Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/99

Эта страница не была вычитана

Тогда подстановка (5) приметъ видъ:

${\frac {1}{{\bar {z}}-z_{0}}}={\frac {1}{z-z_{0}}}+A,$

(11)

‎гдѣ $A$ есть нѣкоторое постоянное число

Такую подстановку мы назовемъ параболической.

Посмотримъ, каковъ порядокъ линейной подстановки (5) въ каждомъ изъ указанныхъ четырехъ случаевъ.

Начнемъ снова съ первыхъ трехъ случаевъ.

Пусть подстановка (5) приведена къ виду:

${\frac {{\bar {z}}-z_{1}}{{\bar {z}}-z_{2}}}=\rho e^{\theta i}{\frac {z-z_{1}}{z-z_{2}}}.$

(10)

‎Введемъ такія обозначенія:

$S(z)={\frac {\alpha z+\beta }{\gamma z+\delta }},$

(12)

${\mathfrak {T}}(z)=\rho e^{\theta i}z,$

(13)

$U(z)={\frac {z-z_{1}}{z-z_{2}}}.$

(14)

‎Равенства (5) и (10) примутъ видъ:

${\bar {z}}=S(z),$

(15)

$U({\bar {z}})={\mathfrak {T}}U(z).$

(16)

‎Обозначая подстановку, обратную $U(z)$ , черезъ $U^{-1}(z)$ , мы находимъ изъ равенства (16):

${\bar {z}}=U^{-1}{\mathfrak {T}}U(z).$

(17)

‎Изъ равенствъ (15) и (17) слѣдуетъ:

$S(z)=U^{-1}{\mathfrak {T}}U(z),$

(18)

‎откуда:

$S=U^{-1}{\mathfrak {T}}U.$

(19)

‎Степень $n$ подстановки $S$ выразится такъ:

Тот же текст в современной орфографии

Тогда подстановка (5) примет вид:

${\frac {1}{{\bar {z}}-z_{0}}}={\frac {1}{z-z_{0}}}+A,$

(11)

‎где $A$ есть некоторое постоянное число

Такую подстановку мы назовем параболической.

Посмотрим, каков порядок линейной подстановки (5) в каждом из указанных четырех случаев.

Начнем снова с первых трех случаев.

Пусть подстановка (5) приведена к виду: