Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/110

Это слѣдуетъ изъ того, что $s(z)$ есть отношеніе двухъ частныхъ интеграловъ гипергеометрическаго уравненія, а они имѣютъ лишь три критическія точки: 0, 1, $\infty$.

Теорема 3. Подобное отображеніе верхней полуплоскости при посредствѣ функціи:

$u=s(z)$

(53)

‎есть треугольникъ, образованный дугами круговъ и имѣющій углы соотвѣтственно равные:

${\frac {\pi }{\lambda }},\;{\frac {\pi }{\lambda _{1}}},\;{\frac {\pi }{\lambda _{2}}}.$

‎Выберемъ въ каждой изъ областей, указанныхъ въ § 9 по одному частному интегралу уравненія (50):

Въ области I:

$U={\frac {y_{2}}{y_{1}}}=z^{1-\gamma }{\frac {F(\alpha -\gamma +1,\;\beta -\gamma +1,\;2-\gamma ,\;z)}{F(\alpha ,\;\beta ,\;\gamma ,\;z)}},$

(56)

‎въ области II:

$V={\frac {y_{4}}{y_{3}}}=(1-z)^{\gamma -\alpha -\beta }{\frac {F(\gamma -\beta ,\;\gamma -\alpha ,\gamma -\alpha -\beta +1,\;1-z)}{F(\alpha ,\;\beta ,\;\alpha +\beta -\gamma +1,\;1-z)}},$

(57)

‎въ области III:

$W={\frac {y_{6}}{y_{5}}}=z^{\alpha -\beta }{\frac {F\left(\beta ,\;\beta -\gamma +1,\;\beta -\alpha +1,\;{\dfrac {1}{z}}\right)}{F\left(\alpha ,\;\alpha -\gamma +1,\;\alpha -\beta +1,\;{\dfrac {1}{z}}\right)}}.$

(58)

‎Интегралы $U,\ V,\ W$ будутъ существовать, понятно, и за предѣлами указанныхъ областей, но выраженія ихъ будутъ за этими предѣлами иныя, потому что ряды, стоящіе во вторыхъ частяхъ равенствъ (56), (57), (58) за предѣлами соотвѣтствующихъ областей станутъ расходящимися.

Функція $s(z)$ выражается линейно черезъ всѣ три частныхъ интеграла:

Тот же текст в современной орфографии

Это следует из того, что $s(z)$ есть отношение двух частных интегралов гипергеометрического уравнения, а они имеют лишь три критические точки: 0, 1, $\infty$.

Теорема 3. Подобное отображение верхней полуплоскости при посредстве функции:

$u=s(z)$

(53)

‎есть треугольник, образованный дугами кругов и имеющий углы соответственно равные:

${\frac {\pi }{\lambda }},\;{\frac {\pi }{\lambda _{1}}},\;{\frac {\pi }{\lambda _{2}}}.$

‎Выберем в каждой из областей, указанных в § 9 по одному частному интегралу уравнения (50):

В области I:

$U={\frac {y_{2}}{y_{1}}}=z^{1-\gamma }{\frac {F(\alpha -\gamma +1,\;\beta -\gamma +1,\;2-\gamma ,\;z)}{F(\alpha ,\;\beta ,\;\gamma ,\;z)}},$

(56)

‎в области II:

$V={\frac {y_{4}}{y_{3}}}=(1-z)^{\gamma -\alpha -\beta }{\frac {F(\gamma -\beta ,\;\gamma -\alpha ,\gamma -\alpha -\beta +1,\;1-z)}{F(\alpha ,\;\beta ,\;\alpha +\beta -\gamma +1,\;1-z)}},$

(57)

‎в области III:

$W={\frac {y_{6}}{y_{5}}}=z^{\alpha -\beta }{\frac {F\left(\beta ,\;\beta -\gamma +1,\;\beta -\alpha +1,\;{\dfrac {1}{z}}\right)}{F\left(\alpha ,\;\alpha -\gamma +1,\;\alpha -\beta +1,\;{\dfrac {1}{z}}\right)}}.$

(58)

‎Интегралы $U,\ V,\ W$ будут существовать, понятно, и за пределами указанных областей, но выражения их будут за этими пределами иные, потому что ряды, стоящие во вторых частях равенств (56), (57), (58), за пределами соответствующих областей станут расходящимися.

Функция $s(z)$ выражается линейно через все три частных интеграла: