Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/100

$S^{n}=U^{-1}{\mathfrak {T}}^{n}U.$

(20)

‎Если $m$ есть порядокъ подстановки $S$, то должно имѣть мѣсто символическое равенство:

$S^{m}=U^{-1}{\mathfrak {T}}^{m}U=1.$

(21)

‎Изъ этого равенства слѣдуетъ, что:

${\mathfrak {T}}^{m}=1.$

(22)

‎Слѣдовательно порядокъ подстановки $S$ таковъ же, какъ и подстановки ${\mathfrak {T}}$. Это и слѣдовало ожидать, потому что подстановки $S$ и ${\mathfrak {T}}$ подобны^[1] между собою.

Подстановка ${\mathfrak {T}}^{m}(z)$ такова:

${\mathfrak {T}}^{m}(z)=\rho ^{m}e^{m\theta i}z.$

(23)

‎Если

${\mathfrak {T}}^{m}=1,$

(22)

‎то:

${\mathfrak {T}}^{m}=1,$

(22')

‎или:

$\rho ^{m}e^{m\theta i}z=z,$

(24)

‎откуда:

$\rho =1,\ m\theta =2h\pi ,$

(25)

‎гдѣ $h$ цѣлое число.

Слѣдовательно подстановки гиперболическія и локсодромическія никогда не могутъ быть конечнаго порядка. Подстановки же эллиптическія только тогда будутъ конечнаго порядка, когда онѣ приводятся къ виду:

${\frac {{\bar {z}}-z_{1}}{{\bar {z}}-z_{2}}}=\rho e^{\frac {2h\pi i}{m}}{\frac {z-z_{1}}{z-z_{2}}},$

(26)

‎гдѣ $m$ и $h$ взаимно простыя цѣлыя числа.

1. О подобныхъ подстановкахъ см. Serret. Cours d’algèbre supérieure т. II, стр. 257.

Тот же текст в современной орфографии

$S^{n}=U^{-1}{\mathfrak {T}}^{n}U.$

(20)

‎Если $m$ есть порядок подстановки $S$, то должно иметь место символическое равенство:

$S^{m}=U^{-1}{\mathfrak {T}}^{m}U=1.$

(21)

‎Из этого равенства следует, что:

${\mathfrak {T}}^{m}=1.$

(22)

‎Следовательно порядок подстановки $S$ таков же, как и подстановки ${\mathfrak {T}}$. Это и следовало ожидать, потому что подстановки $S$ и ${\mathfrak {T}}$ подобны^[1] между собой.

Подстановка ${\mathfrak {T}}^{m}(z)$ такова:

${\mathfrak {T}}^{m}(z)=\rho ^{m}e^{m\theta i}z.$

(23)

‎Если

${\mathfrak {T}}^{m}=1,$

(22)

‎то:

${\mathfrak {T}}^{m}=1,$

(22')

‎или:

$\rho ^{m}e^{m\theta i}z=z,$

(24)

‎откуда:

$\rho =1,\ m\theta =2h\pi ,$

(25)

‎где $h$ — целое число.

Следовательно подстановки гиперболические и локсодромические никогда не могут быть конечного порядка. Подстановки же эллиптические только тогда будут конечного порядка, когда они приводятся к виду:

${\frac {{\bar {z}}-z_{1}}{{\bar {z}}-z_{2}}}=\rho e^{\frac {2h\pi i}{m}}{\frac {z-z_{1}}{z-z_{2}}},$

(26)

‎где $m$ и $h$ — взаимно простые целые числа.

1. О подобных подстановках см. Serret. Cours d’algèbre supérieure, т. II, стр. 257.