Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/294

$y_{2}={\sqrt {\dfrac {T(u)R(z)}{f(u)H(u){\dfrac {dR(z)}{dz}}}}}e^{-{\frac {1}{2}}\int p_{1}\,dz},$

(58)

‎гдѣ, $p_{1}$, въ данномъ случаѣ, выражается такъ:

$p_{1}={\frac {\gamma -(\alpha +\beta +1)z}{z(1-z)}}.$

(59)

‎Возникаетъ вопросъ, будетъ ли выраженіе:

$e^{-{\frac {1}{2}}\int p_{1}\,dz}$

‎алгебраическою функціею $z$, или, что то же, будетъ ли $y_{2}$ алгебраическою функціею $z$.

Изъ равенства (44) слѣдуетъ, что

$y_{1}=uy_{2}.$

‎Внеся это выраженіе $y_{1}$ въ формулу (43), находимъ:

$Y=\varphi (z,\;uy_{2},\;y_{2}).$

(60)

‎Въ этомъ равенствѣ $u$ есть алгебраическая функція $z$, $\varphi$ есть алгебраическая функція входящихъ въ нее аргументовъ:

$z,\ u,\ y_{2},$

‎и все выраженіе, служащее правою частью равенства (60), равно $Y$—алгебраической функціи $z$.

Отсюда слѣдуетъ, что если $y_{2}$ дѣйствительно входитъ явнымъ образомъ въ выраженіе (60), то и она есть алгебраическая функція $z$.

И такъ возможны только два случая:

1) Функція $y_{2}$ въ равенствѣ (60) явно не входитъ.

2) Функція $y_{2}$ есть алгебраическая функція $z$.

Въ первомъ случаѣ $Y$ есть алгебраическая функція отъ $z$ и $u$ раціональная или ирраціональная, выразимая въ радикалахъ:

$Y=\omega (z,\;u).$

(61)

Тот же текст в современной орфографии

$y_{2}={\sqrt {\dfrac {T(u)R(z)}{f(u)H(u){\dfrac {dR(z)}{dz}}}}}e^{-{\frac {1}{2}}\int p_{1}\,dz},$

(58)

‎где $p_{1}$, в данном случае, выражается так:

$p_{1}={\frac {\gamma -(\alpha +\beta +1)z}{z(1-z)}}.$

(59)

‎Возникает вопрос, будет ли выражение:

$e^{-{\frac {1}{2}}\int p_{1}\,dz}$

‎алгебраической функцией $z$, или, что то же, будет ли $y_{2}$ алгебраической функцией $z$.

Из равенства (44) следует, что

$y_{1}=uy_{2}.$

‎Внеся это выражение $y_{1}$ в формулу (43), находим:

$Y=\varphi (z,\;uy_{2},\;y_{2}).$

(60)

‎В этом равенстве $u$ есть алгебраическая функция $z$, $\varphi$ есть алгебраическая функция, входящих в нее аргументов:

$z,\ u,\ y_{2},$

‎и все выражение, служащее правой частью равенства (60), равно $Y$ — алгебраической функции $z$.

Отсюда следует, что если $y_{2}$ действительно входит явным образом в выражение (60), то и она есть алгебраическая функция $z$.

Итак, возможны только два случая:

1) Функция $y_{2}$ в равенстве (60) явно не входит.

2) Функция $y_{2}$ есть алгебраическая функция $z$.

В первом случае $Y$ есть алгебраическая функция от $z$ и $u$ рациональная или иррациональная, выразимая в радикалах:

$Y=\omega (z,\;u).$

(61)