Алгебраические уравнения, разрешимые в гипергеометрических функциях (Лахтин)/Глава IX

Алгебраические уравнения, разрешимые в гипергеометрических функциях — Глава IX. Общая задача об алгебраических уравнениях, разрешимых в гипергеометрических функциях
автор Л. К. Лахтин

Опубл.: 1893 год.

§ 38. Некоторые свойства групп линейных подстановок  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

§ 39. Понятие об автоморфных функциях  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

§ 40. Упрощение общей задачи об алгебраических уравнениях, разрешимых в гипергеометрических функциях  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

---

ГЛАВА IX.

Общая задача об алгебраических уравнениях, разрешимых в гипергеометрических функциях.

Результаты, полученные нами в главах I—VII, дают возможность довольно просто решить главную задачу нашей работы: найти виды и способы решения алгебраических уравнений, разрешимых в гипергеометрических функциях. В настоящей главе мы рассмотрим, к каким более частным вопросам приводится решение этой общей задачи и каковы приемы решения этих вопросов.

Но прежде чем приступить к этой задаче, нам необходимо несколько пополнить то изложение свойств групп линейных подстановок, которое приведено в главах III и IV, и ознакомиться с понятием об автоморфных функциях и с главнейшими свойствами этих функций.

§ 38. Некоторые свойства групп линейных подстановок.

Пусть дана группа линейных подстановок:

$S_{0}=1,\ S_{1},\ S_{2},\ \ldots ,\ S_{N-1}.$

(1)

‎Порядок ее $N$ может быть конечным или бесконечно большим числом.

Отметим где-либо на плоскости переменной $u$ произвольную точку $u_{0}$. Совершив над количеством $u_{0}$ подстановки группы (1), мы получим $N$ точек на плоскости:

$u_{0},\ u_{1},\ u_{2},\ \ldots ,\ u_{N-1}.$

(2)

‎Точки эти эквивалентны между собой относительно подстановок группы (1). Число их конечно или бесконечно велико, смотря по тому, конечен или бесконечно велик порядок $N$ группы (1).

Может случиться, что каждая из точек (2) бесконечно близка к ближайшим точкам той же совокупности (2). Тогда группа (1) будет группой непрерывной; в противном случае группа (1) будет прерывной. Мы будем говорить только о прерывных группах. В прерывных группах некоторые из точек (2) могут лежать бесконечно близко друг к другу.

Таковы точки, лежащие на окружности на чертеже II.

Пусть $u_{0}$ лежит на конечном расстоянии от ближайшей к ней точки совокупности точек (2). Окружим ее какой-либо сомкнутой кривой весьма малых размеров так, чтобы внутри кривой лежала только одна точка $u_{0}$ из числа точек совокупности (2). Назовем площадь, ограниченную этою кривой — площадью $c_{0}$^[1]. Преобразуя площадь $c_{0}$ подстановками (1), мы получим $N$ эквивалентных между собой площадей:

$c_{0},\ c_{1},\ c_{2},\ \ldots ,\ c_{N-1}.$

(3)

‎В каждой из площадей (3) лежит по одной из числа точек (2).

Площадь $c_{0}$ всегда можно взять настолько малых размеров, чтобы площади (3) нигде не заходили друг за друга.

Станем увеличивать размеры площади $c_{0}$.

В то же время остальные площади (3) будут тоже возрастать. Продолжим увелечение площади $c_{0}$ до тех пор, пока она не придет в соприкосновение с одной или несколькими из площадей (3). В то же самое время каждая из площадей (3) придет в соприкосновение с таким же числом площадей совокупности (3). Если между площадью $c_{0}$ и соседними с ней площадями остается еще незанятая часть плоскости, то мы можем начать увеличение площади $c_{0}$ в новом направлении до тех пор, пока она в новой точке не встретится с одной из соседних областей, и т. д. В результате мы достигнем того, что области (3) будут плотно прилегать друг к другу на всем протяжении границы каждой из них, нигде не заходя друг за друга.

Назовем эти области в таком окончательном виде областями:

$C_{0},\ C_{1},\ C_{2},\ldots \ C_{N-1}.$

(4)

‎Эти области тоже между собой эквивалентны и, как мы сказали, плотно прилегают друг к другу, не заходя друг за друга. Они образуют некоторую сеть областей. Число областей сети равно порядку группы (1). Сеть может покрывать собой или всю плоскость, или только часть ее.

Каждая из областей (4), наприм. область $C_{0}$, обладает двумя главными свойствами:

1) Где бы мы ни взяли точку $u$ в той части плоскости, которая занята сетью, — в области $C_{0}$ найдется одна точка, ей эквивалентная.

2) Внутри области $C_{0}$ нет ни одной пары точек между собой эквивалентных. (Точки, лежащие на контуре области $C_{0}$, попарно эквивалентны между собой, как мы увидим ниже).

Каждую из областей (4) мы назовем основной областью группы (1).

Сказанные два свойства площади $C_{0}$ суть характерные свойства основной области, которые могут быть приняты за ее определение. Ясно, что те сети четырехугольников, которые мы рассматривали в главах III и IV, суть лишь частные случаи рассматриваемых нами теперь сетей.

Пусть сеть некоторой группы изображена на черт. 34.

Пусть точка $u_{0}$, лежащая внутри области $C_{0}$, приближается к границе этой области, переступает эту границу и входит в область $C_{4}$. В то же время точки

$u_{1},\ u_{2},\ u_{3},\ \ldots ,\ u_{N-1},$

(5)

‎соответственные с $u_{0}$, тоже приближаются к границам областей:

$C_{1},\ C_{2},\ C_{3},\ \ldots ,\ C_{N-1},$

‎переходят эти границы и вступают в смежные области.

Черт. 34В тот момент, когда $u_{0}$, перейдя границу $fd$, вступила в $C_{4}$, одна из соответственных точек (5) вступила внутрь области $C_{0}$. Для определенности положим, что именно точка $u_{1}$ вступила в область $C_{0}$ через границу $ab$.

Точки $u_{0}$ и $u_{1}$ связаны между собой одной из подстановок (1).

Пусть:

$u_{1}=S(u_{0}).$

‎Мы сказали, что в тот момент, когда $u_{0}$ приходит в некоторую точку границы $fd$, точка $u_{1}$ приходит в некоторую точку границы $ab$. Отсюда следует, что точки границы $fd$ эквивалентны точкам границы $ab$, и притом подстановка, преобразующая границу $ab$ в $fd$, есть подстановка $S_{1}$ группы (1).

Подстановка $S_{1}$ преобразует область $C_{0}$ в область $C_{1}$.

Этот результат совершенно аналогичен результату, полученному в § 13 для сети четырехугольников. Его мы можем формулировать в виде теоремы:

Теорема 1. Стороны основной области попарно эквивалентны между собой. Подстановки, преобразующие эквивалентные стороны основной области друг в друга, преобразуют основную область в смежные с ней основные области.

Эквивалентные между собой стороны основной области мы по-прежнему будем называть сопряженными.

Пусть подстановки, преобразующие попарно друг в друга сопряженные стороны области $C_{0}$, суть:

${\mathfrak {T}}_{1},\ {\mathfrak {T}}_{2},\ \ldots ,\ {\mathfrak {T}}_{\nu }.$

(6)

‎Эти подстановки (6) преобразуют область $C_{0}$ во все смежные с ней.

Повторяя рассуждения, приведенные в § 13, найдем, что из подстановок (6) можно составить любую подстановку группы (1).

В числе этих подстановок находятся все основные подстановки группы (1), хотя мы и не можем утверждать, что между ними нет неосновных подстановок.

Из приведенного выше определения основной области видно, что в выборе контура основной области есть некоторый произвол. И действительно, как мы сейчас увидим, контур основной области может быть деформируем в значительной степени.

Обратимся снова к чертежу 34 и пусть по-прежнему сторона $fd$ есть сторона, сопряженная с $ab$. Отделим внутри области $C_{0}$ произвольную площадь $fhd$, примыкающую к стороне $fd$. В области $C_{1}$ найдется площадь, эквивалентная площади $fhd$: пусть это будет $akb$. Площадь $akb$ непременно примыкает к стороне $ab$, сопряженной с $fd$. Вычтя из основной области площадь $fhd$ и прибавив площадь $akb$, получим площадь $akbcdhfg$, которая может быть принята за основную область группы (1) вместо области $C_{0}$.

Изменения основной области, подобные только что рассмотренному, мы будем называть возможными изменениями (erlaubte Abänderungen).

Производя возможные изменения основной области, мы можем ее деформировать значительно. Пользуясь возможными изменениями, мы всегда можем достичь того, чтобы:

1) Основная область была сплошной односвязной площадью.

2) Чтобы основная область была ограничена дугами кругов и прямыми линиями.

В таком виде мы и будем ее себе представлять.

Возьмем две группы $G$ и $g$. Пусть все подстановки группы $g$ входят в группу $G$.

Пусть порядки $g$ и $G$ равны $n$ и $N$, причем $n$ и $N$ суть числа конечные или бесконечно большие.

Пусть подстановки группы $g$ таковы:

$s_{0}=1,\ s_{1},\ s_{2},\ \ldots ,\ s_{n-1}.$

(7)

‎Повторяя рассуждения, весьма обычные в высшей алгебре, мы придем к заключению, что подстановки группы $G$ могут быть расположены в виде такой таблицы:

$\left.{\begin{array}{lllll}s_{0}=1,&s_{1},&s_{2},&\ldots &s_{n-1},\\s_{0}\sigma _{1}=\sigma _{1},&s_{1}\sigma _{1},&s_{2}\sigma _{1},&\ldots &s_{n-1}\sigma _{1},\\s_{0}\sigma _{2}=\sigma _{2},&s_{1}\sigma _{2},&s_{2}\sigma _{2},&\ldots &s_{n-1}\sigma _{2},\\\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots &\cdots \cdots &\cdots \cdots &\cdots &\cdots \cdots \cdots \\\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots &\cdots \cdots &\cdots \cdots &\cdots &\cdots \cdots \cdots \\s_{0}\sigma _{l-1}=\sigma _{l-1},&s_{1}\sigma _{l-1},&s_{2}\sigma _{l-1},&\ldots &s_{n-1}\sigma _{l-1},\\\end{array}}\right\}$

(8)

‎где:

$\sigma _{1},\ \sigma _{2},\ \ldots ,\ \sigma _{l-1}$

(9)

‎суть некоторые подстановки группы $G$, не входящие в $g$. Число $l$ равно отношению порядков групп $G$ и $g$^[2]:

$l={\frac {N}{n}}.$

(10)

‎Построим сеть, соответствующую группе $G$.

Найдем те из числа областей (4), которые соответствуют подстановкам:

$\sigma _{0}=1,\ \sigma _{1},\ \sigma _{2},\ \ldots ,\ \sigma _{l-1}.$

(11)

‎Пусть эти области суть:

$\Gamma _{0}=C_{0},\ \Gamma _{1},\ \Gamma _{2},\ \ldots ,\ \Gamma _{l-1}.$

(12)

‎Совокупность этих $l$ областей составляет некоторую площадь, вообще говоря, не сплошную. Обозначим ее буквой $c$. Докажем, что $c$ может быть принята за основную область группы $g$.

Часть плоскости, покрываемая сетью группы $G$, во всяком случае не меньше части плоскости, покрываемой сетью группы $g$.

Возьмем где-либо внутри этой части плоскости какую-либо точку $u$, не лежащую на границе области. Пусть область группы $g$, в которой лежит точка $u$, соответствует подстановке:

$s_{i}\sigma _{j},$

‎где $i$ равно одному из чисел $0,\ 1,\ 2,\ \ldots ,\ n-1$, а $j$ — одному из чисел: $0,\ 1,\ 2,\ \ldots ,\ l-1$.

Совершив над точкой $u$ подстановку

$s_{i}^{-1}$

‎группы $g$, мы найдем точку $u'$, лежащую в той области группы $G$, которая соответствует подстановке $\sigma _{j}$, т. е. найдем точку, лежащую внутри площади $c$.

Итак, каждой точке той части плоскости, которая занята сетью группы $g$, соответствует одна точка, лежащая внутри площади $c$ и эквивалентная взятой точке относительно подстановок группы $g$.

Докажем, что внутри площади $c$ нет ни одной пары точек, эквивалентных относительно подстановок группы $g$.

Допустим, что мы нашли пару точек $u$ и $u'$, связанных подстановкой $s_{i}$:

$u'=s_{i}(u)$

(13)

‎и лежащих внутри области $c$.

Точки $u$ и $u'$, эквивалентные относительно группы $g$, эквивалентны и относительно $G$. Следовательно, они не могут лежать внутри одной и той же из числа областей (12).

Если они лежат в двух различных из числа областей (12), то они связаны между собой одной из подстановок (11):

$u'=\sigma _{j}(u).$

(14)

‎Из равенств (13) и (14) следует, что подстановка $\sigma _{j}$ входит в группу $g$; а это противоречит условию.

Итак, действительно $c$ есть основная область группы $g$.

Покажем, что подстановки (11) всегда могут быть выбраны так, чтобы площадь $c$ была сплошная.

Пусть $\Gamma '$ есть область, смежная с $C_{0}$ и не входящая в число областей (12). Пусть подстановка, преобразующая $\Gamma _{0}$ в $\Gamma '$, есть $\sigma '$. Так как $\sigma '$ есть подстановка группы $G$, то она представится одной из формул (8). Пусть, напр.,

$\sigma '=s_{i}\sigma _{1}.$

(15)

‎Из символического равенства (15) следует:

$\sigma _{1}=s_{i}^{-1}\sigma '.$

(16)

‎Внеся это выражение $\sigma _{1}$ во вторую строку таблицы (8), находим:

$s_{0}s_{i}^{-1}\sigma ',\ s_{1}s_{i}^{-1}\sigma ',\ s_{2}s_{i}^{-1}\sigma ',\ \ldots ,\ s_{n-1}s_{i}^{-1}\sigma '.$

(17)

‎Те же подстановки, только в ином порядке, изобразятся формулами:

$s_{0}\sigma '=\sigma ',\ s_{1}\sigma ',\ s_{2}\sigma ',\ \ldots ,\ s_{n-1}\sigma '.$

(18)

‎Следовательно, вторую строку таблицы (8) можно заменить строкой (18). Вместе с тем подстановка $\sigma _{1}$ заменилась подстановкой $\sigma '$, а область $\Gamma _{1}$ областью $\Gamma '$ — смежной с $\Gamma _{0}$.

Делая подобные же замены, мы достигнем того, что подстановки (9) заменятся новыми подстановками

$\sigma ',\ \sigma '',\ \ldots ,\ \sigma ^{(l-1)},$

(19)

‎а области:

$\Gamma _{0}=C_{0},\ \Gamma _{1},\ldots \ \Gamma _{l-1}$

(12)

‎областями:

$\Gamma _{0}=C_{0},\ \Gamma ',\ldots \ \Gamma ^{(l-1)},$

(20)

‎составляющими сплошную площадь.

В дальнейшем мы будем предполагать, что подстановки (11) уже с самого начала были выбраны так, чтобы соответствующие им области (12) составляли сплошную площадь.

Полученные результаты можно формулировать в виде теоремы:

Теорема 2. Если группа $g$ порядка $n$ входит в группу $G$ порядка $N$, то за основную область группы $g$ можно принять сплошную площадь, состоящую из

$l={\frac {N}{n}}$

‎рядом лежащих областей группы $G$.

Ту же теорему можем формулировать несколько иначе:

Если группа $g$ порядка $n$ входит в группу $G$ порядка $N$, то после различных возможных изменений каждая основная область сети группы $g$ покроет собой как раз

$l={\frac {N}{n}}$

‎основных областей сети группы $G$.

Справедливость этого предложения легко проверить на чертежах (27) и (29), (28) и (30).

§ 39. Понятие об автоморфных функциях.

Пусть функция

$F(u)$

‎инвариантна по отношению к некоторой линейной подстановке:

${\bar {u}}={\frac {au+b}{cu+d}},$

(21)

‎т. е. пусть имеет место тождество:

$F\left({\frac {au+b}{cu+d}}\right)=F(u).$

(22)

‎В таком случае, следуя Клейну, мы будем называть функцию $F(u)$ — автоморфной функцией.

Следуя Клейну, мы будем иметь в виду исключительно однозначные автоморфные функции.

Само собой ясно, что если функция $F(u)$ инварианта по отношению к подстановке

$S(u)={\frac {au+b}{cu+d}},$

(23)

‎то она будет инвариантна и по отношению к степеням этой подстановки:

$S^{2},\ S^{3},\ \ldots$

‎Совокупность всех линейных подстановок, по отношению к которым функция $F(u)$ инвариантна, образуют некоторую группу. Эту группу мы обозначим буквой $G$ и будем называть ее группой автоморфной функции $F(u)$.

Порядок группы $G$ функции $F(u)$ может быть конечен или бесконечно велик.

Если порядок $N$ группы $G$ бесконечно велик, то функция $F(u)$ непременно трансцендентная.

В самом деле, пусть порядок группы $G$ бесконечно велик и пусть подстановки этой группы таковы:

$S_{0}=1,\ S_{1},\ S_{2},\ S_{3},\ \ldots$

(24)

‎Возьмем уравнение:

$F(u)=0.$

(25)

‎Пусть $u_{0}$ есть один из корней уравнения (25).

Ясно, что уравнению (25) удовлетворит весь бесконечный ряд величин:

$S_{0}(u_{0})=u_{0},\ S_{1}(u_{0})=u_{1},\ S_{2}(u_{0})=u_{2},\ S_{3}(u_{0})=u_{3},\ \ldots$

(26)

‎Уравнение (25) имеет бесконечно большое число корней.

Функция $F(u)$ действительно трансцендентная.

Примеры автоморфных функций известны в математике очень давно: всякая периодическая функция есть автоморфная. Действительно, положив в формуле (22):

$a=1,\ b=\omega ,\ c=0,\ d=1,$

‎находим:

$F(u+\omega )=F(u).$

‎Это равенство характеризует периодическую функцию с периодом $\omega$.

Функции

${\frac {H^{\lambda _{1}}(u)}{cf^{\lambda }(u)}},$

(27)

‎с которыми нам приходилось часто встречаться в предшествующих главах — тоже автоморфные. Группой $G$ такой функции служит группа соответствующего уравнения:

$H^{\lambda _{1}}(u):c'T^{\lambda _{2}}(u):cf^{\lambda }(u)=z:z-1:1.$

(28)

‎Функция (27) есть рациональная алгебраическая автоморфная функция. Порядок ее группы конечен. Группа $G$ составлена из двух основных подстановок. В этом отношении функция (27) имеет некоторую аналогию с двоякопериодическими функциями^[3].

Более общий пример автоморфной функции представляет нам функция, обратная функции Шварца.

