Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/114

Если такъ, то пока точка $z$ опишетъ отрѣзокъ 01, точка $U$ должна пройти $k$ разъ всю дѣйствительную ось и еще нѣкоторый конечный отрѣзокъ ея. При такомъ измѣненіи функція $U$ должна $k$ разъ пройти черезъ безконечность. Обращаясь къ формулѣ (56), мы видимъ, что функція $U$ при $z$ дѣйствительномъ и лежащемъ между 0 и 1 только въ томъ случаѣ можетъ обратиться въ $\infty$, если рядъ

$F(\alpha ,\;\beta ,\;\gamma ,\;z)$

‎при этомъ значеніи $z$ равенъ 0. Между тѣмъ весьма простыми соображеніями мы убѣждаемся въ томъ, что при $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma$ удовлетворяющихъ условіямъ (51), функція

$F(\alpha ,\;\beta ,\;\gamma ,\;z)$

‎существенно положительна и отлична отъ 0 для всѣхъ значеній $z$, лежащихъ между 0 и 1^[1].

Такое противорѣчіе произошло отъ сдѣланнаго нами допущенія, что дуга $u_{0}\ u_{1}$ содержитъ въ себѣ болѣе 360°.

То же самое справедливо по отношенію къ двумъ другимъ сторонамъ треугольника $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$^[2].

Теорема 4. Подобное отображеніе нижней полуплоскости при помощи функціи $s(z)$ есть треугольникъ, смежный съ $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$ и симметричный съ нимъ относительно ихъ общей стороны.

1. Изъ формулъ (51) слѣдуетъ, что: $\alpha >0,\;\beta \geqq -{\frac {1}{4}},\;\gamma \geqq {\frac {1}{2}}.$
   Въ самомъ неблагопріятномъ случаѣ, когда $\lambda =\lambda _{1}=\lambda _{2},\;\alpha ={\frac {1}{4}},\;\beta =-{\frac {1}{4}},\;\gamma ={\frac {1}{2}},$
   функція $F(\alpha ,\;\beta ,\;\gamma ,\;z)$ непрерывно уменьшается отъ $F\left({\frac {1}{4}},\;-{\frac {1}{4}},\;{\frac {1}{2}},\;0\right)=1$, до $F\left({\frac {1}{4}},\;-{\frac {1}{4}},\;{\frac {1}{2}},\;1\right)={\frac {\Gamma ^{2}\left({\dfrac {1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\dfrac {1}{4}}\right)\Gamma \left({\dfrac {3}{4}}\right)}}={\frac {\sqrt {2}}{2}};$
   слѣдовательно она остается положительною.
2. Если бы мы стали изучать функцію Шварца общаго вида $S(\lambda ,\;\mu ,\;\nu ,\;z)$, то свойства ея оказались бы много сложнѣе.

Тот же текст в современной орфографии

Если так, то пока точка $z$ опишет отрезок 01, точка $U$ должна пройти $k$ раз всю действительную ось и еще некоторый конечный отрезок ее. При таком изменении функция $U$ должна $k$ раз пройти через бесконечность. Обращаясь к формуле (56), мы видим, что функция $U$ при $z$, действительном и лежащем между 0 и 1, только в том случае может обратиться в $\infty$, если ряд

$F(\alpha ,\;\beta ,\;\gamma ,\;z)$

‎при этом значении $z$ равен 0. Между тем весьма простыми соображениями мы убеждаемся в том, что при $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma$, удовлетворяющих условиям (51), функция

$F(\alpha ,\;\beta ,\;\gamma ,\;z)$

‎существенно положительна и отлична от 0 для всех значений $z$, лежащих между 0 и 1^[1].

Такое противоречие произошло от сделанного нами допущения, что дуга $u_{0}\ u_{1}$ содержит в себе более 360°.

То же самое справедливо по отношению к двум другим сторонам треугольника $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$^[2].

Теорема 4. Подобное отображение нижней полуплоскости при помощи функции $s(z)$ есть треугольник, смежный с $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$ и симметричный с ним относительно их общей стороны.

1. Из формул (51) следует, что: $\alpha >0,\;\beta \geqslant -{\frac {1}{4}},\;\gamma \geqslant {\frac {1}{2}}.$
   В самом неблагоприятном случае, когда $\lambda =\lambda _{1}=\lambda _{2},\;\alpha ={\frac {1}{4}},\;\beta =-{\frac {1}{4}},\;\gamma ={\frac {1}{2}},$
   функция $F(\alpha ,\;\beta ,\;\gamma ,\;z)$ непрерывно уменьшается от $F\left({\frac {1}{4}},\;-{\frac {1}{4}},\;{\frac {1}{2}},\;0\right)=1$ до $F\left({\frac {1}{4}},\;-{\frac {1}{4}},\;{\frac {1}{2}},\;1\right)={\frac {\Gamma ^{2}\left({\dfrac {1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\dfrac {1}{4}}\right)\Gamma \left({\dfrac {3}{4}}\right)}}={\frac {\sqrt {2}}{2}};$
   следовательно она остается положительной.
2. Если бы мы стали изучать функцию Шварца общего вида $S(\lambda ,\;\mu ,\;\nu ,\;z)$, то свойства ее оказались бы много сложнее.