Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/115

Пусть точка $a$ перешла изъ верхней полуплоскости въ нижнюю чрезъ отрѣзокъ оси $x$, лежащій между 0 и 1. Точка $u$ выйдетъ изъ треугольника $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$ черезъ сторону $u_{0}\ u_{1}$, и, пока точка $z$ будетъ оставаться въ нижней полуплоскости, точка $u$ будетъ оставаться внѣ треугольника $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$. Чтобы найти подобное отображеніе всей нижней полуплоскости, мы заставимъ точку $z$ пройти всю ось $x$ справа влѣво, обходя критическія точки 0, 1, $\infty$ по безконечно малымъ полукругамъ, лежащимъ въ нижней полуплоскости.

Черт. 5Повторяя разсужденія, приведенныя выше, мы найдемъ, что отображеніе нижней полуплоскости есть треугольникъ $u_{0}\ u_{1}\ {\bar {u}}_{\infty }$ (черт. 5), имѣющій съ треугольникомъ $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$ общую сторону $u_{0}\ u_{1}$ и такіе же углы какъ и треугольникъ $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$. Остается доказать, что треугольники: $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$ и $u_{0}\ u_{1}\ {\bar {u}}_{\infty }$ симметричны относительно дуги $u_{0}\ u_{1}$.

Возьмемъ два пути на плоскости перемѣннаго $z$:

1) пусть $z$ идетъ по оси $x$ отъ 1 къ 0, обходитъ 0 по безконечно малому полукругу, лежащему въ верхней полуплоскости и идетъ по оси $x$ къ $-1$;

Черт. 62) пусть $z$ идетъ по оси $x$ отъ 1 къ 0, обходитъ 0 по безконечно малому полукругу, лежащему въ нижней полуплоскости и идетъ по оси $x$ къ $-1$.

Изъ формулы (56) видно, что при посредствѣ функціи $U$ первый путь отобразится ломанной $U_{0}\ U_{1}\ U_{-1}$ (черт. 6), а второй путь—ломанной $U_{0}\ U_{1}\ {\bar {U}}_{-1}$. Прямыя $U_{0}\ U_{-1}$ и $U_{0}\ {\bar {U}}_{-1}$ симметричны относительно дѣйствительной оси.

Тот же текст в современной орфографии

Пусть точка $a$ перешла из верхней полуплоскости в нижнюю чрез отрезок оси $x$, лежащий между 0 и 1. Точка $u$ выйдет из треугольника $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$ через сторону $u_{0}\ u_{1}$, и, пока точка $z$ будет оставаться в нижней полуплоскости, точка $u$ будет оставаться вне треугольника $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$. Чтобы найти подобное отображение всей нижней полуплоскости, мы заставим точку $z$ пройти всю ось $x$ справа влево, обходя критические точки 0, 1, $\infty$ по бесконечно малым полукругам, лежащим в нижней полуплоскости.

Черт. 5Повторяя рассуждения, приведенные выше, мы найдем, что отображение нижней полуплоскости есть треугольник $u_{0}\ u_{1}\ {\bar {u}}_{\infty }$ (черт. 5), имеющий с треугольником $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$ общую сторону $u_{0}\ u_{1}$ и такие же углы, как и треугольник $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$. Остается доказать, что треугольники: $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$ и $u_{0}\ u_{1}\ {\bar {u}}_{\infty }$ симметричны относительно дуги $u_{0}\ u_{1}$.

Возьмем два пути на плоскости переменной $z$:

1) пусть $z$ идет по оси $x$ от 1 к 0, обходит 0 по бесконечно малому полукругу, лежащему в верхней полуплоскости, и идет по оси $x$ к $-1$;

Черт. 62) пусть $z$ идет по оси $x$ от 1 к 0, обходит 0 по бесконечно малому полукругу, лежащему в нижней полуплоскости, и идет по оси $x$ к $-1$.

Из формулы (56) видно, что при посредстве функции $U$ первый путь отобразится ломанной $U_{0}\ U_{1}\ U_{-1}$ (черт. 6), а второй путь — ломанной $U_{0}\ U_{1}\ {\bar {U}}_{-1}$. Прямые $U_{0}\ U_{-1}$ и $U_{0}\ {\bar {U}}_{-1}$ симметричны относительно действительной оси.