$u=s\left({\frac {1}{\lambda _{1}}},\;{\frac {1}{\lambda }},\;{\frac {1}{\lambda _{2}}},\;z\right),$

(29)

‎где $\lambda ,\ \lambda _{1},\ \lambda _{2}$ суть какие угодно целые положительные числа.

Если

$z=F(u)$

(30)

‎есть автоморфная функция, имеющая группу $G$ линейных подстановок, то обратная ей функция:

$u=F^{-1}(z),$

(31)

‎необходимо, многозначна и значения ее связаны между собой подстановками группы $G$.

Может случиться, что число значений функции (31) равно порядку группы $G$. В таком случае подстановки группы $G$ связывают между собой все значения функции (31).

Условимся называть в таком случае функцию $F(u)$ собственно автоморфной.

В противном случае будем называть ее несобственно автоморфной^[4].

Докажем, что имеет место

Теорема 3. Если группа $g$ автоморфной функции $f(u)$ входит в группу $G$ автоморфной функции $F(u)$, и если функция $f(u)$ собственно автоморфная, то $F(u)$ есть однозначная функция от $f(u)$.

Положив

$z=f(u),$

(32)

‎мы найдем, что

$u=f^{-1}(z),$

(33)

‎где $f^{-1}$ есть символ функции, обратной функции $f$.

Подставив выражение (33) переменной $u$ в $F(u)$, находим:

$F(u)=F[f^{-1}(z)].$

(34)

‎Если функция $f(u)$ собственно автоморфная, то все значения функции

$u=f^{-1}(z)$

(33)

‎связаны между собой всевозможными подстановками группы $g$. При всевозможных обходах на плоскости $z$ величина $u$, определяемая по формуле (33), будет испытывать различные подстановки группы $g$. Так как все подстановки группы $g$ входят в $G$, то функция

$F(u)=F[f^{-1}(z)]$

(34)

‎после всевозможных сомкнутых обходов на плоскости $z$ сохраняет свою величину: она есть однозначная функция $z$.

Обозначив эту однозначную функцию через $R(z)$, находим:

$F(u)=R(z),$

(35)

‎или, вставляя вместо $z$ его выражение (32):

$F(u)=F[f(u)].$

(36)

Теорема доказана.

Следствие 1. Если функции $f(u)$ и $F(u)$ алгебраические, то $F(u)$ есть рациональная алгебраическая функция от $f(u)$.

Действительно, если $f(u)$ и $F(u)$ суть функции алгебраические, то и функция $R(z)$ — алгебраическая рациональная функция.

Следствие 2. Если функции $f(u)$ и $F(u)$ обе собственно автоморфные и при том обе алгебраические, то функция $R(z)$ есть рациональная дробь степени

$l={\frac {N}{n}}$

‎относительно $z$.

Докажем справедливость этого предложения.

Чтобы найти степень $R(z)$ относительно $z$, положим, что в уравнении

$F(u)=R(z)$

(35)

‎нам дана величина $F(u)$ и найдем, сколько величин переменной

$z=f(u)$

(32)

‎соответствует данной величине $F(u)$.

Если функция $F(u)$ собственно автоморфная, то все значения обратной ей функции связаны между собой подстановками группы $G$. Сохраняя прежние обозначения, мы можем сказать, что подстановки группы $G$ расположены в таблице (8).

Следовательно, значения величины $u$, соответствующие данной величине $F(u)$, таковы:

$\left.{\begin{array}{llll}s_{0}(u)=u,&s_{1}(u),&\ldots &s_{n-1}(u),\\s_{0}\sigma _{1}(u)=\sigma _{1}(u),&s_{1}\sigma _{1}(u),&\ldots &s_{n-1}\sigma _{1}(u),\\\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots &\cdots \cdots \cdots &\cdots &\cdots \cdots \cdots \cdots \\\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots &\cdots \cdots \cdots &\cdots &\cdots \cdots \cdots \cdots \\s_{0}\sigma _{l-1}(u)=\sigma _{l-1}(u),&s_{1}\sigma _{l-1}(u),&\ldots &s_{n-1}\sigma _{l-1}(u).\\\end{array}}\right\}$

(37)

‎Чтобы найти значения функции

$z=f(u),$

(32)

‎соответствующие данному значению $F(u)$, мы должны подставить в $f(u)$ вместо $u$ все величины (37).

Так как функция $f(u)$ не меняется от подстановок:

$s_{0}=1,\ s_{1},\ \ldots ,\ s_{n-1}$

(7)

‎группы $g$, то она будет иметь всего $l$ значений:

$f(u),\ f[\sigma _{1}(u))],\ \ldots ,\ f[\sigma _{n-1}(u)].$

(38)

‎Если данному значению $F(u)$ соответствует $l$ значений функции:

$z=f(u),$

(32)

‎то рациональная функция $R(z)$ — степени $l$ относительно $z$.

Следствие 3. Если $f(u)$ есть собственно автоморфная функция относительно подстановок группы $G$, то всякая собственно автоморфная функция $F(u)$, соответствующая той же группе $G$, есть линейная функция от $f(u)$.

Действительно, в данном случае из предшествующего следствия мы заключаем, что функции $F(u)$ и $f(u)$ связаны между собой соотношением вида (36), где R — рациональная функция 1-ой степени.

Следствие 4. Всякая автоморфная алгебраическая функция $F(u)$ может быть представлена в виде:

$F(u)=R\left[{\frac {H^{\lambda _{1}}(u)}{cf^{\lambda }(u)}}\right],$

(39)

‎где:

${\frac {H^{\lambda _{1}}(u)}{cf^{\lambda }(u)}}$

(27)

‎есть уже известная нам автоморфная функция, соответствующая группе $G$ функции $F(u)$, а $R$ есть алгебраическая рациональная дробь.

Действительно, алгебраической автоморфной функции $F(u)$ соответствует, как мы знаем, группа $G$ конечного порядка. Группы конечного порядка все нами рассмотрены в главах III и IV. Мы видели, что каждой группе конечного порядка соответствует своя функция Шварца:

$u=s\left({\frac {1}{\lambda _{1}}},\;{\frac {1}{\lambda }},\;{\frac {1}{\lambda _{2}}},\;z\right)$

(29)

‎и одна обратная ей алгебраическая автоморфная функция:

$z={\frac {H^{\lambda _{1}}(u)}{cf^{\lambda }(u)}}.$

(27')

‎Функция (27') есть собственно автоморфная. На основании следствия 1 из теоремы 3 мы можем сказать, что $F(u)$ есть рациональная алгебраическая функция $z$:

$F(u)=R(z),$

(35)

‎откуда, наконец:

$F(u)=R\left({\frac {H^{\lambda _{1}}(u)}{cf^{\lambda }(u)}}\right).$

(39)

‎Функцию собственно автоморфную относительно подстановок группы $g$ мы условимся обозначать через

$A_{g}(u).$

На основании только что доказанных следствий 1 и 3 можем сказать, что всякая другая функция собственно автоморфная относительно подстановок группы $g$, есть линейная функция от

$A_{g}(u),$

‎а всякая несобственно автоморфная функция есть вообще некоторая рациональная функция от

$A_{g}(u).$

‎§ 40. Упрощение общей задачи об алгебраических уравнениях, разрешимых в гипергеометрических Функциях.

