Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/128

Эта страница не была вычитана

Изъ чертежей видно, что всѣ четыре сѣти покрываютъ собою всю плоскость и содержатъ въ себѣ безконечное число треугольниковъ. Всѣ сѣти имъ эквивалентныя, а въ томъ числѣ и сѣть, соотвѣтствующая первоначально взятому нами треугольнику $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$ тоже будутъ покрывать собою всю плоскость и содержать въ себѣ безконечное число треугольниковъ.

Группы, соотвѣтствующія этимъ сѣтямъ суть группы безконечнаго порядка. Функціи $s(z)$ , имъ соотвѣтствующія имѣютъ безконечное число значеній и суть функціи трансцендентныя.

Черт. 15Пусть $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$ есть треугольникъ сѣти и пусть сумма внутреннихъ угловъ его больше $\pi$ . Построивъ эквивалентный ему треугольникъ $01v_{\infty }$ (черт. 15), имѣющій двѣ прямолинейныя стороны, мы увидимъ, что дуга $1v_{\infty }$ обращена къ точкѣ 0 своею вогнутостью. Отсюда слѣдуетъ, что круга, ортогональнаго къ сторонамъ треугольника $01v_{\infty }$ , а слѣдовательно, и круга, ортогональнаго къ сторонамъ треугольника $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$ , не существуетъ. Но сдѣлать на основаніи этого заключеніе о томъ, будетъ ли сѣть покрывать собою всю плоскость и будетъ ли она содержать въ себѣ конечное число треугольниковъ—мы не можемъ. Поэтому разсматриваемый случай требуетъ особаго изученія тѣмъ больше, что мы въ правѣ предположить, что именно въ этомъ случаѣ функція $s(z)$ есть функція алгебраическая.

§ 12. Построеніе четырехъ типовъ сѣти треугольниковъ, у которыхъ сумма внутреннихъ угловъ больше $\pi$ .

Воспользуемся тѣми геометрическими представленіями на сферѣ, которыя были указаны въ § 8. Будемъ помнить, что всякому повороту сферы около оси, проходящей черезъ

Тот же текст в современной орфографии

Из чертежей видно, что все четыре сети покрывают собой всю плоскость и содержат в себе бесконечное число треугольников. Все сети им эквивалентные, а в том числе и сеть, соответствующая первоначально взятому нами треугольнику $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$ , тоже будут покрывать собой всю плоскость и содержать в себе бесконечное число треугольников.

Группы, соответствующие этим сетям, суть группы бесконечного порядка. Функции $s(z)$ , им соответствующие, имеют бесконечное число значений и суть функции трансцендентные.

Черт. 15Пусть $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$ есть треугольник сети и пусть сумма внутренних углов его больше $\pi$ . Построив эквивалентный ему треугольник $01v_{\infty }$ (черт. 15), имеющий две прямолинейные стороны, мы увидим, что дуга $1v_{\infty }$ обращена к точке 0 своей вогнутостью. Отсюда следует, что круга, ортогонального к сторонам треугольника $01v_{\infty }$ , а следовательно, и круга, ортогонального к сторонам треугольника $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$ , не существует. Но сделать на основании этого заключение о том, будет ли сеть покрывать собой всю плоскость и будет ли она содержать в себе конечное число треугольников — мы не можем. Поэтому рассматриваемый случай требует особого изучения тем больше, что мы вправе предположить, что именно в этом случае функция $s(z)$ есть функция алгебраическая.

§ 12. Построение четырех типов сети треугольников, у которых сумма внутренних углов больше $\pi$ .

Воспользуемся теми геометрическими представлениями на сфере, которые были указаны в § 8. Будем помнить, что всякому повороту сферы около оси, проходящей через