Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/120

Черт. 8‎Изъ формулы (63) видно, что при $u=u_{0},\ v=0$; при $u=u_{1},\ v=1$; при $u=u'_{0},\ v=\infty$. Треугольникъ $01v_{\infty }$ (черт. 8), въ который $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$ преобразуется подстановкой (63), имѣетъ одну вершину въ точкѣ $+1$, другую въ началѣ координатъ; стороны треугольника 01, $0v_{\infty }$, выходящія изъ вершины 0, прямолинейны (ибо вторая точка пересѣченія ихъ лежитъ въ безконечности); углы треугольника $01v_{\infty }$ таковы же и такъ же расположены, какъ углы треугольника $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$, потому что треугольникъ $01v_{\infty }$ есть подобное отображеніе треугольника $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$ при посредствѣ линейной функціи (63). Сказанными свойствами треугольникъ $01v_{\infty }$ опредѣленъ вполнѣ: такой треугольникъ существуетъ и только одинъ.

Всякій треугольникъ ${\bar {u}}_{0}\ {\bar {u}}_{1}\ {\bar {u}}_{\infty }$, имѣющій съ треугольникомъ $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$ углы равные и сходственно расположенные, подстановкой:

$v={\frac {{\bar {u}}_{1}-{\bar {u}}'_{0}}{{\bar {u}}_{1}-{\bar {u}}_{0}}}\cdot {\frac {{\bar {u}}-{\bar {u}}_{0}}{{\bar {u}}-{\bar {u}}'_{0}}}$

‎преобразуется въ тотъ же треугольникъ $01v_{\infty }$.

Если такъ, то треугольники $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$ и ${\bar {u}}_{0}\ {\bar {u}}_{1}\ {\bar {u}}_{\infty }$ между собою эквивалентны.

Лемма доказана.

Теорема 5. Если данъ треугольникъ $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$, составленный дугами круговъ и имѣющій углы равные ${\frac {\pi }{\lambda }},\;{\frac {\pi }{\lambda _{1}}},\;{\frac {\pi }{\lambda _{2}}},$ гдѣ $\lambda ,\ \lambda _{1},\ \lambda _{2}$ числа цѣлыя и положительныя, то тѣмъ самымъ соотвѣтствующая ему функція $s(z)$ вполнѣ опредѣлена.

Подставимъ данныя намъ значенія $\lambda ,\ \lambda _{1},\ \lambda _{2}$ въ уравненіе (50), найдемъ какой нибудь частный интегралъ ${\bar {s}}(z)$ полученнаго уравненія и построимъ треугольникъ ${\bar {u}}_{0}\ {\bar {u}}_{1}\ {\bar {u}}_{\infty }$, соотвѣтствующій частному интегралу ${\bar {s}}(z)$. Треугольникъ ${\bar {u}}_{0}\ {\bar {u}}_{1}\ {\bar {u}}_{\infty }$ будетъ имѣть съ треугольникомъ $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$ углы соотвѣтственно равные и сходственно расположенные. На основаніи дока-

Тот же текст в современной орфографии

Черт. 8‎Из формулы (63) видно, что при $u=u_{0},\ v=0$; при $u=u_{1},\ v=1$; при $u=u'_{0},\ v=\infty$. Треугольник $01v_{\infty }$ (черт. 8), в который $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$ преобразуется подстановкой (63), имеет одну вершину в точке $+1$, другую — в начале координат; стороны треугольника 01, $0v_{\infty }$, выходящие из вершины 0, прямолинейны (ибо вторая точка пересечения их лежит в бесконечности); углы треугольника $01v_{\infty }$ таковы же и так же расположены, как углы треугольника $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$, потому что треугольник $01v_{\infty }$ есть подобное отображение треугольника $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$ при посредстве линейной функции (63). Сказанными свойствами треугольник $01v_{\infty }$ определен вполне: такой треугольник существует и только один.

Всякий треугольник ${\bar {u}}_{0}\ {\bar {u}}_{1}\ {\bar {u}}_{\infty }$, имеющий с треугольником $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$ углы равные и сходственно расположенные, подстановкой:

$v={\frac {{\bar {u}}_{1}-{\bar {u}}'_{0}}{{\bar {u}}_{1}-{\bar {u}}_{0}}}\cdot {\frac {{\bar {u}}-{\bar {u}}_{0}}{{\bar {u}}-{\bar {u}}'_{0}}}$

‎преобразуется в тот же треугольник $01v_{\infty }$.

Если так, то треугольники $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$ и ${\bar {u}}_{0}\ {\bar {u}}_{1}\ {\bar {u}}_{\infty }$ между собой эквивалентны.

Лемма доказана.

Теорема 5. Если дан треугольник $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$, составленный дугами кругов и имеющий углы, равные ${\frac {\pi }{\lambda }},\;{\frac {\pi }{\lambda _{1}}},\;{\frac {\pi }{\lambda _{2}}},$ где $\lambda ,\ \lambda _{1},\ \lambda _{2}$ числа целые и положительные, то тем самым соответствующая ему функция $s(z)$ вполне определена.

Подставим данные нам значения $\lambda ,\ \lambda _{1},\ \lambda _{2}$ в уравнение (50), найдем какой-нибудь частный интеграл ${\bar {s}}(z)$ полученного уравнения и построим треугольник ${\bar {u}}_{0}\ {\bar {u}}_{1}\ {\bar {u}}_{\infty }$, соответствующий частному интегралу ${\bar {s}}(z)$. Треугольник ${\bar {u}}_{0}\ {\bar {u}}_{1}\ {\bar {u}}_{\infty }$ будет иметь с треугольником $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$ углы соответственно равные и сходственно расположенные. На основании дока-