Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/117

тричнаго съ треугольникомъ $u_{0}\ u_{1}\ {\bar {u}}_{\infty }$ относительно общей стороны $u_{1}\ {\bar {u}}_{\infty }$.

Треугольникъ ${\bar {u}}_{0}\ u_{1}\ {\bar {u}}_{\infty }$ будетъ служить подобнымъ отображеніемъ верхней полуплоскости при помощи другаго значенія:

${\bar {u}}={\bar {s}}(z)$

‎функціи $u=s(z)$, которое она пріобрѣла послѣ обхода около критической точки $+1$.

На основаніи теоремы 1 функція ${\bar {u}}={\bar {s}}(z)$ выражается черезъ $u=s(z)$ линейно:

$u={\frac {au+b}{cu+d}}.$

(55)

‎Треугольникъ ${\bar {u}}_{0}\ u_{1}\ {\bar {u}}_{\infty }$ можетъ быть полученъ изъ треугольника $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$ линейнымъ преобразованіемъ (55).

Условимся называть эквивалентными всякія двѣ фигуры, которыя могутъ быть получены одна изъ другой линейнымъ преобразованіемъ. Въ такомъ случаѣ труегольники $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$ и ${\bar {u}}_{0}\ u_{1}\ {\bar {u}}_{\infty }$ между собою эквивалентны.

Построимъ на плоскости сѣть^[1] треугольниковъ слѣдующимъ образомъ: возьмемъ треугольникъ $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$; на всѣхъ сторонахъ его построимъ треугольники, съ нимъ симметричные; на всѣхъ сторонахъ каждаго изъ построенныхъ треугольниковъ строимъ треугольники, симметричные съ ними относительно общей стороны, и т. д., пока будетъ возможно продолжать эти построенія. Такимъ образомъ мы или всю плоскость или нѣкоторую часть ея покроемъ сѣтью треугольниковъ.

Треугольники эти будутъ плотно прилегать другъ къ другу и нигдѣ не будутъ находить другъ на друга.

Въ самомъ дѣлѣ, всякіе два рядомъ лежащіе треугольника суть смежные: между ними незанятой части плоскости не остается; если же около какой-нибудь точки треугольники сходятся своими вершинами, то сумма угловъ, сходящихся около этой точки

1. Примѣры подобныхъ сѣтей см. ниже не чертежахъ: 11, 12, 14, 25, 26, 27, 28, 29, 30.

Тот же текст в современной орфографии

тричного с треугольником $u_{0}\ u_{1}\ {\bar {u}}_{\infty }$ относительно общей стороны $u_{1}\ {\bar {u}}_{\infty }$.

Треугольник ${\bar {u}}_{0}\ u_{1}\ {\bar {u}}_{\infty }$ будет служить подобным отображением верхней полуплоскости при помощи другого значения:

${\bar {u}}={\bar {s}}(z)$

‎функции $u=s(z)$, которое она приобрела после обхода около критической точки $+1$.

На основании теоремы 1 функция ${\bar {u}}={\bar {s}}(z)$ выражается через $u=s(z)$ линейно:

$u={\frac {au+b}{cu+d}}.$

(55)

‎Треугольник ${\bar {u}}_{0}\ u_{1}\ {\bar {u}}_{\infty }$ может быть получен из треугольника $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$ линейным преобразованием (55).

Условимся называть эквивалентными всякие две фигуры, которые могут быть получены одна из другой линейным преобразованием. В таком случае труегольники $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$ и ${\bar {u}}_{0}\ u_{1}\ {\bar {u}}_{\infty }$ между собой эквивалентны.

Построим на плоскости сеть^[1] треугольников следующим образом: возьмем треугольник $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$; на всех сторонах его построим треугольники, с ним симметричные; на всех сторонах каждого из построенных треугольников строим треугольники, симметричные с ними относительно общей стороны, и т. д., пока будет возможно продолжать эти построения. Таким образом мы или всю плоскость, или некоторую часть ее покроем сетью треугольников.

Треугольники эти будут плотно прилегать друг к другу и нигде не будут находить друг на друга.

В самом деле, всякие два рядом лежащие треугольника суть смежные: между ними незанятой части плоскости не остается; если же около какой-нибудь точки треугольники сходятся своими вершинами, то сумма углов, сходящихся около этой точки

1. Примеры подобных сетей см. ниже не чертежах: 11, 12, 14, 25, 26, 27, 28, 29, 30.