Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/118

какъ разъ равна $2\pi$, потому что углы эти равны одной изъ величинъ: ${\frac {\pi }{\lambda }},\;{\frac {\pi }{\lambda _{1}}},\;{\frac {\pi }{\lambda _{2}}}$, гдѣ $\lambda ,\ \lambda _{1},\ \lambda _{2}$ суть числа цѣлыя и положительныя.

Отсюда видно, что если около какой либо точки треугольники сходятся своими вершинами, то число этихъ треугольниковъ четное; оно равно одному изъ чиселъ: $2\lambda ,\ 2\lambda _{1},\ 2\lambda _{2}$. Слѣдуя Клейну поступимъ такъ: первый треугольникъ $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$ оставимъ бѣлаго цвѣта; всѣ смежные съ нимъ затушуемъ; всѣ треугольники, смежные съ этими черными, оставимъ бѣлаго цвѣта, а всѣ смежные съ бѣлыми затушуемъ и т. д. Тогда всякій бѣлый треугольникъ будетъ окруженъ черными, и обратно. Если около какой либо точки нѣсколько треугольниковъ сходятся своими вершинами, то половина ихъ будетъ бѣлаго цвѣта, а другая половина чернаго цвѣта. Изъ сказаннаго выше ясно, что всѣ бѣлые треугольники будутъ подобными отображеніями верхней полуплоскости перемѣннаго $z$ при помощи различныхъ значеній многозначной функціи $s(z)$, а черные треугольники—подобными отображеніями нижней полуплоскости перемѣннаго $z$ при помощи значеній той же функціи. Точки, гдѣ треугольники сходятся вершинами, будутъ отображеніями критическихъ точекъ 0, 1, $\infty$, а число треугольниковъ одинаковаго цвѣта $\lambda ,\ \lambda _{1},\ \lambda _{2}$, сходящихся около такой точки, равно числу значеній функціи $s(z)$, связанныхъ между собою въ соотвѣтствующей критической точкѣ. Всѣ треугольники одинаковаго цвѣта эквивалентны между собою, и подстановки, преобразующія первый изъ нихъ во всѣ остальные, суть подстановки группы, соотвѣтствующей функціи $s(z)$.

Число треугольниковъ сѣти равно числу значеній функціи $s(z)$. Если функція $s(z)$ алгебраическая, то число треугольниковъ сѣти конечно и сѣть покроетъ собою всю плоскость перемѣннаго $u=s(z)$, ибо алгебраическая функція можетъ пріобрѣтать всѣ значенія. Если функція $s(z)$ трансцендентная, то въ сѣти можетъ быть безконечное число треугольниковъ и эти треугольники могутъ закрывать не всю плоскость.

Возьмемъ два смежныхъ треугольника сѣти; вмѣстѣ они

Тот же текст в современной орфографии

как раз равна $2\pi$, потому что углы эти равны одной из величин: ${\frac {\pi }{\lambda }},\;{\frac {\pi }{\lambda _{1}}},\;{\frac {\pi }{\lambda _{2}}}$, где $\lambda ,\ \lambda _{1},\ \lambda _{2}$ суть числа целые и положительные.

Отсюда видно, что если около какой-либо точки треугольники сходятся своими вершинами, то число этих треугольников четное; оно равно одному из чисел: $2\lambda ,\ 2\lambda _{1},\ 2\lambda _{2}$. Следуя Клейну, поступим так: первый треугольник $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$ оставим белого цвета; все смежные с ним затушуем; все треугольники, смежные с этими черными, оставим белого цвета, а все смежные с белыми затушуем, и т. д. Тогда всякий белый треугольник будет окружен черными, и обратно. Если около какой-либо точки несколько треугольников сходятся своими вершинами, то половина их будет белого цвета, а другая половина черного цвета. Из сказанного выше ясно, что все белые треугольники будут подобными отображениями верхней полуплоскости переменной $z$ при помощи различных значений многозначной функции $s(z)$, а черные треугольники — подобными отображениями нижней полуплоскости переменной $z$ при помощи значений той же функции. Точки, где треугольники сходятся вершинами, будут отображениями критических точек 0, 1, $\infty$, а число треугольников одинакового цвета $\lambda ,\ \lambda _{1},\ \lambda _{2}$, сходящихся около такой точки, равно числу значений функции $s(z)$, связанных между собой в соответствующей критической точке. Все треугольники одинакового цвета эквивалентны между собой, и подстановки, преобразующие первый из них во все остальные, суть подстановки группы, соответствующей функции $s(z)$.

Число треугольников сети равно числу значений функции $s(z)$. Если функция $s(z)$ алгебраическая, то число треугольников сети конечно, и сеть покроет собой всю плоскость переменной $u=s(z)$, ибо алгебраическая функция может приобретать все значения. Если функция $s(z)$ трансцендентная, то в сети может быть бесконечное число треугольников, и эти треугольники могут закрывать не всю плоскость.

Возьмем два смежных треугольника сети; вместе они