Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/96

Если кривыя $C$ и $C'$ сомкнуты, то мы условимся называть площадь $S'$, ограничиваемую кривою $C'$, подобнымъ отображеніемъ площади $S$, ограничиваемой кривою $C$.

Способность давать подобныя отображенія присуща исключительно моногеннымъ функціямъ. Если мы убѣдимся въ томъ, что нѣкоторая функція $z'$ перемѣннаго $z$ всякую кривую $C$ преобразуетъ въ кривую $C'$, подобную ей въ безконечно малыхъ частяхъ, то мы въ правѣ сказать, что $z'$ есть мопогенная функція $z$.

Построимъ сферу радіуса 1 съ центромъ въ началѣ координатъ.

Сѣченіе этой сферы плоскостью перемѣннаго $z$ назовемъ экваторомъ сферы. Полюсъ сферы, лежащій надъ плоскостью перемѣннаго $z$, назовемъ сѣвернымъ полюсомъ, а противоположный полюсъ—южнымъ.

Станемъ проэктировать стереографически изъ южнаго полюса точки плоскости на сферу. Обозначимъ проэкцію точки $z$ на сферу буквою $Z$. Точка $Z$ есть изображеніе количества

$z=x+iy$

‎на сферѣ.

Часть плоскости, лежащую кверху отъ дѣйствительной оси будемъ называть верхнею полуплоскостью, а соотвѣтствующую ей половину сферы—верхнею полусферою. Остальную половину плоскости будемъ называть нижнею полуплоскостью, а соотвѣтствующую ей полусферу—нижнею полусферою.

Говоря объ обходахъ на плоскости, мы постоянно будемъ имѣть въ виду въ то же время и соотвѣтствующіе имъ обходы на сферѣ.

Отнесемъ сферу къ прямоугольнымъ осямъ координатъ.

Пусть двѣ оси совпадаютъ съ осями $x$ и $y$ плоскости $z$; тогда третья ось пройдетъ черезъ полюсы сферы, ее мы назовемъ осью сферы.

Обозначимъ координаты точекъ сферы буквами $\xi ,\ \eta ,\ \zeta$. Уравненіе сферы будетъ таково:

$\xi ^{2}+\eta ^{2}+\zeta ^{2}=1$

(1)

Тот же текст в современной орфографии

Если кривые $C$ и $C'$ сомкнуты, то мы условимся называть площадь $S'$, ограничиваемую кривой $C'$, подобным отображением площади $S$, ограничиваемой кривой $C$.

Способность давать подобные отображения присуща исключительно моногенным функциям. Если мы убедимся в том, что некоторая функция $z'$ переменной $z$ всякую кривую $C$ преобразует в кривую $C'$, подобную ей в бесконечно малых частях, то мы вправе сказать, что $z'$ есть мопогенная функция $z$.

Построим сферу радиуса 1 с центром в начале координат.

Сечение этой сферы плоскостью переменной $z$ назовем экватором сферы. Полюс сферы, лежащий над плоскостью переменной $z$, назовем северным полюсом, а противоположный полюс — южным.

Станем проектировать стереографически из южного полюса точки плоскости на сферу. Обозначим проекцию точки $z$ на сферу буквой $Z$. Точка $Z$ есть изображение количества

$z=x+iy$

‎на сфере.

Часть плоскости, лежащую кверху от действительной оси, будем называть верхнею полуплоскостью, а соответствующую ей половину сферы — верхней полусферой. Остальную половину плоскости будем называть нижней полуплоскостью, а соответствующую ей полусферу — нижней полусферой.

Говоря об обходах на плоскости, мы постоянно будем иметь в виду в то же время и соответствующие им обходы на сфере.

Отнесем сферу к прямоугольным осям координат.

Пусть две оси совпадают с осями $x$ и $y$ плоскости $z$; тогда третья ось пройдет через полюсы сферы, ее мы назовем осью сферы.

Обозначим координаты точек сферы буквами $\xi ,\ \eta ,\ \zeta$. Уравнение сферы будет таково:

$\xi ^{2}+\eta ^{2}+\zeta ^{2}=1.$

(1)