Пусть алгебраическое уравнение:

$\psi (Y,\;z)=0$

(40)

‎имеет корнями алгебраические рациональные или иррациональные выразимые в радикалах функции независимой переменной $z$ и частных интегралов гипергеометрического уравнения:

$z(1-z){\frac {d^{2}y}{dz^{2}}}+[\gamma -(\alpha +\beta +1)z]{\frac {dy}{dz}}-\alpha \beta \gamma =0.$

(41)

‎Иными словами, пусть корни уравнения (40) суть функции вида:

$Y=\Phi (z,\;y_{1},\;y_{2},\;\ldots ),$

(42)

‎где $\Phi$ есть функция алгебраическая рациональная или иррациональная, выразимая в радикалах.

В таком случае мы скажем, что уравнение (40) разрешимо в гипергеометрических функциях.

Главной задачей нашей работы служит нахождение вида и свойств алгебраических уравнений, разрешимых в гипергеометрических функциях.

Мы налагаем на функцию $\Phi$ условие, чтобы она была алгебраической, потому что иначе мы ввели бы в решение уравнения (40) помимо гипергеометрических функций $y_{1},\ y_{2},\ \ldots$ еще новый элемент: трансцендентную функцию $\Phi$. Это была бы задача более широкая, чем та, которая составляет цель нашей работы^[5].

Мы говорим, что функция $\Phi$ — рациональная или иррациональная выразимая в радикалах, потому что иначе мы не могли бы определить вид этой функции: её вид пришлось бы определять снова из алгебраического уравнения и мы вернулись бы к первоначальной задаче.

Вот почему поставленную выше задачу можно назвать общей задачей об алгебраических уравнениях, разрешимых в гипергеометрических функциях.

Приступим к упрощению этой общей задачи.

Выразим все частные интегралы уравнения (41), входящие в формулу (42) в виде линейных функций двух из них: например $y_{1}$ и $y_{2}$, и вставим в функцию $\Phi$:

$Y=\varphi (z,\;y_{1},\;y_{2}),$

(43)

‎где $\varphi$ — функция рациональная или иррациональная, выразимая в радикалах.

Положим:

${\frac {y_{1}}{y_{2}}}=u,$

(44)

‎и докажем следующую теорему:

Теорема 4. Если алгебраическое уравнение (40) разрешимо в частных интегралах гипергеометрического уравнения (41), то отношение всяких двух линейно независимых частных интегралов $y_{1},\ y_{2}$ гипергеометрического уравнения (41):

${\frac {y_{1}}{y_{2}}}=u$

(44)

‎есть алгебраическая функция переменной $z$.

Вставим выражение (43) в уравнение (40) и освободим полученное таким образом равенство от радикалов и от знаменателей. В результате находим уравнение вида:

$X(z,\;y_{1},\;y_{2})=0,$

(45)

‎где $X$ есть целая рациональная функция от $z,\ y_{1},\ y_{2}$.

Расположим ее по степеням $z$:

$X_{0}(y_{1},\;y_{2})+X_{1}(y_{1},\;y_{2})z+X_{2}(y_{1},\;y_{2})z^{2}+\ldots =0.$

(46)

‎Совершим на плоскости переменной $z$ сомкнутый обход около одной из критических точек: $0,\ 1,\ \infty$ функций $y_{1},\ y_{2}$. После этого обхода переменная $z$ примет свое прежнее значение, а функции $y_{1},\ y_{2}$ преобразуются линейно:

$\left.{\begin{array}{l}{\bar {y}}_{1}=ay_{1}+by_{2},\\{\bar {y}}_{2}=cy_{1}+dy_{2}.\end{array}}\right\}$

(47)

‎Уравнение (46) примет такой вид:

$X_{0}({\bar {y}}_{1},\;{\bar {y}}_{2})+X_{1}({\bar {y}}_{1},\;{\bar {y}}_{2})z+X_{2}({\bar {y}}_{1},\;{\bar {y}}_{2})z^{2}+\ldots =0,$

(46)

‎или, после замены величин ${\bar {y}}_{1},\ {\bar {y}}_{2}$ их выражениями (47):

${\bar {X}}_{0}(y_{1},\;y_{2})+{\bar {X}}_{1}(y_{1},\;y_{2})z+{\bar {X}}_{2}(y_{1},\;y_{2})z^{2}+\ldots =0.$

(49)

‎Уравнение (49) может оказаться или тождественным с уравнением (46), или отличным от уравнения (46).

Если бы после двух различных обходов мы получили два уравнения вида (49), нетождественных ни между собой, ни с уравнением (46), то мы имели бы три нетождественных между собой уравнения с тремя неизвестными:

$z,\ y_{1},\ y_{2}.$

‎Из этих уравнений можно было бы найти все три неизвестных. В таком случае все три величины: $z,\ y_{1},\ y_{2}$ были бы постоянными, что, конечно, нелепо.

Итак, мы вправе предполагать, что уравнение (49) тождественно с уравнением (46). Коэффициенты их пропорциональны:

$\left.{\begin{array}{l}X_{0}(y_{1},\;y_{2})=C{\bar {X}}_{0}(y_{1},\;y_{2}),\\X_{1}(y_{1},\;y_{2})=C{\bar {X}}_{1}(y_{1},\;y_{2}),\\\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \end{array}}\right\}$

(50)

‎Между функциями $X_{0}(y_{1},\;y_{2}),\ X_{1}(y_{1},\;y_{2}),\ldots$ могут оказаться такие, которые нулевой степени относительно $y_{1},\ y_{2}$, т. е. не зависят от $y_{1},\ y_{2}$, но все они не могут быть нулевой степени, потому что иначе уравнение (46) было бы справедливо при всяких значениях $y_{1},\ y_{2}$, а уравнение (40) могло бы быть разрешено в радикалах без посредства гипергеометрических функций.

