг $u_{0}\ u_{1}$ и $u_{0}\ u_{\infty }$ буквой $u'_{0}$. Преобразуем треугольник $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$ посредством линейной подстановки:

$v={\frac {u_{1}-u'_{0}}{u_{1}-u_{0}}}\cdot {\frac {u-u_{0}}{u-u'_{0}}}.$

(63)

Черт. 8‎Из формулы (63) видно, что при $u=u_{0},\ v=0$; при $u=u_{1},\ v=1$; при $u=u'_{0},\ v=\infty$. Треугольник $01v_{\infty }$ (черт. 8), в который $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$ преобразуется подстановкой (63), имеет одну вершину в точке $+1$, другую — в начале координат; стороны треугольника 01, $0v_{\infty }$, выходящие из вершины 0, прямолинейны (ибо вторая точка пересечения их лежит в бесконечности); углы треугольника $01v_{\infty }$ таковы же и так же расположены, как углы треугольника $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$, потому что треугольник $01v_{\infty }$ есть подобное отображение треугольника $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$ при посредстве линейной функции (63). Сказанными свойствами треугольник $01v_{\infty }$ определен вполне: такой треугольник существует и только один.

Всякий треугольник ${\bar {u}}_{0}\ {\bar {u}}_{1}\ {\bar {u}}_{\infty }$, имеющий с треугольником $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$ углы равные и сходственно расположенные, подстановкой:

$v={\frac {{\bar {u}}_{1}-{\bar {u}}'_{0}}{{\bar {u}}_{1}-{\bar {u}}_{0}}}\cdot {\frac {{\bar {u}}-{\bar {u}}_{0}}{{\bar {u}}-{\bar {u}}'_{0}}}$

‎преобразуется в тот же треугольник $01v_{\infty }$.

Если так, то треугольники $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$ и ${\bar {u}}_{0}\ {\bar {u}}_{1}\ {\bar {u}}_{\infty }$ между собой эквивалентны.

Лемма доказана.

Теорема 5. Если дан треугольник $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$, составленный дугами кругов и имеющий углы, равные ${\frac {\pi }{\lambda }},\;{\frac {\pi }{\lambda _{1}}},\;{\frac {\pi }{\lambda _{2}}},$ где $\lambda ,\ \lambda _{1},\ \lambda _{2}$ числа целые и положительные, то тем самым соответствующая ему функция $s(z)$ вполне определена.

Подставим данные нам значения $\lambda ,\ \lambda _{1},\ \lambda _{2}$ в уравнение (50), найдем какой-нибудь частный интеграл ${\bar {s}}(z)$ полученного уравнения и построим треугольник ${\bar {u}}_{0}\ {\bar {u}}_{1}\ {\bar {u}}_{\infty }$, соответствующий частному интегралу ${\bar {s}}(z)$. Треугольник ${\bar {u}}_{0}\ {\bar {u}}_{1}\ {\bar {u}}_{\infty }$ будет иметь с треугольником $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$ углы соответственно равные и сходственно расположенные. На основании доказанной леммы он будет эквивалентен треугольнику $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$. Найдя коэффициенты $a,\ b,\ c,\ d$ линейной подстановки, преобразующей треугольник ${\bar {u}}_{0}\ {\bar {u}}_{1}\ {\bar {u}}_{\infty }$ в треугольник $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$, мы придем к заключению, что искомая функция $s(z)$ может быть изображена такой формулой:

$s(z)={\frac {a{\bar {s}}(z)+b}{c{\bar {s}}(z)+d}}.$

(64)

‎Она будет частным интегралом того же дифференциального уравнения, которому удовлетворяет функция ${\bar {s}}(z)$.

§ 11. Свойства сети треугольников.

Пусть углы треугольников некоторой сети соответственно равны ${\frac {\pi }{\lambda }},\;{\frac {\pi }{\lambda _{1}}},\;{\frac {\pi }{\lambda _{2}}}$. Совершив над сетью какое-нибудь линейное преобразование, мы получим новую сеть, эквивалентную прежней. Углы треугольников новой сети будут такие же, как и в прежней: ${\frac {\pi }{\lambda }},\;{\frac {\pi }{\lambda _{1}}},\;{\frac {\pi }{\lambda _{2}}}$. Наоборот, всякие две сети, у которых углы треугольников соответственно равны, эквивалентны между собой на основании доказанной выше леммы.

