Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/104

Уголъ $\theta$, входящій въ формулу (37), какъ не трудно видѣть, равенъ углу, на который повернута сфера.

Введемъ такія обозначенія:

$\xi _{1}sin{\frac {\theta }{2}}=a,\ \eta _{1}sin{\frac {\theta }{2}}=b,\ \zeta _{1}sin{\frac {\theta }{2}}=c,\ cos{\frac {\theta }{2}}=d.$

(39)

‎Изъ уравненія сферы:

$\xi ^{2}+\eta ^{2}+\zeta ^{2}=1$

(1)

‎слѣдуетъ, что:

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=1.$

(40)

‎Подставимъ выраженія (38) величинъ $z_{1},\ z_{2}$ въ уравненіе (37) и рѣшимъ это уравненіе относительно ${\bar {z}}$, принимая при этомъ во вниманіе равенства (39) и (40). Въ результатѣ получимъ:

${\bar {z}}=-{\frac {(d+ic)z+(b-ia)}{(b+ia)z-(d-ic)}}.$

(41)

‎Формула (41) есть выраженіе эллиптической линейной подстановки, соотвѣтствующей повороту сферы на уголъ $\theta$ около оси, имѣющей полюсами:

$\xi _{1},\ \eta _{1},\ \zeta _{1}$ и $-\xi _{1},\ -\eta _{1},\ -\zeta _{1}.$

‎Обратимся теперь къ подобнымъ отображеніямъ, даваемымъ линейною подстановкою:

${\bar {z}}={\frac {\alpha z+\beta }{\gamma z+\delta }}.$

(5)

‎Функція (5) критическихъ точекъ не имѣетъ вовсе; производная:

${\frac {d{\bar {z}}}{dz}}={\frac {\alpha \delta -\beta \gamma }{(\gamma z+\delta )^{2}}}$

(42)

‎обращается въ 0 при $z=\infty$, а въ безконечность—одновременно съ ${\bar {z}}$.

Тот же текст в современной орфографии

Угол $\theta$, входящий в формулу (37), как не трудно видеть, равен углу, на который повернута сфера.

Введем такие обозначения:

$\xi _{1}\sin {\frac {\theta }{2}}=a,\ \eta _{1}\sin {\frac {\theta }{2}}=b,\ \zeta _{1}\sin {\frac {\theta }{2}}=c,\ \cos {\frac {\theta }{2}}=d.$

(39)

‎Из уравнения сферы:

$\xi ^{2}+\eta ^{2}+\zeta ^{2}=1$

(1)

‎следует, что:

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=1.$

(40)

‎Подставим выражения (38) величин $z_{1},\ z_{2}$ в уравнение (37) и решим это уравнение относительно ${\bar {z}}$, принимая при этом во внимание равенства (39) и (40). В результате получим:

${\bar {z}}=-{\frac {(d+ic)z+(b-ia)}{(b+ia)z-(d-ic)}}.$

(41)

‎Формула (41) есть выражение эллиптической линейной подстановки, соответствующей повороту сферы на угол $\theta$ около оси, имеющей полюсами:

$\xi _{1},\ \eta _{1},\ \zeta _{1}$ и $-\xi _{1},\ -\eta _{1},\ -\zeta _{1}.$

‎Обратимся теперь к подобным отображениям, даваемым линейной подстановкой:

${\bar {z}}={\frac {\alpha z+\beta }{\gamma z+\delta }}.$

(5)

‎Функция (5) критических точек не имеет вовсе; производная:

${\frac {d{\bar {z}}}{dz}}={\frac {\alpha \delta -\beta \gamma }{(\gamma z+\delta )^{2}}}$

(42)

‎обращается в 0 при $z=\infty$, а в бесконечность — одновременно с ${\bar {z}}$.