Алгебраические уравнения, разрешимые в гипергеометрических функциях (Лахтин)/Глава IX/ДО

Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ — Глава IX. Общая задача объ алгебраическихъ уравненіяхъ, разрѣшимыхъ въ гипергеометрическихъ функціяхъ
авторъ Л. К. Лахтинъ

Опубл.: 1893 год.

§ 38. Нѣкоторыя свойства группъ линейныхъ подстановокъ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

§ 39. Понятіе объ аутоморфныхъ функціяхъ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

§ 40. Упрощеніе общей задачи объ алгебраическихъ уравненіяхъ, разрѣшимыхъ въ гипергеометрическихъ функціяхъ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

---

ГЛАВА IX.

Общая задача объ алгебраическихъ уравненіяхъ, разрѣшимыхъ въ гипергеометрическихъ функціяхъ.

Результаты, полученные нами въ главахъ I—VII, даютъ возможность довольно просто рѣшить главную задачу нашей работы: найти виды и способы рѣшенія алгебраическихъ уравненій, разрѣшимыхъ въ гипергеометрическихъ функціяхъ. Въ настоящей главѣ мы разсмотримъ, къ какимъ болѣе частнымъ вопросамъ приводится рѣшеніе этой общей задачи и каковы пріемы рѣшенія этихъ вопросовъ.

Но прежде чѣмъ приступить къ этой задачѣ намъ необходимо нѣсколько пополнить то изложеніе свойствъ группъ линейныхъ подстановокъ, которое приведено въ главахъ III и IV, и ознакомиться съ понятіемъ объ аутоморфныхъ функціяхъ и съ главнѣйшими свойствами этихъ функцій.

§ 38. Нѣкоторыя свойства группъ линейныхъ подстановокъ.

Пусть дана группа линейныхъ подстановокъ:

$S_{0}=1,\ S_{1},\ S_{2},\ldots \ S_{N-1}.$

(1)

‎Порядокъ ея $N$ можетъ быть конечнымъ или безконечно большимъ числомъ.

Отмѣтимъ гдѣ либо на плоскости перемѣннаго $u$ произвольную точку $u_{0}$. Совершивъ надъ количествомъ $u_{0}$ подстановки группы (1), мы получимъ $N$ точекъ на плоскости:

$u_{0},\ u_{1},\ u_{2},\ldots \ u_{N-1}.$

(2)

‎Точки эти эквивалентны между собою относительно подстановокъ группы (1). Число ихъ конечно или безконечно велико, смотря по тому, конеченъ или безконечно великъ порядокъ $N$ группы (1).

Можетъ случиться, что каждая изъ точекъ (2) безконечно близка къ ближайшимъ точкамъ той же совокупности (2). Тогда группа (1) будетъ группою непрерывною; въ противномъ случаѣ группа (1) будетъ прерывною. Мы будемъ говорить только о прерывныхъ группахъ. Въ прерывныхъ группахъ нѣкоторыя изъ точекъ (2) могутъ лежать безконечно близко другъ къ другу.

Таковы точки, лежащія на окружности на чертежѣ II.

Пусть $u_{0}$ лежитъ на конечномъ разстояніи отъ ближайшей къ ней точки совокупности точекъ (2). Окружимъ ее какою либо сомкнутою кривою весьма малыхъ размѣровъ такъ, чтобы внутри кривой лежала только одна точка $u_{0}$ изъ числа точекъ совокупности (2). Назовемъ площадь, ограниченную этою кривою—площадью $c_{0}$^[1]. Преобразуя площадь $c_{0}$ подстановками (1), мы получимъ $N$ эквивалентныхъ между собою площадей:

$c_{0},\ c_{1},\ c_{2},\ldots \ c_{N-1}.$

(3)

‎Въ каждой изъ площадей (3) лежитъ по одной изъ числа точекъ (2).

Площадь $c_{0}$ всегда можно взять на столько малыхъ размѣровъ, чтобы площади (3) нигдѣ не заходили другъ за друга,

Станемъ увеличивать размѣры площади $c_{0}$.

Въ то же время остальныя площади (3) будутъ тоже возрастать. Продолжимъ увелеченіе площади $c_{0}$ до тѣхъ поръ, пока она не придетъ въ соприкосновеніе съ одною или нѣсколькими изъ площадей (3). Въ то же самое время каждая изъ площадей (3) придетъ въ соприкосновеніе съ такимъ же числомъ площадей совокупности (3). Если между площадью $c_{0}$ и сосѣдними съ нею площадями остается еще незанятая часть плоскости, то мы можемъ начать увеличеніе площади $c_{0}$ въ новомъ направленіи до тѣхъ поръ, пока она въ новой точкѣ не встрѣтится съ одною изъ сосѣднихъ областей, и т. д. Въ результатѣ мы достигнемъ того, что области (3) будутъ плотно прилегать другъ къ другу на всемъ протяженіи границы каждой изъ нихъ, нигдѣ не заходя другъ за друга.