В дальнейшем эквивалентные сети не будут для нас иметь существенного различия, мы будем называть их сетями одного типа.

Теорема 6. Существует бесконечное число типов сетей, у которых сумма внутренних углов каждого треугольника меньше $\pi$; существует четыре типа сетей, у которых сумма внутренних углов каждого треугольника равна $\pi$ и существует четыре типа сетей, у которых сумма внутренних углов каждого треугольника больше $\pi$.

I. Пусть сумма внутренних углов треугольника меньше $\pi$:

${\frac {\pi }{\lambda }}+{\frac {\pi }{\lambda _{1}}}+{\frac {\pi }{\lambda _{2}}}<\pi ,$

(65)

‎откуда:

${\frac {1}{\lambda }}+{\frac {1}{\lambda _{1}}}+{\frac {1}{\lambda _{2}}}<1.$

(66)

‎Неравенство (66) имеет бесконечное число целых и положительных решений.

Первая часть теоремы доказана.

II. Пусть сумма внутренних углов треугольника равна $\pi$:

${\frac {\pi }{\lambda }}+{\frac {\pi }{\lambda _{1}}}+{\frac {\pi }{\lambda _{2}}}=\pi ,$

(67)

‎откуда:

${\frac {1}{\lambda }}+{\frac {1}{\lambda _{1}}}+{\frac {1}{\lambda _{2}}}=1.$

(68)

‎Неопределенное уравнение (68) имеет лишь четыре следующие системы целых и положительных решений:

${\begin{array}{r|c|c|c|c|}\hline \lambda =&3&4&6&\infty \\\hline \lambda _{1}=&3&4&3&2\\\hline \lambda _{2}=&3&2&2&2\\\hline \end{array}}$[10]

(69)

‎Вторая часть теоремы доказана.

III. Пусть сумма внутренних углов треугольника больше $\pi$:

${\frac {\pi }{\lambda }}+{\frac {\pi }{\lambda _{1}}}+{\frac {\pi }{\lambda _{2}}}>\pi ,$

(70)

‎откуда:

${\frac {1}{\lambda }}+{\frac {1}{\lambda _{1}}}+{\frac {1}{\lambda _{2}}}>1.$

(71)

‎Неравенство (71) имеет лишь четыре^[11] системы целых и положительных решений:

${\begin{array}{r|c|c|c|c|}\hline \lambda =&m&3&4&5\\\hline \lambda _{1}=&2&3&3&3\\\hline \lambda _{2}=&2&2&2&2\\\hline \end{array}}$

(72)

‎где $m$ — произвольное целое число.

Последняя часть теоремы доказана.

Теорема 7. Если сумма внутренних углов треугольников меньше $\pi$, то сеть содержит в себе бесконечно большое число треугольников и заключается внутри конечного круга, ортогонального ко всем сторонам треугольников сети. Функция $s(z)$, соответствующая такой сети, трансцендентная.

Черт. 9Пусть $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$ (черт. 9) есть один из треугольников сети и пусть сумма внутренних углов его меньше $\pi$.

Построим эквивалентный ему треугольник $01v_{\infty }$ (черт. 10), имеющий две прямолинейные стороны 01 и $0v_{\infty }$. При доказательстве приведенной выше леммы мы видели, что такой треугольник существует и притом единственный.

Совершенно элементарными соображениями убеждаемся в том, что если сумма внутренних углов треугольника $01v_{\infty }$ меньше $\pi$, то дуга $1v_{\infty }$ обращена к вершине 0 своей выпуклостью. В таком случае возможно провести конечный круг с центром в $O$ и ортогональный к кругу $C$, дуга которого служит стороной треугольника $01v_{\infty }$. Этот круг $O$ ортогонален ко всем трем сторонам треугольника $01v_{\infty }$ и притом треугольник $01v_{\infty }$ весь лежит внутри круга $O$.

Черт. 10Треугольник $01v_{\infty }$ только в том случае достигает ортогонального круга $O$ одной или двумя своими вершинами: 1 и $v_{\infty }$, когда угол, соответствующий этой вершине, равен нулю, т. е. когда одно из чисел $\lambda _{2},\ \lambda$ или оба равны $\infty$.

Линейная подстановка, преобразующая треугольник $01v_{\infty }$ в $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$, преобразует круг $O$ в некоторый конечный круг $O'$ (черт. 9), который будет ортогонален ко всем сторонам треугольника $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$, потому что при линейном преобразовании все углы сохраняют свою величину.

Чтобы построить сеть, соответствующую треугольнику $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$, мы должны построить его зеркальные изображения относительно всех трех сторон его и производить такие же построения для каждого из вновь построенных треугольников до тех пор, пока это будет возможно. При построении всех этих зеркальных изображений ортогональный круг $O'$ преобразуется сам в себя и остается ортогональным для всех вновь построенных треугольников, потому что при всех этих преобразованиях углы сохраняют свою величину.

Итак, действительно круг $O'$ ортогонален ко всем треугольникам сети.

При построении зеркального изображения всякая точка, лежащая внутри ортогонального круга $O'$, преобразуется в точку, лежащую внутри круга $O'$. Треугольник $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$ лежит внутри круга $O'$, следовательно и вся сеть будет лежать внутри этого ортогонального круга.

Если треугольник $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$ имеет вершину, лежащую на ортогональном круге, то все вершины других треугольников сети, соответствующие этой вершине, также будут лежать на ортогональном круге, и в таком случае в точках ортогонального круга будут сходиться своими вершинами те углы треугольников, которые равны нулю.

Такие точки будут лежать на ортогональном круге бесконечно часто, но не непрерывно, и в каждой такой точке сходится бесконечное число треугольников.

Черт. 11

‎Ясно, что число всех треугольников сети бесконечно велико.

‎Пример такой сети представлен на черт. 11^[12].

‎Если ни одна из вершин треугольника $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$ не лежит на ортогональном круге, то ни один из треугольников сети не достигнет ортогонального круга, хотя их и будет бесконечное число: по мере приближения к ортогональному кругу, размеры треугольников уменьшаются и вблизи ортогонального круга становятся бесконечно малыми.

Ясно, что число треугольников сети бесконечно велико. Пример такой сети представлен на черт. 12.

Черт. 12

Понятно, что если в сети бесконечное число треугольников, то соответствующая ей группа бесконечного порядка, а соответствующая ей функция $s(z)$ есть функция трансцендентная.

Теорема 8. Если сумма внутренних углов треугольников сети равна $\pi$, то сеть покрывает всю плоскость и содержит в себе бесконечно большое число треугольников.

Соответствующая ей функция $s(z)$ трансцендентная.

Пусть $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$ есть один из треугольников сети и пусть сумма внутренних углов его равна $\pi$. Построив эквивалентный ему треугольник $01v_{\infty }$, имеющий две прямолинейные стороны, мы увидим, что и третья сторона будет прямолинейна (иначе сумма внутренних углов не равнялась бы $\pi$). Из таблицы (69) видно, что треугольник будет одного из четырех видов, построенных на черт. 13.

Черт. 13

Сети, соответствующие этим треугольникам, изображены на черт. 14.

Черт. 14

Из чертежей видно, что все четыре сети покрывают собой всю плоскость и содержат в себе бесконечное число треугольников. Все сети им эквивалентные, а в том числе и сеть, соответствующая первоначально взятому нами треугольнику $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$, тоже будут покрывать собой всю плоскость и содержать в себе бесконечное число треугольников.

Группы, соответствующие этим сетям, суть группы бесконечного порядка. Функции $s(z)$, им соответствующие, имеют бесконечное число значений и суть функции трансцендентные.

---

Черт. 15Пусть $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$ есть треугольник сети и пусть сумма внутренних углов его больше $\pi$. Построив эквивалентный ему треугольник $01v_{\infty }$ (черт. 15), имеющий две прямолинейные стороны, мы увидим, что дуга $1v_{\infty }$ обращена к точке 0 своей вогнутостью. Отсюда следует, что круга, ортогонального к сторонам треугольника $01v_{\infty }$, а следовательно, и круга, ортогонального к сторонам треугольника $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$, не существует. Но сделать на основании этого заключение о том, будет ли сеть покрывать собой всю плоскость и будет ли она содержать в себе конечное число треугольников — мы не можем. Поэтому рассматриваемый случай требует особого изучения тем больше, что мы вправе предположить, что именно в этом случае функция $s(z)$ есть функция алгебраическая.