Положим, для определенности рассуждений, что функция $X_{0}(y_{1},\;y_{2})$ не нулевой степени.

Возьмем первое из тождеств (50):

$X_{0}(y_{1},\;y_{2})=C{\bar {X}}_{0}(y_{1},\;y_{2}).$

(51)

‎Функции $X_{0}(y_{1},\;y_{2})$ и ${\bar {X}}_{0}(y_{1},\;y_{2})$ — целые относительно $y_{1},\ y_{2}$, но они могут быть неоднородными.

В таком случае мы разобьем их на части так, чтобы каждая часть была однородна:

$\left.{\begin{array}{l}X_{0}(y_{1},\;y_{2})=\psi _{0}(y_{1},\;y_{2})+\psi _{1}(y_{1},\;y_{2})+\ldots ,\\{\bar {X}}_{0}(y_{1},\;y_{2})={\bar {\psi }}_{0}(y_{1},\;y_{2})+{\bar {\psi }}_{1}(y_{1},\;y_{2})+\ldots .\end{array}}\right\}$

(52)

‎Ясно, что тождество (51) возможно только при условии, что имеют место тождества:

$\left.{\begin{array}{l}\psi _{0}(y_{1},\;y_{2})=C{\bar {\psi }}_{0}(y_{1},\;y_{2}),\\\psi _{1}(y_{1},\;y_{2})=C{\bar {\psi }}_{1}(y_{1},\;y_{2}),\\\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \end{array}}\right\}$

(53)

Так как степень формы $X_{0}(y_{1},\;y_{2})$ выше 0, то в числе однородных форм:

$\psi _{0}(y_{1},\;y_{2}),\ \psi _{1}(y_{1},\;y_{2}),\ \ldots$

‎найдутся формы, степень которых выше 0.

Пусть степень формы $\psi _{0}(y_{1},\;y_{2})$ отлична от 0.

Возьмем первое из тождеств (53):

$\psi _{0}(y_{1},\;y_{2})=C{\bar {\psi }}_{0}(y_{1},\;y_{2}).$

(54)

‎Положив снова:

${\frac {y_{1}}{y_{2}}}=u,$

(44)

‎находим:

$\psi _{0}(u)=C{\bar {\psi }}_{0}(u).$

(55)

‎Тождество (55) показывает, что уравнение:

$\psi _{0}(u)=0$

(56)

‎инвариантно по отношению к линейным подстановкам группы $G$, соответствующей группе тех бинарных подстановок, которые испытывают частные интегралы $y_{1},\ y_{2}$ уравнения (41) при обходах на плоскости переменной $z$.

Уравнение (56) алгебраическое; следовательно, порядок группы $G$ конечен.

Отсюда заключаем, что функция:

${\frac {y_{1}}{y_{2}}}=u,$

(44)

‎есть алгебраическая функция Шварца, ибо она имеет конечную группу линейных подстановок. Она служит корнем алгебраического уравнения вида:

$H^{\lambda _{1}}(u):c'T^{\lambda _{2}}(u):cf^{\lambda }(u)={\frac {1}{c}}R(z):{\frac {1}{c}}R(z)-1:1$

(57)

‎Теорема доказана.

---

Величина $y_{2}$, как мы знаем из главы I, выражается через $u$ и $z$ такой формулой:

$y_{2}={\sqrt {\dfrac {T(u)R(z)}{f(u)H(u){\dfrac {dR(z)}{dz}}}}}e^{-{\frac {1}{2}}\int p_{1}\,dz},$

(58)

‎где $p_{1}$, в данном случае, выражается так:

$p_{1}={\frac {\gamma -(\alpha +\beta +1)z}{z(1-z)}}.$

(59)

‎Возникает вопрос, будет ли выражение:

$e^{-{\frac {1}{2}}\int p_{1}\,dz}$

‎алгебраической функцией $z$, или, что то же, будет ли $y_{2}$ алгебраической функцией $z$.

Из равенства (44) следует, что

$y_{1}=uy_{2}.$

‎Внеся это выражение $y_{1}$ в формулу (43), находим:

$Y=\varphi (z,\;uy_{2},\;y_{2}).$

(60)

‎В этом равенстве $u$ есть алгебраическая функция $z$, $\varphi$ есть алгебраическая функция, входящих в нее аргументов:

$z,\ u,\ y_{2},$

‎и все выражение, служащее правой частью равенства (60), равно $Y$ — алгебраической функции $z$.

Отсюда следует, что если $y_{2}$ действительно входит явным образом в выражение (60), то и она есть алгебраическая функция $z$.

Итак, возможны только два случая:

1) Функция $y_{2}$ в равенстве (60) явно не входит.

2) Функция $y_{2}$ есть алгебраическая функция $z$.

В первом случае $Y$ есть алгебраическая функция от $z$ и $u$ рациональная или иррациональная, выразимая в радикалах:

$Y=\omega (z,\;u).$

(61)

Во втором случае, вставив в формулу (60) вместо $y_{2}$ выражение (58), мы приведем формулу (60) к тому же виду (61), где $\omega$ есть снова функция алгебраическая рациональная или иррациональная, выразимая в радикалах.

Уравнение (40) можно рассматривать, как результат преобразования уравнения (57) подстановкой (61).

Это заключение можно формулировать в виде такой теоремы.

Теорема 4^[6]. Всякое алгебраическое уравнение, разрешимое в гипергеометрических функциях, может быть получено из уравнения вида (57) преобразованием переменной:

$Y=\omega (z,\;u),$

(61)

‎где $\omega$ — функция рациональная или иррациональная выразимая в радикалах.

I.

Пусть функция $\omega$ рациональна.

Посмотрим, как составляется в таком случае уравнение (40).

Перенесем все члены уравнения (61) влево:

$Y-\omega (z,\;u)=0,$

(62)

‎и станем совершать в формуле

$Y-\omega (z,\;u)$

(63)

‎над переменной $u$ линейные преобразования группы $G$ уравнения (57), считая $Y$ и $z$ постоянными параметрами.

Функция (63) может оказаться автоморфной по отношению к некоторым из подстановок группы $G$.

