Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/112

Черт. 4‎какъ видно изъ формулы (56). При дальнѣйшемъ движеніи точки $z$ отъ 0 къ $-\infty$ точка $U$ пойдетъ по прямой, наклоненной къ оси $x$ подъ угломъ $(1-\gamma )\pi$, точка же $u$, повернувъ въ $u_{0}$ подъ такимъ же угломъ къ своему прежнему пути, пойдетъ по новой дугѣ круга $u_{0}\ u_{\infty }$. Это движеніе будетъ продолжаться до тѣхъ поръ, пока точка $z$ не дойдетъ до $\infty$.

Совершенно такими же разсужденіями мы убѣдимся въ томъ, что когда точка $z$, обогнувъ точку $z=\infty$ по безконечно малому полукругу, будетъ двигаться къ $+1$, точка $u$, повернувъ въ $u_{\infty }$ подъ угломъ $(\alpha -\beta )\pi$ къ прежнему пути, пойдетъ по дугѣ круга $u_{\infty }\ u_{1}$.

Наконецъ, когда точка $z$ обогнувъ точку 1 по безконечно малому полукругу, станетъ приближаться къ точкѣ своего выхода $a$, точка $u$, повернувъ въ $u_{1}$ подъ угломъ $(\gamma -\alpha -\beta )\pi$ къ своему прежнему пути, снова вступитъ на дугу круга $u_{1}\ u_{a}\ u_{0}$ и станетъ приближаться къ точкѣ $u_{a}$.

Итакъ, подобное отображеніе верхней полуплоскости помощью функціи $s(z)$ есть треугольникъ $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$, образованный дугами круговъ.

Углы этого треугольника суть:

$(1-\gamma )\pi ,\ (\gamma -\alpha -\beta )\pi ,\ (\alpha -\beta )\pi ,$

(60)

‎или, на основаніи формулъ (51):

${\frac {\pi }{\lambda _{1}}},\;{\frac {\pi }{\lambda _{2}}},\;{\frac {\pi }{\lambda }}.$

(61)

‎Необходимо замѣтить, что приведенный нами чертежъ 4 сдѣланъ въ предположеніи:

1) что углы треугольника $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$ всѣ меньше $\pi$,

Тот же текст в современной орфографии

Черт. 4‎как видно из формулы (56). При дальнейшем движении точки $z$ от 0 к $-\infty$ точка $U$ пойдет по прямой, наклоненной к оси $x$ под углом $(1-\gamma )\pi$, точка же $u$, повернув в $u_{0}$ под таким же углом к своему прежнему пути, пойдет по новой дуге круга $u_{0}\ u_{\infty }$. Это движение будет продолжаться до тех пор, пока точка $z$ не дойдет до $\infty$.

Совершенно такими же рассуждениями мы убедимся в том, что когда точка $z$, обогнув точку $z=\infty$ по бесконечно малому полукругу, будет двигаться к $+1$, точка $u$, повернув в $u_{\infty }$ под углом $(\alpha -\beta )\pi$ к прежнему пути, пойдет по дуге круга $u_{\infty }\ u_{1}$.

Наконец, когда точка $z$, обогнув точку 1 по бесконечно малому полукругу, станет приближаться к точке своего выхода $a$, точка $u$, повернув в $u_{1}$ под углом $(\gamma -\alpha -\beta )\pi$ к своему прежнему пути, снова вступит на дугу круга $u_{1}\ u_{a}\ u_{0}$ и станет приближаться к точке $u_{a}$.

Итак, подобное отображение верхней полуплоскости с помощью функции $s(z)$ есть треугольник $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$, образованный дугами кругов.

Углы этого треугольника суть:

$(1-\gamma )\pi ,\ (\gamma -\alpha -\beta )\pi ,\ (\alpha -\beta )\pi ,$

(60)

‎или, на основании формул (51):

${\frac {\pi }{\lambda _{1}}},\;{\frac {\pi }{\lambda _{2}}},\;{\frac {\pi }{\lambda }}.$

(61)

‎Необходимо заметить, что приведенный нами чертеж 4 сделан в предположении:

1) что углы треугольника $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$ все меньше $\pi$,