Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/108

Въ такомъ случаѣ мы имѣемъ уравненіе:

$H^{\lambda _{1}}(u):c'T^{\lambda _{2}}(u):cf^{\lambda }(u)=z:z-1:1,$

(49)

‎корни котораго суть отношеніи частныхъ интеграловъ гипергеометрическаго уравненія (44) и удовлетворяютъ дифференціальному уравненію:

$[u]_{z}={\frac {1-{\dfrac {1}{\lambda _{1}^{2}}}}{2z^{2}}}+{\frac {1-{\dfrac {1}{\lambda _{2}^{2}}}}{2(z-1)^{2}}}+{\dfrac {{\dfrac {1}{\lambda _{1}^{2}}}+{\dfrac {1}{\lambda _{2}^{2}}}-{\dfrac {1}{\lambda ^{2}}}-1}{2z(z-1)}},$

(50)

‎при чемъ:

$\left.{\begin{array}{l}\alpha ={\dfrac {1}{2}}\left(1-{\dfrac {1}{\lambda _{1}}}-{\dfrac {1}{\lambda _{2}}}+{\dfrac {1}{\lambda }}\right),\\\beta ={\dfrac {1}{2}}\left(1-{\dfrac {1}{\lambda _{1}}}-{\dfrac {1}{\lambda _{2}}}-{\dfrac {1}{\lambda }}\right),\\\gamma =1-{\dfrac {1}{\lambda _{1}}},\end{array}}\right\}$

(51)

‎а числовыя величины $\lambda ,\ \lambda _{1},\ \lambda _{2}$ опредѣляются изъ таблицы ([[../../Глава II/ДО#Eq50|50]]) [[../../Глава II/ДО|главы II]].

Займемся изученіемъ свойствъ интеграла уравненія (50), считая числа $\lambda ,\ \lambda _{1},\ \lambda _{2}$ цѣлыми и положительными, но не давая имъ непремѣнно значенія, приведенныя въ таблицѣ ([[../../Глава II/ДО#Eq50|50]]) [[../../Глава II/ДО|главы II]]. Въ такомъ случаѣ частные интегралы уравненія (50) могутъ быть и трансцендентными функціями.

Слѣдуя Шварцу^[1] мы обозначимъ одинъ какой нибудь частный интегралъ уравненія (50) слѣдующимъ образомъ:

1. Шварцъ изучаетъ свойства интеграловъ уравненія: $[u]_{z}={\frac {1-\lambda ^{2}}{2z^{2}}}+{\frac {1-\nu ^{2}}{2(z-1)^{2}}}+{\dfrac {\lambda ^{2}-\mu ^{2}+\nu ^{2}-1}{2z(z-1)}}$
   и обозначаетъ одинъ изъ частныхъ интеграловъ его такъ: $s(\lambda ,\;\mu ,\;\nu ,\;z).$
   Приведенное выше уравненіе (50) есть простѣйшій частный случай уравненія Шварца. Мы ограничимся въ настоящей работѣ разсмотрѣніемъ только этого простѣйшаго частнаго случая.

Тот же текст в современной орфографии

В таком случае мы имеем уравнение:

$H^{\lambda _{1}}(u):c'T^{\lambda _{2}}(u):cf^{\lambda }(u)=z:z-1:1,$

(49)

‎корни которого суть отношении частных интегралов гипергеометрического уравнения (44) и удовлетворяют дифференциальному уравнению:

$[u]_{z}={\frac {1-{\dfrac {1}{\lambda _{1}^{2}}}}{2z^{2}}}+{\frac {1-{\dfrac {1}{\lambda _{2}^{2}}}}{2(z-1)^{2}}}+{\dfrac {{\dfrac {1}{\lambda _{1}^{2}}}+{\dfrac {1}{\lambda _{2}^{2}}}-{\dfrac {1}{\lambda ^{2}}}-1}{2z(z-1)}},$

(50)

‎причем:

$\left.{\begin{array}{l}\alpha ={\dfrac {1}{2}}\left(1-{\dfrac {1}{\lambda _{1}}}-{\dfrac {1}{\lambda _{2}}}+{\dfrac {1}{\lambda }}\right),\\\beta ={\dfrac {1}{2}}\left(1-{\dfrac {1}{\lambda _{1}}}-{\dfrac {1}{\lambda _{2}}}-{\dfrac {1}{\lambda }}\right),\\\gamma =1-{\dfrac {1}{\lambda _{1}}},\end{array}}\right\}$

(51)

‎а числовые величины $\lambda ,\ \lambda _{1},\ \lambda _{2}$ определяются из таблицы (50) главы II.

Займемся изучением свойств интеграла уравнения (50), считая числа $\lambda ,\ \lambda _{1},\ \lambda _{2}$ целыми и положительными, но не давая им непременно значения, приведенные в таблице (50) главы II. В таком случае частные интегралы уравнения (50) могут быть и трансцендентными функциями.

Следуя Шварцу^[1] мы обозначим один какой-нибудь частный интеграл уравнения (50) следующим образом:

1. Шварц изучает свойства интегралов уравнения: $[u]_{z}={\frac {1-\lambda ^{2}}{2z^{2}}}+{\frac {1-\nu ^{2}}{2(z-1)^{2}}}+{\dfrac {\lambda ^{2}-\mu ^{2}+\nu ^{2}-1}{2z(z-1)}}$
   и обозначает один из частных интегралов его так: $s(\lambda ,\;\mu ,\;\nu ,\;z).$
   Приведенное выше уравнение (50) есть простейший частный случай уравнения Шварца. Мы ограничимся в настоящей работе рассмотрением только этого простейшего частного случая.