Выпишем все различные значения функции (63):

$Y-\omega _{0}(z,\;u),\ Y-\omega _{1}(z,\;u),\ \ldots ,\ Y-\omega _{l-1}(z,\;u).$

(64)

‎Перемножив величины (64) и приравняв произведение их нулю, мы получим уравнение, которому удовлетворяют значения $Y$:

$\prod _{i=0}^{l-1}\{Y-\omega _{i}(z,\;u)\}=0.$

(65)

Функция, стоящая в левой части уравнения (65), автоморфна относительно подстановок группы $G$. По следствию 4 из теоремы 3 ее можно представить в виде рациональной функции от собственно автоморфной функции

${\frac {H^{\lambda _{1}}(u)}{cf^{\lambda }(u)}}$

(27)

‎и параметров $Y$ и $z$:

$\prod _{i=0}^{l-1}\{Y-\omega _{i}(z,\;u)\}={\mathfrak {R}}\left(Y,\;z,\;{\frac {H^{\lambda _{1}}(u)}{cf^{\lambda }(u)}}\right),$

(66)

‎где ${\mathfrak {R}}$ — рациональная функция входящих в нее аргументов.

Степень функции ${\mathfrak {R}}$ относительно $Y$ равна $l$.

Из уравнения (57) следует:

${\frac {H^{\lambda _{1}}(u)}{cf^{\lambda }(u)}}={\frac {1}{c}}R(z).$

(57')

‎Внеся эту величину в формулу (66) и положив:

${\mathfrak {R}}\left\{Y,\;z,\;{\frac {1}{c}}R(z)\right\}=\psi (Y,\;z),$

(67)

‎находим:

$\prod _{i=0}^{l-1}\{Y-\omega _{i}(z,\;u)\}=\psi (Y,\;z).$

(68)

‎Приравняв эту функцию нулю, находим искомое уравнение

$\psi (Y,\;z)=0.$

(40)

‎Оно степени $l$ относительно $Y$. Число $l$, как мы видели, равно числу различных значений, приобретаемых функцией $\omega (Y,\;z)$ под влиянием подстановок группы $G$.

II.

Перейдем к общему случаю: пусть функция $\omega$, входящая в формулу (61), какая-нибудь иррациональная функция, выразимая в радикалах.

Освободим уравнение (61) от радикалов. Пусть оно примет вид:

$X(Y,\;z,\;u)=0,$

(69)

‎где $X$ — рациональная функция от $Y,\ z,\ u$.

Положим:

$H=X(Y,\;z,\;u).$

(70)

‎Будем рассматривать величины $Y$ и $z$ как постоянные параметры, и совершим над переменной $u$ в выражении

$X(Y,\;z,\;u)$

(71)

‎всевозможные подстановки группы $G$.

Пусть все различные значения, приобретаемые функцией (71) под влиянием этих подстановок, таковы:

$X_{0}(Y,\;z,\;u),\ X_{1}(Y,\;z,\;u),\ \ldots ,\ X_{l-1}(Y,\;z,\;u).$

(72)

‎Функция:

$\prod _{i=0}^{l-1}\{H-X_{i}(Y,\;z,\;u)\}$

(73)

‎по отношению к переменной $u$ есть автоморфная функция, соответствующая группе $G$.

Повторяя рассуждения, приведенные при рассмотрении предыдущего случая, найдем, что функцию (73) можно представить в виде рациональной функции аргументов

$H,\ Y,\ z:$

$\prod _{i=0}^{l-1}\{H-X_{i}(Y,\;z,\;u)\}={\mathfrak {R}}(H,\;Y,\;z).$

(74)

‎Положив в обеих частях этого равенства

$H=0,$

‎и введя обозначение:

${\mathfrak {R}}(0,\;Y,\;z)=\psi (Y,\;z),$

(75)

‎находим:

$(-1)^{l}\prod _{i=0}^{l-1}\{X_{i}(Y,\;z,\;u)\}=\psi (Y,\;z).$

(76)

‎Приравняв нулю найденную функцию $\psi (Y,\;z)$, мы получим искомое уравнение:

$\psi (Y,\;z)=0,$

(40)

‎которому удовлетворяют значения функции $Y$.

Это уравнение есть результат преобразования уравнения (57) иррациональной подстановкой (61).

Рассматривая сделанные нами вычисления, мы находим, что преобразование уравнения (57) подстановкой (61) может быть достигнуто следующим приемом.

1) Освободив уравнение

$Y=\omega (z,\;u)$

(61)

‎от радикалов, находим уравнение:

$X(Y,\;z,\;u)=0.$

(69)

‎2) Преобразуем уравнение (57) рациональной подстановкой:

$H=X(Y,\;z,\;u),$

(70)

‎где $H$ есть новая переменная, а $Y$ и $z$ — параметры.

В результате этого рационального преобразования находим уравнение:

${\mathfrak {R}}(H,\;Y,\;z)=0.$

‎3) Положив в этом уравнении

$H=0,$

‎находим уравнение

${\mathfrak {R}}(0,\;Y,\;z)=0,$

‎или, введя обозначение (75)

$\psi (Y,\;z)=0.$

(40)

‎Уравнение (40) и есть искомое.

---

Таким образом нахождение уравнения (40) во всяком случае приводится к рациональному преобразованию уравнения (57).

---

Простейший случай иррационального преобразования таков:

$Y={\sqrt[{m}]{{\bar {\omega }}(z,\;u)}},$

(77)

‎где ${\bar {\omega }}$ — рациональная функция величин $z$ и $u$.

В этом случае указанный выше прием может быть упрощен.

Положив:

$H=Y^{m}={\bar {\omega }}(z,\;u),$

(78)

‎мы преобразуем уравнение (57) рациональной подстановкой:

$H={\bar {\omega }}(z,\;u).$

(79)

‎Найдя результат этого преобразования:

$\psi _{1}(H,\;z)=0,$

(80)

‎и заменив $H$ величиной $Y^{m}$, находим уравнение:

$\psi _{1}(Y^{m},\;z)=0.$

(81)

‎или, что то же, искомое уравнение:

$\psi (Y,\;z)=0.$

(40)

‎Уравнения, рассмотренные нами в главах I и VIII получаются из уравнения (57) преобразованием вида:

$y={\sqrt {\dfrac {T(u)R(z)}{f(u)H(u){\dfrac {dR(z)}{dz}}}}}e^{-{\frac {1}{2}}\int p_{1}\,dz}.$

‎Это — преобразование вида (77).

---

Из сказанного выше следует, что наибольшую важность представляет рациональное преобразование уравнения (57). Поэтому в дальнейших наших исследованиях мы будем говорить исключительно о рациональных преобразованиях уравнения (57).

