Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/288

между собою соотношеніемъ вида (36), гдѣ R—раціональная функція 1-ой степени.

Слѣдствіе 4. Всякая аутоморфная алгебраическая функція $F(u)$ можетъ быть представлена въ видѣ:

$F(u)=R\left[{\frac {H^{\lambda _{1}}(u)}{cf^{\lambda }(u)}}\right],$

(39)

‎гдѣ:

${\frac {H^{\lambda _{1}}(u)}{cf^{\lambda }(u)}}$

(27)

‎есть уже извѣстная намъ аутоморфная функція, соотвѣтствующая группѣ $G$ функціи $F(u)$, а $R$ есть алгебраическая раціональная дробь.

Дѣйствительно, алгебраической аутоморфной функціи $F(u)$ соотвѣтствуетъ, какъ мы знаемъ, группа $G$ конечнаго порядка. Группы конечнаго порядка всѣ нами разсмотрѣны въ [[../../Глава III/ДО|главахъ III]] и [[../../Глава IV/ДО|IV]]. Мы видѣли, что каждой группѣ конечнаго порядка соотвѣтствуетъ своя функція Шварца:

$u=s\left({\frac {1}{\lambda _{1}}},\;{\frac {1}{\lambda }},\;{\frac {1}{\lambda _{2}}},\;z\right)$

(29)

‎и одна обратная ей алгебраическая аутоморфная функція:

$z={\frac {H^{\lambda _{1}}(u)}{cf^{\lambda }(u)}}.$

(27')

‎Функція (27') есть собственно аутоморфная. На основаніи слѣдствія 1 изъ теоремы 3 мы можемъ сказать, что $F(u)$ есть раціональная алгебраическая функція $z$:

$F(u)=R(z)$

(35)

‎откуда, наконецъ:

$F(u)=R\left({\frac {H^{\lambda _{1}}(u)}{cf^{\lambda }(u)}}\right).$

(39)

‎Функцію собственно аутоморфную относительно подстановокъ группы $g$ мы условимся обозначать черезъ

$A_{g}(u).$

Тот же текст в современной орфографии

между собой соотношением вида (36), где R — рациональная функция 1-ой степени.

Следствие 4. Всякая автоморфная алгебраическая функция $F(u)$ может быть представлена в виде:

$F(u)=R\left[{\frac {H^{\lambda _{1}}(u)}{cf^{\lambda }(u)}}\right],$

(39)

‎где:

${\frac {H^{\lambda _{1}}(u)}{cf^{\lambda }(u)}}$

(27)

‎есть уже известная нам автоморфная функция, соответствующая группе $G$ функции $F(u)$, а $R$ есть алгебраическая рациональная дробь.

Действительно, алгебраической автоморфной функции $F(u)$ соответствует, как мы знаем, группа $G$ конечного порядка. Группы конечного порядка все нами рассмотрены в главах III и IV. Мы видели, что каждой группе конечного порядка соответствует своя функция Шварца:

$u=s\left({\frac {1}{\lambda _{1}}},\;{\frac {1}{\lambda }},\;{\frac {1}{\lambda _{2}}},\;z\right)$

(29)

‎и одна обратная ей алгебраическая автоморфная функция:

$z={\frac {H^{\lambda _{1}}(u)}{cf^{\lambda }(u)}}.$

(27')

‎Функция (27') есть собственно автоморфная. На основании следствия 1 из теоремы 3 мы можем сказать, что $F(u)$ есть рациональная алгебраическая функция $z$:

$F(u)=R(z),$

(35)

‎откуда, наконец:

$F(u)=R\left({\frac {H^{\lambda _{1}}(u)}{cf^{\lambda }(u)}}\right).$

(39)

‎Функцию собственно автоморфную относительно подстановок группы $g$ мы условимся обозначать через

$A_{g}(u).$