Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/113

2) что дуги круговъ, ограничивающія треугольникъ $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$, содержатъ въ себѣ менѣе 360°.

Докажемъ, что такой видъ треугольника дѣйствительно соотвѣтствуетъ условіямъ рѣшаемой нами задачи.

Что касается до угловъ треугольника, то они опредѣляются формулами (61), гдѣ $\lambda _{1},\ \lambda _{2},\ \lambda$ суть цѣлыя числа. Ясно, что они меньше $\pi$.

Докажемъ теперь, что ни одна изъ сторонъ треугольника $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$ не можетъ содержать въ себѣ 360° или больше.

Допустимъ, что въ дугѣ $u_{0}\ u_{1}$ больше 360°; пусть она равна:

$k\,.\,360^{\circ }+\psi ^{\circ },$

‎гдѣ $\psi ^{\circ }<360^{\circ }$, а $k$ цѣлое положительное число.

Это значитъ, что пока точка $z$ проходитъ по дѣйствительной оси отрѣзокъ 01, точка $u$ описываетъ $k$ полныхъ окружностей и еще дугу въ $\psi ^{\circ }$.

Посмотримъ, какой путь въ то же время проходитъ точка:

$U={\frac {y_{2}}{y_{1}}}=z^{1-\gamma }{\frac {F(\alpha -\gamma +1,\;\beta -\gamma +1,\;2-\gamma ,\;z)}{F(\alpha ,\;\beta ,\;\gamma ,\;z)}}.$

(56)

‎Она связана съ точкою $u$ соотношеніемъ:

$u={\frac {a_{1}U+b_{1}}{c_{1}U+d_{1}}},$

(59')

‎откуда:

$U={\frac {d_{1}u-b_{1}}{a_{1}-c_{1}u}}.$

(62)

‎Мы видѣли выше, что пока точка $z$ движется по отрѣзку 01 дѣйствительной оси, точка $U$ движется по дѣйствительной оси, а точка $u$ описываетъ дугу $u_{0}\ u_{1}$. Слѣдовательно линейная подстановка (62) преобразуетъ точки дуги $u_{0}\ u_{1}$ въ точки дѣйствительной оси. Всякій разъ, когда точка $u_{1}$, двигаясь по дугѣ $u_{0}\ u_{1}$, описываетъ полную окружность, точка $U$ пробѣгаетъ всю дѣйствительную ось.

‎Мы предположили, что дуга $u_{0}\ u_{1}$ равна:

$k\,.\,360^{\circ }+\psi ^{\circ }.$

Тот же текст в современной орфографии

2) что дуги кругов, ограничивающие треугольник $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$, содержат в себе менее 360°.

Докажем, что такой вид треугольника действительно соответствует условиям решаемой нами задачи.

Что касается углов треугольника, то они определяются формулами (61), где $\lambda _{1},\ \lambda _{2},\ \lambda$ суть целые числа. Ясно, что они меньше $\pi$.

Докажем теперь, что ни одна из сторон треугольника $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$ не может содержать в себе 360° или больше.

Допустим, что в дуге $u_{0}\ u_{1}$ больше 360°; пусть она равна:

$k\cdot 360^{\circ }+\psi ^{\circ },$

‎где $\psi ^{\circ }<360^{\circ }$, а $k$ — целое положительное число.

Это значит, что пока точка $z$ проходит по действительной оси отрезок 01, точка $u$ описывает $k$ полных окружностей и еще дугу в $\psi ^{\circ }$.

Посмотрим, какой путь в то же время проходит точка:

$U={\frac {y_{2}}{y_{1}}}=z^{1-\gamma }{\frac {F(\alpha -\gamma +1,\;\beta -\gamma +1,\;2-\gamma ,\;z)}{F(\alpha ,\;\beta ,\;\gamma ,\;z)}}.$

(56)

‎Она связана с точкой $u$ соотношением:

$u={\frac {a_{1}U+b_{1}}{c_{1}U+d_{1}}},$

(59')

‎откуда:

$U={\frac {d_{1}u-b_{1}}{a_{1}-c_{1}u}}.$

(62)

‎Мы видели выше, что пока точка $z$ движется по отрезку 01 действительной оси, точка $U$ движется по действительной оси, а точка $u$ описывает дугу $u_{0}\ u_{1}$. Следовательно линейная подстановка (62) преобразует точки дуги $u_{0}\ u_{1}$ в точки действительной оси. Всякий раз, когда точка $u_{1}$, двигаясь по дуге $u_{0}\ u_{1}$, описывает полную окружность, точка $U$ пробегает всю действительную ось.

‎Мы предположили, что дуга $u_{0}\ u_{1}$ равна:

$k\cdot 360^{\circ }+\psi ^{\circ }.$