§ 12. Построение четырех типов сети треугольников, у которых сумма внутренних углов больше $\pi$.

Воспользуемся теми геометрическими представлениями на сфере, которые были указаны в § 8. Будем помнить, что всякому повороту сферы около оси, проходящей через центр ее, соответствует некоторое линейное преобразование точек плоскости.

Впишем в сферу один из следующих многогранников:

1) Многогранник, состоящий из двух одинаковых $m$-гранных правильных пирамид, сложенных своими основаниями и имеющих высоты, равные радиусу круга, описанного около основания. Такое тело, следуя Клейну, будем называть $2m$-гранной двупирамидой (Doppelpyramide).

2) правильный тетраэдр,

3) правильный октаэдр,

4) правильный икосаэдр.

Черт. 16Вписав в сферу один из этих четырех многогранников, проектируем на поверхность сферы из ее центра все грани этого многогранника. Тогда сфера покроется сетью равных треугольников, сторонами которых служат дуги больших кругов. Дуги эти суть проекции ребер многогранника из центра на поверхность сферы. Возьмем одно из последних трех тел: тетраэдр, октаэдр или икосаэдр (о двупирамиде будем говорить отдельно); ради общности будем его называть $p$-гранником. Пусть сферический треугольник $ABC$ (черт. 16) есть проекция одной из граней взятого $p$-гранника из центра на поверхность сферы. Отметим проекции $a,\ b,\ c$ средин ребер взятой грани и проведем окружности больших кругов $Aa,\ Bb,\ Cc$. Они пересекутся в одной точке $O$ — проекции центра грани на поверхность сферы.

Треугольник $ABC$ разбился на 6 меньших треугольников.

Затушуем их через один, как показано на черт. 16.

Поступим точно так же и со всеми остальными треугольниками сети, построенной на сфере.

Тогда вся сфера покроется сетью из $6p$ треугольников; каждые два рядом лежащие треугольника суть смежные, суть симметричные в элементарном смысле относительно общей стороны и различаются цветом: один белый, а другой — черный. Белых треугольников на поверхности сферы $3p$, и они все между собой равны, черных треугольников также $3p$, и они тоже между собой равны.

Черт. 17Пусть теперь $ABC$ (черт. 17) есть сферический треугольник, служащий проекцией грани двупирамиды.

Пусть при этом дуга $AC$ соответствует ребру основания. Отметим проекцию $b$ середины ребра $AC$ на поверхность сферы и проведем окружность большего круга $Bb$. Она разделит треугольник $ABC$ на два треугольника $ABb$ и $CBb$, симметричных относительно общей стороны $Bb$.

Подобным же образом мы поступим со всеми $2m$ проекциями граней двупирамиды на поверхность сферы. Тогда мы получим на поверхности сферы сеть из $4m$ треугольников, обладающую теми же свойствами, которыми обладали сети, соответствующие остальным видам многогранников.

---

Углы треугольников сети на поверхности сферы мы обозначим так:

${\frac {\pi }{\lambda }},\;{\frac {\pi }{\lambda _{1}}},\;{\frac {\pi }{\lambda _{2}}},$

‎число треугольников одинакового цвета, сходящихся около вершин этих углов, мы обозначим буквами $\nu ,\ \nu _{1},\ \nu _{2}$; число всех треугольников одинакового цвета обозначим буквой $N$.

