Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/123

‎Неравенство (71) имѣетъ лишь четыре^[1] системы цѣлыхъ и положительныхъ рѣшеній:

${\begin{array}{r|c|c|c|c|}\hline \lambda =&m&3&4&5\\\hline \lambda _{1}=&2&3&3&3\\\hline \lambda _{2}=&2&2&2&2\\\hline \end{array}}$

(72)

‎гдѣ $m$ произвольное цѣлое число.

Послѣдняя часть теоремы доказана.

Теорема 7. Если сумма внутреннихъ угловъ треугольниковъ меньше $\pi$, то сѣть содержитъ въ себѣ безконечно большое число треугольниковъ и заключается внутри конечнаго круга, ортогональнаго ко всѣмъ сторонамъ треугольниковъ сѣти. Функція $s(z)$, соотвѣтствующая такой сѣти, трансцендентная.

Черт. 9Пусть $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$ (черт. 9) есть одинъ изъ треугольниковъ сѣти и пусть сумма внутреннихъ угловъ его меньше $\pi$.

Построимъ эквивалентный ему треугольникъ $01v_{\infty }$ (черт. 10), имѣющій двѣ прямолинейныя стороны 01 и $0v_{\infty }$. При доказательствѣ приведенной выше леммы мы видѣли, что такой треугольникъ существуетъ и притомъ единственный.

1. Точнѣе было бы сказать, что въ таблицѣ (72) безконечное число рѣшеній, потому что число $m$ можетъ получать безконечное число значеній, и что существуетъ безконечное число типовъ сѣтей треугольниковъ, у которыхъ сумма внутреннихъ угловъ больше $\pi$. Но всѣ сѣти треугольниковъ, имѣющихъ углы равные ${\frac {\pi }{m}},\;{\frac {\pi }{2}},\;{\frac {\pi }{2}},$ совершенно одинаковы по своимъ свойствамъ: вотъ почему мы относимъ ихъ къ одному типу, давая слову типъ нѣсколько болѣе широкое значеніе.

Тот же текст в современной орфографии

‎Неравенство (71) имеет лишь четыре^[1] системы целых и положительных решений:

${\begin{array}{r|c|c|c|c|}\hline \lambda =&m&3&4&5\\\hline \lambda _{1}=&2&3&3&3\\\hline \lambda _{2}=&2&2&2&2\\\hline \end{array}}$

(72)

‎где $m$ — произвольное целое число.

Последняя часть теоремы доказана.

Теорема 7. Если сумма внутренних углов треугольников меньше $\pi$, то сеть содержит в себе бесконечно большое число треугольников и заключается внутри конечного круга, ортогонального ко всем сторонам треугольников сети. Функция $s(z)$, соответствующая такой сети, трансцендентная.

Черт. 9Пусть $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$ (черт. 9) есть один из треугольников сети и пусть сумма внутренних углов его меньше $\pi$.

Построим эквивалентный ему треугольник $01v_{\infty }$ (черт. 10), имеющий две прямолинейные стороны 01 и $0v_{\infty }$. При доказательстве приведенной выше леммы мы видели, что такой треугольник существует и притом единственный.

1. Точнее было бы сказать, что в таблице (72) бесконечное число решений, потому что число $m$ может получать бесконечное число значений, и что существует бесконечное число типов сетей треугольников, у которых сумма внутренних углов больше $\pi$. Но все сети треугольников, имеющих углы, равные ${\frac {\pi }{m}},\;{\frac {\pi }{2}},\;{\frac {\pi }{2}},$ совершенно одинаковы по своим свойствам: вот почему мы относим их к одному типу, давая слову тип несколько более широкое значение.