Итак, пусть $\omega$ есть рациональная функция $z$ и $u$.

Мы сказали, что функция:

$\omega (z,\;u)$

‎под влиянием подстановок группы $G$ порядка $N$ приобретает $l$ различных значений.

Найдем совокупность подстановок группы $G$, не меняющих функцию $\omega (z,\;u)$. Эти подстановки образуют некоторую группу $g$ порядка $n$, входящую в $G$. Отношение порядков этих групп равно числу $l$:

$l={\frac {N}{n}}$

‎(Может случиться, что группа $g$ есть группа единица. Это будет тогда, когда все подстановки группы $G$ меняют функцию $\omega (z,\;u)$. В таком случае $l=N$).

Составим собственно автоморфную функцию:

$\zeta =A_{g}(u),$

(82)

‎соответствующую группе $g$.

Из теоремы 3 следует, что $\omega (z,\;u)$ есть рациональная функция от $\zeta$ и параметра $z$:

$Y=\omega (z,\;u)=\chi (\zeta ,\;z).$

(83)

‎Так как функции:

${\frac {H^{\lambda _{1}}(u)}{cf^{\lambda }(u)}},\ {\frac {c'T^{\lambda _{2}}(u)}{cf^{\lambda }(u)}}$

‎тоже автоморфны относительно подстановок группы $g$, то их также можно представить в виде рациональных функций величины $\zeta$:

$\left.{\begin{array}{l}{\dfrac {H^{\lambda _{1}}(u)}{cf^{\lambda }(u)}}={\dfrac {F_{1}(\zeta )}{F(\zeta )}},\\{\dfrac {c'T^{\lambda _{2}}(u)}{cf^{\lambda }(u)}}={\dfrac {F_{2}(\zeta )}{F(\zeta )}},\end{array}}\right\}$

(84)

‎где $F(\zeta ),\ F_{1}(\zeta ),\ F_{2}(\zeta )$ суть целые рациональные алгебраические функции $\zeta$.

Внеся эти выражения в уравнение (57), находим:

$F_{1}(\zeta ):F_{2}(\zeta ):F(\zeta )={\frac {1}{c}}R(z):{\frac {1}{c}}R(z)-1:1.$

(85)

‎Так как функции, стоящие в левой части равенств (84), суть собственно автоморфные функции, соответствующие группе $G$, то по следствию 2 теоремы 3 мы можем сказать, что как вторые части равенств (84), так и уравнение (85) — степени

$l={\frac {N}{n}}$

‎относительно $\zeta$.

Возьмем уравнения:

$H^{\lambda _{1}}(u):c'T^{\lambda _{2}}(u):cf^{\lambda }(u)={\frac {1}{c}}R(z):{\frac {1}{c}}R(z)-1:1,$

(57)

$\zeta =A_{g}(u),$

(82)

$F_{1}(\zeta ):F_{2}(\zeta ):F(\zeta )={\frac {1}{c}}R(z):{\frac {1}{c}}R(z)-1:1,$

(85)

$Y=\chi (\zeta ,\;z),$

(83')

$\psi (Y,\;z)=0.$

(40)

‎Эти уравнения мы можем рассматривать с такой точки зрения:

1) Уравнение (57), степени $N$ относительно неизвестной $u$, преобразовано рациональной подстановкой (82). В результате получилось уравнение (85), степень которого относительно новой неизвестной $\zeta$ равна

$l={\frac {N}{n}},$

‎а относительно независимой переменной $z$ такая же, как и степень уравнения (57).

2) Уравнение (85) преобразовано рациональной подстановкой (83').

В результате получилось окончательное уравнение (40), степень которого относительно новой неизвестной $Y$ такова же, как и степень уравнения (85): оно степени $l$ относительно $Y$, как мы видели выше. Степень уравнения (40) относительно $z$, вообще говоря, иная, чем степень уравнения (85): она могла как понизиться, так и повыситься.

Итак, мы разбили рассматриваемое преобразование на две стадии.

Первое преобразование имеет целью понизить степень уравнения (57) относительно неизвестной, не изменяя степени его относительно $z$. Число таких преобразований строго определенное; каждое преобразование (82) соответствует одной из числа групп, входящих в группу $G$.

Второе преобразование (83') оставляет степень уравнения относительно неизвестной без перемены, а степень его относительно $z$, вообще говоря, меняет. Таких преобразований существует бесконечное множество: всякая рациональная функция, за исключением весьма ограниченного числа функций, пригодна для этой цели.

Ясно, что это второе преобразование играет второстепенную роль: им мы можем воспользоваться или для того, чтобы упростить уравнение (85) по внешнему виду, или для того, чтобы привести данное алгебраическое уравнение (40) к уравнению (85), корни которого выражаются с помощью формулы (82) через величину $u$.

---

Только что полученными нами результатами определяется план наших дальнейших исследований: в следующей X главе мы рассмотрим для каждого из четырех типов, все виды подстановки (82), способной понизить степень уравнения (57), найдем вид и свойства полученных таким образом выводных уравнений или резольвент, как мы их будем называть, а также и некоторые упрощения, которые в них можно сделать преобразованием (83'). В главе XI мы рассмотрим, как привести некоторые наиболее интересные уравнения известных и наперед заданных типов к виду (85) при помощи подстановок вида (83'), и как затем выразить их корни в функции величины $u$.

---

Сноски

1. Площадь $c_{0}$ может состоять даже из нескольких несмежных между собой весьма малых площадей, выбранных так, чтобы внутри площади $c_{0}$ лежала только одна из числа точек совокупности (2) — именно точка $u_{0}$.
2. Это справедливо в предположении, что числа $n$ и $N$ конечны. Ради сокращения речи мы будем называть $l$ отношением порядков групп даже и в том случае, когда эти порядки бесконечно велики.
3. Проф. Васильев посвятил теории функций вида: ${\frac {H^{\lambda _{1}}(u)}{cf^{\lambda }(u)}}$
   свою диссертацию: О функциях рациональных, аналогичных с функциями двоякопериодическими. Казань, 1880.
4. У Клейна нет этого различия.
5. Эта более широкая задача и есть та задача о трансцендентном решении алгебраических уравнений, о которой уже было упомянуто в предисловии. Ее я надеюсь рассмотреть в следующей своей работе, для которой настоящая служит только как бы введением.
6. Вероятнее всего, имелась в виду Теорема 5. — Примечание редактора Викитеки.