Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/107

Изъ чертежа 2 видно, что эти области заходятъ другъ за друга. Въ каждой изъ указанныхъ областей существуетъ по два частныхъ интеграла, весьма просто выражающихся при помощи гипергеометрическихъ рядовъ.

Интегралы эти суть слѣдующіе:

Въ области I:

$\left.{\begin{array}{l}y_{1}=F(\alpha ,\;\beta ,\;\gamma ,\;z)\ldots \ {\text{однозначный въ области I.}}\\y_{2}=z^{1-\gamma }F(\alpha -\gamma +1,\;\beta -\gamma +1,\;2-\gamma ,\;z)\ldots \ {\text{неоднознач-}}\\\quad \quad \quad \quad \quad {\text{ный въ области I.}}\end{array}}\right\}$

(46)

‎Въ области II:

$\left.{\begin{array}{l}y_{3}=F(\alpha ,\;\beta ,\;\alpha +\beta -\gamma +1,\;1-z)\ldots \ {\text{однозначный въ об-}}\\\quad \quad \quad \quad \quad {\text{ласти II.}}\\y_{4}=(1-z)^{\gamma -\alpha -\beta }F(\gamma -\beta ,\;\gamma -\alpha ,\gamma -\alpha -\beta +1,\;1-z)\ldots \ \\\quad \quad \quad \quad \quad \ldots \ {\text{неоднозначный въ области II.}}\end{array}}\right\}$

(47)

‎Въ области III:

${\begin{matrix}\left.{\begin{array}{l}y_{5}=z^{-\alpha }F\left(\alpha ,\;\alpha -\gamma +1,\;\alpha -\beta +1,\;{\dfrac {1}{z}}\right)\\y_{6}=z^{-\beta }F\left(\beta ,\;\beta -\gamma +1,\;\beta -\alpha +1,\;{\dfrac {1}{z}}\right)\end{array}}\right\}&{\begin{matrix}{\text{неоднозначные въ}}\\{\text{области III.}}\end{matrix}}\end{matrix}}$

(48)

‎Написанные ряды сходятся въ соотвѣтствующихъ областяхъ.

§ 10. Основныя свойства функцій Шварца.

Въ [[../../Глава II/ДО|главѣ II]] мы видѣли, что всякое (не двучленное) алгебраическое уравненіе, имѣющее группу линейныхъ подстановокъ, измѣненіемъ независимаго перемѣннаго приводится къ уравненію ([[../../Глава II/ДО#Eq54|54]]) [[../../Глава II/ДО|главы II]] и въ такомъ случаѣ корни его могутъ быть выражены въ видѣ отношеній частныхъ интеграловъ гипергеометрическаго уравненія.

Будемъ предполагать, что преобразованіе перемѣннаго совершено и будемъ снова обозначать независимое перемѣнное буквою $z$.

Тот же текст в современной орфографии

Из чертежа 2 видно, что эти области заходят друг за друга. В каждой из указанных областей существует по два частных интеграла, весьма просто выражающихся при помощи гипергеометрических рядов.

Интегралы эти суть следующие:

В области I:

$\left.{\begin{array}{l}y_{1}=F(\alpha ,\;\beta ,\;\gamma ,\;z)\ldots \ {\text{однозначный в области I.}}\\y_{2}=z^{1-\gamma }F(\alpha -\gamma +1,\;\beta -\gamma +1,\;2-\gamma ,\;z)\ldots \ {\text{неоднознач-}}\\\quad \quad \quad \quad \quad {\text{ный в области I.}}\end{array}}\right\}$

(46)

‎В области II:

$\left.{\begin{array}{l}y_{3}=F(\alpha ,\;\beta ,\;\alpha +\beta -\gamma +1,\;1-z)\ldots \ {\text{однозначный в об-}}\\\quad \quad \quad \quad \quad {\text{ласти II.}}\\y_{4}=(1-z)^{\gamma -\alpha -\beta }F(\gamma -\beta ,\;\gamma -\alpha ,\gamma -\alpha -\beta +1,\;1-z)\ldots \ \\\quad \quad \quad \quad \quad \ldots \ {\text{неоднозначный в области II.}}\end{array}}\right\}$

(47)

‎В области III:

${\begin{matrix}\left.{\begin{array}{l}y_{5}=z^{-\alpha }F\left(\alpha ,\;\alpha -\gamma +1,\;\alpha -\beta +1,\;{\dfrac {1}{z}}\right)\\y_{6}=z^{-\beta }F\left(\beta ,\;\beta -\gamma +1,\;\beta -\alpha +1,\;{\dfrac {1}{z}}\right)\end{array}}\right\}&{\begin{matrix}{\text{неоднозначные в}}\\{\text{области III.}}\end{matrix}}\end{matrix}}$

(48)

‎Написанные ряды сходятся в соответствующих областях.

§ 10. Основные свойства функций Шварца.

В главе II мы видели, что всякое (не двучленное) алгебраическое уравнение, имеющее группу линейных подстановок, изменением независимой переменной приводится к уравнению (54) главы II, и в таком случае корни его могут быть выражены в виде отношений частных интегралов гипергеометрического уравнения.

Будем предполагать, что преобразование переменной совершено, и будем снова обозначать независимую переменную буквой $z$.