Назовемъ эти области въ такомъ окончательномъ видѣ областями:

$C_{0},\ C_{1},\ C_{2},\ldots \ C_{N-1}.$

(4)

‎Эти области тоже между собою эквивалентны и, какъ мы сказали, плотно прилегаютъ другъ къ другу, не заходя другъ за друга. Онѣ образуютъ нѣкоторую сѣть областей. Число областей сѣти равно порядку группы (1). Сѣть можетъ покрывать собою или всю плоскость, или только часть ея.

Каждая изъ областей (4), наприм. область $C_{0}$, обладаетъ двумя главными свойствами:

1) Гдѣ бы мы ни взяли точку $u$ въ той части плоскости, которая занята сѣтью,—въ области $C_{0}$ найдется одна точка, ей эквивалентная.

2) Внутри области $C_{0}$ нѣтъ ни одной пары точекъ между собою эквивалентныхъ. (Точки, лежащія на контурѣ области $C_{0}$, попарно эквивалентны между собою, какъ мы увидимъ ниже).

Каждую изъ областей (4) мы назовемъ основною областью группы (1).

Сказанныя два свойства площади $C_{0}$ суть характерныя свойства основной области, которыя могутъ быть приняты за ея опредѣленіе. Ясно, что тѣ сѣти четыреугольниковъ, которыя мы разсматривали въ главахъ III и IV, суть лишь частные случаи разсматриваемыхъ нами теперь сѣтей.

Пусть сѣть нѣкоторой группы изображена на черт. 34.

Пусть точка $u_{0}$, лежащая внутри области $C_{0}$, приближается къ границѣ этой области, переступаетъ эту границу и входитъ въ область $C_{4}$. Въ то же время точки

$u_{1},\ u_{2},\ u_{3},\ldots \ u_{N-1},$

(5)

‎соотвѣтственныя съ $u_{0}$, тоже приближаются къ границамъ областей:

$C_{1},\ C_{2},\ C_{3},\ldots \ C_{N-1},$

‎переходятъ эти границы и вступаютъ въ смежныя области.

Черт. 34Въ тотъ моментъ, когда $u_{0}$, перейдя границу $fd$, вступила въ $C_{4}$, одна изъ соотвѣтственныхъ точекъ (5) вступила внутрь области $C_{0}$. Для опредѣленности положимъ, что именно точка $u_{1}$ вступила въ область $C_{0}$ черезъ границу $ab$.

Точки $u_{0}$ и $u_{1}$ связаны между собою одною изъ подстановокъ (1).

Пусть:

$u_{1}=S(u_{0}).$

‎Мы сказали, что въ тотъ моментъ, когда $u_{0}$ приходитъ въ нѣкоторую точку границы $fd$, точка $u_{1}$ приходитъ въ нѣкоторую точку границы $ab$. Отсюда слѣдуетъ, что точки границы $fd$ эквивалентны точкамъ границы $ab$, и при томъ подстановка, преобразующая границу $ab$ въ $fd$, есть подстановка $S_{1}$ группы (1).

Подстановка $S_{1}$ преобразуетъ область $C_{0}$ въ область $C_{1}$.

Этотъ результатъ совершенно аналогиченъ результату, полученному въ § 13 для сѣти четыреугольниковъ. Его мы можемъ формулировать въ видѣ теоремы:

Теорема 1. Стороны основной области попарно эквивалентны между собою. Подстановки, преобразующія эквивалентныя стороны основной области другъ въ друга, преобразуютъ основную область въ смежныя съ нею основныя области.

Эквивалентныя между собою стороны основной области мы по прежнему будемъ называть сопряженными.

Пусть подстановки, преобразующія попарно другъ въ друга сопряженныя стороны области $C_{0}$ суть:

${\mathfrak {T}}_{1},\ {\mathfrak {T}}_{2},\ldots \ {\mathfrak {T}}_{\nu }.$

(6)

‎Эти подстановки (6) преобразуютъ область $C_{0}$ во всѣ смежныя съ нею.

Повторяя разсужденія, приведенныя въ § 13, найдемъ, что изъ подстановокъ (6) можно составить любую подстановку группы (1).

Въ числѣ этихъ подстановокъ находятся всѣ основныя подстановки группы (1), хотя мы и не можемъ утверждать, что между ними нѣтъ неосновныхъ подстановокъ.

Изъ приведеннаго выше опредѣленія основной области видно, что въ выборѣ контура основной области есть нѣкоторый произволъ. И дѣйствительно, какъ мы сейчасъ увидимъ, контуръ основной области можетъ быть деформируемъ въ значительной степени.

