Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/122

${\frac {1}{\lambda }}+{\frac {1}{\lambda _{1}}}+{\frac {1}{\lambda _{2}}}<1.$

(66)

‎Неравенство (66) имѣетъ безконечное число цѣлыхъ и положительныхъ рѣшеній.

Первая часть теоремы доказана.

II. Пусть сумма внутреннихъ угловъ треугольника равна $\pi$:

${\frac {\pi }{\lambda }}+{\frac {\pi }{\lambda _{1}}}+{\frac {\pi }{\lambda _{2}}}=\pi ,$

(67)

‎откуда:

${\frac {1}{\lambda }}+{\frac {1}{\lambda _{1}}}+{\frac {1}{\lambda _{2}}}=1.$

(68)

‎Неопредѣленное уравненіе (68) имѣетъ лишь четыре слѣдующія системы цѣлыхъ и положительныхъ рѣшеній:

${\begin{array}{r|c|c|c|c|}\hline \lambda =&3&4&6&\infty \\\hline \lambda _{1}=&3&4&3&2\\\hline \lambda _{2}=&3&2&2&2\\\hline \end{array}}$[1]

(69)

‎Вторая часть теоремы доказана.

III. Пусть сумма внутреннихъ угловъ треугольника больше $\pi$:

${\frac {\pi }{\lambda }}+{\frac {\pi }{\lambda _{1}}}+{\frac {\pi }{\lambda _{2}}}>\pi ,$

(70)

‎откуда:

${\frac {1}{\lambda }}+{\frac {1}{\lambda _{1}}}+{\frac {1}{\lambda _{2}}}>1.$

(71)

1. Для аналогіи съ табл. ([[../../Глава II/ДО#Eq50|50]]) [[../../Глава II/ДО|главы II]] мы условимся полагать, что $\lambda \geqq \lambda _{1}\geqq \lambda _{2}.$

Тот же текст в современной орфографии

${\frac {1}{\lambda }}+{\frac {1}{\lambda _{1}}}+{\frac {1}{\lambda _{2}}}<1.$

(66)

‎Неравенство (66) имеет бесконечное число целых и положительных решений.

Первая часть теоремы доказана.

II. Пусть сумма внутренних углов треугольника равна $\pi$:

${\frac {\pi }{\lambda }}+{\frac {\pi }{\lambda _{1}}}+{\frac {\pi }{\lambda _{2}}}=\pi ,$

(67)

‎откуда:

${\frac {1}{\lambda }}+{\frac {1}{\lambda _{1}}}+{\frac {1}{\lambda _{2}}}=1.$

(68)

‎Неопределенное уравнение (68) имеет лишь четыре следующие системы целых и положительных решений:

${\begin{array}{r|c|c|c|c|}\hline \lambda =&3&4&6&\infty \\\hline \lambda _{1}=&3&4&3&2\\\hline \lambda _{2}=&3&2&2&2\\\hline \end{array}}$[1]

(69)

‎Вторая часть теоремы доказана.

III. Пусть сумма внутренних углов треугольника больше $\pi$:

${\frac {\pi }{\lambda }}+{\frac {\pi }{\lambda _{1}}}+{\frac {\pi }{\lambda _{2}}}>\pi ,$

(70)

‎откуда:

${\frac {1}{\lambda }}+{\frac {1}{\lambda _{1}}}+{\frac {1}{\lambda _{2}}}>1.$

(71)

1. Для аналогии с табл. (50) главы II мы условимся полагать, что $\lambda \geqslant \lambda _{1}\geqslant \lambda _{2}.$