Сообразить, каковы будут числовые величины $N,\ \nu ,\ \nu _{1},\ \nu _{2},\ \lambda ,\ \lambda _{1},\ \lambda _{2}$ для каждого из четырех многогранников очень легко. Мы их расположим в следующую таблицу:

${\begin{array}{r|c|c|c|c|}\hline &{\begin{matrix}{\text{Двупи-}}\\{\text{рамид.}}\end{matrix}}&{\text{тетр.}}&{\text{окт.}}&{\text{икос.}}\\\hline N=&2m&12&24&60\\\hline \nu =&2&4&6&12\\\hline \nu _{1}=&m&4&8&20\\\hline \nu _{2}=&m&6&12&30\\\hline \lambda =&m&3&4&5\\\hline \lambda _{1}=&2&3&3&3\\\hline \lambda _{2}=&2&2&2&2\\\hline \end{array}}$

(73)

‎Сеть, построенную на сфере, проектируем стереографически из южного полюса на плоскость переменной $u$ и заштрихуем проекции тех треугольников, которые были заштрихованы на сфере.

Таким образом вся плоскость покроется конечным числом треугольников двух цветов. Каждые два рядом лежащие треугольника суть смежные, каждый белый треугольник окружен черными, и обратно. Углы всех треугольников одинакового цвета соответственно равны и сходственно расположены, потому что на сфере все треугольники одного цвета были равны, а при стереографическом проектировании углы сохраняют свой величину. Углы всяких двух треугольников различного цвета соответственно равны, но расположены в обратном порядке.

Для того, чтобы мы были вправе сказать, что треугольники, построенные нами на плоскости, образуют сеть треугольников в том смысле, в каком мы выше употребляли это выражение, остается доказать, что всякие два смежные треугольника симметричны относительно общей стороны.

Пусть $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$ и $u_{0}\ u_{1}\ {\bar {u}}_{\infty }$ суть два смежных треугольника на плоскости; общая сторона их $u_{0}\ u_{1}$. Пусть соответствующие им треугольники на сфере суть: $U_{0}\ U_{1}\ U_{\infty }$ и $U_{0}\ U_{1}\ {\bar {U}}_{\infty }$. Они, как мы знаем, симметричны в элементарном смысле относительно общей стороны $U_{0}\ U_{1}$. Повернем сферу около ее центра так, чтобы сторона $U_{0}\ U_{1}$ прошла через северный полюс. Тогда дуга $U_{0}\ U_{1}$ в новом положении будет проектироваться на плоскость в виде прямой $u'_{0}\ u'_{1}$, треугольники же $U_{0}\ U_{1}\ U_{\infty }$ и $U_{0}\ U_{1}\ {\bar {U}}_{\infty }$ в новом положении будут проектироваться в виде треугольников $u'_{0}\ u'_{1}\ u'_{\infty }$ и $u'_{0}\ u'_{1}\ {\bar {u}}'_{\infty }$, симметричных в элементарном смысле относительно их общей прямолинейной стороны $u'_{0}\ u'_{1}$.

Фигура $u'_{0}\ u'_{1}\ u'_{\infty }\ {\bar {u}}'_{\infty }$ получается из фигуры $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }\ {\bar {u}}_{\infty }$ линейным преобразованием, соответствующим сделанному нами повороту сферы. Так как линейное преобразование не нарушает симметрии, то мы приходим к заключению, что треугольники $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$ и $u_{0}\ u_{1}\ {\bar {u}}_{\infty }$ симметричны относительно общей стороны $u_{0}\ u_{1}$.

Итак, мы построили на плоскости четыре типа сети треугольников. Каждая из этих сетей покрывает собой всю плоскость, содержит в себе конечное число треугольников, углы этих треугольников равны:

${\frac {\pi }{\lambda }},\;{\frac {\pi }{\lambda _{1}}},\;{\frac {\pi }{\lambda _{2}}},$

‎где $\lambda ,\ \lambda _{1},\ \lambda _{2}$ суть целые числа, величины которых даны в таблице (73).

Каждый тип сетей треугольников соответствует одному из названных выше видов многогранников. Смотря по тому, к какому из этих типов принадлежит данная сеть, мы будем ее называть двупирамидной, тетраэдрической, октаэдрической или икосаэдрической сетью.

Сравнивая таблицу (73) с таблицей (72), мы замечаем, что величины $\lambda ,\ \lambda _{1},\ \lambda _{2}$, приведенные в них, — одинаковы. Следовательно, построенные нами сети суть как раз те четыре вида искомых сетей, у которых сумма внутренних углов каждого треугольника больше $\pi$. Сравнивая таблицу (73) с таблицей (50) главы II, мы замечаем их тождественность.

