Это равенство показываетъ что порядокъ параболической линейной подстановки не можетъ быть числомъ конечнымъ.
Такъ какъ въ послѣдующемъ намъ придется имѣть дѣло съ конечными группами линейныхъ подстановокъ, то всѣ подстановки, входящія въ составъ этихъ группъ, должны быть конечнаго порядка. Всѣ эти подстановки будутъ эллиптическія вида (26).
Вернемся къ геометрическимъ представленіямъ на сферѣ.
Повернемъ сферу около нѣкоторой оси, проходящей черезъ ея центръ на нѣкоторый уголъ .
Такому повороту сферы соотвѣтствуетъ нѣкоторое преобразованіе ея точекъ: каждой данной точкѣ сферы соотвѣтствуетъ нѣкоторая преобразованная точка , и обратно.
Одновременно съ точками сферы и точки плоскости тоже преобразуются: каждой данной точкѣ плоскости соотвѣтствуетъ единственная преобразованная точка , и обратно.
Ясно, что есть функція . Докажемъ, что она будетъ моногенная функція .
Пусть точка опишетъ нѣкоторую произвольную кривую на плоскости. Точка въ то же время опишетъ на сферѣ нѣкоторую кривую , подобную въ безконечно малыхъ частяхъ кривой : дѣйствительно, кривая есть стереографическая проэкція кривой , а въ стереографической проэкціи подобіе безконечно малыхъ частей сохраняется. Въ то же самое время точка опишетъ кривую , разнящуюся отъ лишь положеніемъ на сферѣ: кривая повернулась вмѣстѣ со сферою и заняла новое положеніе . Ясно, что не только подобна, но и равна C. Наконецъ, точка опишетъ кривую , служащую стереографической проэкціей кривой и, слѣдовательно, подобную кривой .
Если такъ, то кривыя и подобны между собою въ безконечно малыхъ частяхъ. Поэтому есть моногенная функція :
Это равенство показывает, что порядок параболической линейной подстановки не может быть числом конечным.
Так как в последующем нам придется иметь дело с конечными группами линейных подстановок, то все подстановки, входящие в состав этих групп, должны быть конечного порядка. Все эти подстановки будут эллиптические вида (26).
Вернемся к геометрическим представлениям на сфере.
Повернем сферу около некоторой оси, проходящей через ее центр, на некоторый угол .
Такому повороту сферы соответствует некоторое преобразование ее точек: каждой данной точке сферы соответствует некоторая преобразованная точка , и обратно.
Одновременно с точками сферы и точки плоскости тоже преобразуются: каждой данной точке плоскости соответствует единственная преобразованная точка , и обратно.
Ясно, что есть функция . Докажем, что она будет моногенная функция .
Пусть точка опишет некоторую произвольную кривую на плоскости. Точка в то же время опишет на сфере некоторую кривую , подобную в бесконечно малых частях кривой : действительно, кривая есть стереографическая проекция кривой , а в стереографической проекции подобие бесконечно малых частей сохраняется. В то же самое время точка опишет кривую , разнящуюся от лишь положением на сфере: кривая повернулась вместе со сферою и заняла новое положение . Ясно, что не только подобна, но и равна C. Наконец, точка опишет кривую , служащую стереографической проекцией кривой и, следовательно, подобную кривой .
Если так, то кривые и подобны между собой в бесконечно малых частях. Поэтому есть моногенная функция :
