Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/289

На основаніи только что доказанныхъ слѣдствій 1 и 3 можемъ сказать, что всякая другая функція собственно аутоморфная относительно подстановокъ группы $g$, есть линейная функція отъ

$A_{g}(u),$

‎а всякая несобственно аутоморфная функція есть вообще нѣкоторая раціональная функція отъ

$A_{g}(u).$

‎§ 40. Упрощеніе общей задачи объ алгебраическихъ уравненіяхъ, разрѣшимыхъ въ гипергеометрическихъ Функціяхъ.

Пусть алгебраическое уравненіе:

$\psi (Y,\;z)=0$

(40)

‎имѣетъ корнями алгебраическія раціональныя или ирраціональныя выразимыя въ радикалахъ функціи независимаго перемѣннаго $z$ и частныхъ интеграловъ гипергеометрическаго уравненія:

$z(1-z){\frac {d^{2}y}{dz^{2}}}+[\gamma -(\alpha +\beta +1)z]{\frac {dy}{dz}}-\alpha \beta \gamma =0.$

(41)

‎Иными словами, пусть корни уравненія (40) суть функціи вида:

$Y=\Phi (z,\;y_{1},\;y_{2},\ldots ),$

(42)

‎гдѣ $\Phi$ есть функція алгебраическая раціональная или ирраціональная, выразимая въ радикалахъ.

Въ такомъ случаѣ мы скажемъ, что уравненіе (40) разрѣшимо въ гипергеометрическихъ функціяхъ.

Главною задачею нашей работы служитъ нахожденіе вида и свойствъ алгебраическихъ уравненій, разрѣшимыхъ въ гипергеометрическихъ функціяхъ.

Мы налагаемъ на функцію $\Phi$ условіе, чтобы она была алгебраическою потому, что иначе мы ввели бы въ рѣшеніе уравненія (40) помимо гипергеометрическихъ функцій $y_{1},\ y_{2},\ldots$ еще новый элементъ: трансцендентную функцію $\Phi$. Это была

Тот же текст в современной орфографии

На основании только что доказанных следствий 1 и 3 можем сказать, что всякая другая функция собственно автоморфная относительно подстановок группы $g$, есть линейная функция от

$A_{g}(u),$

‎а всякая несобственно автоморфная функция есть вообще некоторая рациональная функция от

$A_{g}(u).$

‎§ 40. Упрощение общей задачи об алгебраических уравнениях, разрешимых в гипергеометрических Функциях.

Пусть алгебраическое уравнение:

$\psi (Y,\;z)=0$

(40)

‎имеет корнями алгебраические рациональные или иррациональные выразимые в радикалах функции независимой переменной $z$ и частных интегралов гипергеометрического уравнения:

$z(1-z){\frac {d^{2}y}{dz^{2}}}+[\gamma -(\alpha +\beta +1)z]{\frac {dy}{dz}}-\alpha \beta \gamma =0.$

(41)

‎Иными словами, пусть корни уравнения (40) суть функции вида:

$Y=\Phi (z,\;y_{1},\;y_{2},\;\ldots ),$

(42)

‎где $\Phi$ есть функция алгебраическая рациональная или иррациональная, выразимая в радикалах.

В таком случае мы скажем, что уравнение (40) разрешимо в гипергеометрических функциях.

Главной задачей нашей работы служит нахождение вида и свойств алгебраических уравнений, разрешимых в гипергеометрических функциях.

Мы налагаем на функцию $\Phi$ условие, чтобы она была алгебраической, потому что иначе мы ввели бы в решение уравнения (40) помимо гипергеометрических функций $y_{1},\ y_{2},\ \ldots$ еще новый элемент: трансцендентную функцию $\Phi$. Это была