Отсюда следует:

Теорема 9. Функции Шварца, соответствующие четырем типам сетей с конечным числом треугольников, суть функции алгебраические и служат корнями уравнений вида:

$H^{\lambda _{1}}(u):c'T^{\lambda _{2}}(u):cf^{\lambda }(u)=z:z-1:1.$

(49)

‎Для того, чтобы найти группу линейных подстановок уравнения (49), необходимо построить сеть той функции Шварца, которая ему удовлетворяет, а затем вычислить коэффициенты линейных подстановок группы, соответствующей построенной сети.

Выполнение этих вычислений составит задачу следующей главы.

---

Сноски

1. См. Klein. Vorlesungen über die Theorie der elliptischen Modulfunctionen, т. I, стр. 165 и 170. Здесь указана причина такого названия. Главнейшие свойства линейных подстановок изложены в статье проф. Ермакова: Круговое преобразование. Мат. Сборн. т. XIV.
2. О подобных подстановках см. Serret. Cours d’algèbre supérieure, т. II, стр. 257.
3. Прямая рассматривается как круг бесконечно большего радиуса.
4. Мы заимствуем эти теоремы из диссертации профессора Тихомандрицкого: О гипергеометрических рядах. С.-Петербург, 1876.
5. Шварц изучает свойства интегралов уравнения: $[u]_{z}={\frac {1-\lambda ^{2}}{2z^{2}}}+{\frac {1-\nu ^{2}}{2(z-1)^{2}}}+{\dfrac {\lambda ^{2}-\mu ^{2}+\nu ^{2}-1}{2z(z-1)}}$
   и обозначает один из частных интегралов его так: $s(\lambda ,\;\mu ,\;\nu ,\;z).$
   Приведенное выше уравнение (50) есть простейший частный случай уравнения Шварца. Мы ограничимся в настоящей работе рассмотрением только этого простейшего частного случая.
6. Из формул (51) следует, что: $\alpha >0,\;\beta \geqslant -{\frac {1}{4}},\;\gamma \geqslant {\frac {1}{2}}.$
   В самом неблагоприятном случае, когда $\lambda =\lambda _{1}=\lambda _{2},\;\alpha ={\frac {1}{4}},\;\beta =-{\frac {1}{4}},\;\gamma ={\frac {1}{2}},$
   функция $F(\alpha ,\;\beta ,\;\gamma ,\;z)$ непрерывно уменьшается от $F\left({\frac {1}{4}},\;-{\frac {1}{4}},\;{\frac {1}{2}},\;0\right)=1$ до $F\left({\frac {1}{4}},\;-{\frac {1}{4}},\;{\frac {1}{2}},\;1\right)={\frac {\Gamma ^{2}\left({\dfrac {1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\dfrac {1}{4}}\right)\Gamma \left({\dfrac {3}{4}}\right)}}={\frac {\sqrt {2}}{2}};$
   следовательно она остается положительной.
7. Если бы мы стали изучать функцию Шварца общего вида $S(\lambda ,\;\mu ,\;\nu ,\;z)$, то свойства ее оказались бы много сложнее.
8. Примеры подобных сетей см. ниже на чертежах: 11, 12, 14, 25, 26, 27, 28, 29, 30.
9. Fundamentalbereich по Клейну, polygone générateur по Пуанкаре. Строгое определение понятия об основной области группы линейных подстановок мы приводим ниже в главе IX.
10. Для аналогии с табл. (50) главы II мы условимся полагать, что $\lambda \geqslant \lambda _{1}\geqslant \lambda _{2}.$

11. Точнее было бы сказать, что в таблице (72) бесконечное число решений, потому что число $m$ может получать бесконечное число значений, и что существует бесконечное число типов сетей треугольников, у которых сумма внутренних углов больше $\pi$. Но все сети треугольников, имеющих углы, равные ${\frac {\pi }{m}},\;{\frac {\pi }{2}},\;{\frac {\pi }{2}},$ совершенно одинаковы по своим свойствам: вот почему мы относим их к одному типу, давая слову тип несколько более широкое значение.
12. Чертежи 11 и 12 заимствованы у Клейна: Vorlesungen über die Theorie der elliptischen Modulfunctionen. Bd. I.