Обратимся снова къ чертежу 34 и пусть по прежнему сторона $fd$ есть сторона сопряженная съ $ab$. Отдѣлимъ внутри области $C_{0}$ произвольную площадь $fhd$, примыкающую къ сторонѣ $fd$. Въ области $C_{1}$ найдется площадь эквивалентная площади $fhd$: пусть это будетъ $akb$. Площадь $akb$ непремѣнно примыкаетъ къ сторонѣ $ab$ сопряженной съ $fd$. Вычтя изъ основной области площадь $fhd$ и прибавивъ площадь $akb$, получимъ площадь $akbcdhfg$, которая можетъ быть принята за основную область группы (1) вмѣсто области $C_{0}$.

Измѣненія основной области, подобныя только что разсмотрѣнному, мы будемъ называть возможными измѣненіями (erlaubte Abänderungen).

Производя возможныя измѣненія основной области, мы можемъ ее деформировать значительно. Пользуясь возможными измѣненіями, мы всегда можемъ достичь того, чтобы:

1) Основная область была сплошною односвязною площадью.

2) Чтобы основная область была ограничена дугами круговъ и прямыми линіями.

Въ такомъ видѣ мы и будемъ ее себѣ представлять.

Возьмемъ двѣ группы $G$ и $g$. Пусть всѣ подстановки группы $g$ входятъ въ группу $G$.

Пусть порядки $g$ и $G$ равны $n$ и $N$, при чемъ $n$ и $N$ суть числа конечныя или безконечно большія.

Пусть подстановки группы $g$ таковы:

$s_{0}=1,\ s_{1},\ s_{2},\ldots \ s_{n-1}.$

(7)

‎Повторяя разсужденія, весьма обычныя въ высшей алгебрѣ, мы придемъ къ заключенію, что подстановки группы $G$ могутъ быть расположены въ видѣ такой таблицы:

$\left.{\begin{array}{lllll}s_{0}=1,&s_{1},&s_{2},&\ldots &s_{n-1},\\s_{0}\sigma _{1}=\sigma _{1},&s_{1}\sigma _{1},&s_{2}\sigma _{1},&\ldots &s_{n-1}\sigma _{1},\\s_{0}\sigma _{2}=\sigma _{2},&s_{1}\sigma _{2},&s_{2}\sigma _{2},&\ldots &s_{n-1}\sigma _{2},\\\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots &\cdots \cdots &\cdots \cdots &\cdots &\cdots \cdots \cdots \\\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots &\cdots \cdots &\cdots \cdots &\cdots &\cdots \cdots \cdots \\s_{0}\sigma _{l-1}=\sigma _{l-1},&s_{1}\sigma _{l-1},&s_{2}\sigma _{l-1},&\ldots &s_{n-1}\sigma _{l-1},\\\end{array}}\right\}$

(8)

‎гдѣ:

$\sigma _{1},\ \sigma _{2},\ldots \ \sigma _{l-1}$

(9)

‎суть нѣкоторыя подстановки группы $G$, не входящія въ $g$. Число $l$ равно отношенію порядковъ группъ $G$ и $g$^[2]:

$l={\frac {N}{n}}.$

(10)

‎Построимъ сѣть, соотвѣтствующую группѣ $G$.

Найдемъ тѣ изъ числа областей (4), которыя соотвѣтствуютъ подстановкамъ:

$\sigma _{0}=1,\ \sigma _{1},\ \sigma _{2},\ldots \ \sigma _{l-1}.$

(11)

‎Пусть эти области суть:

$\Gamma _{0}=C_{0},\ \Gamma _{1},\ \Gamma _{2},\ldots \ \Gamma _{l-1}.$

(12)

‎Совокупность этихъ $l$ областей составляетъ нѣкоторую площадь, вообще говоря, не сплошную. Обозначимъ ее буквою $c$. Докажемъ, что $c$ можетъ быть принята за основную область группы $g$.

Часть плоскости, покрываемая сѣтью группы $G$, во всякомъ случаѣ не меньше части плоскости, покрываемой сѣтью группы $g$.

Возьмемъ гдѣ либо внутри этой части плоскости какую либо точку $u$, не лежащую на границѣ области. Пусть область группы $g$, въ которой лежитъ точка $u$, соотвѣтствуетъ подстановкѣ:

$s_{i}\sigma _{j},$

‎гдѣ $i$ равно одному изъ чиселъ $0,\ 1,\ 2,\ldots \ n-1$, а $j$—одному изъ чиселъ: $0,\ 1,\ 2,\ldots \ l-1$.

Совершивъ надъ точкою $u$ подстановку

$s_{i}^{-1}$

‎группы $g$, мы найдемъ точку $u'$, лежащую въ той области группы $G$, которая соотвѣтствуетъ подстановкѣ $\sigma _{j}$, т. е. найдемъ точку, лежащую внутри площади $c$.

И такъ, каждой точкѣ той части плоскости, которая занята сѣтью группы $g$, соотвѣтствуетъ одна точка, лежащая внутри площади $c$ и эквивалентная взятой точкѣ относительно подстановокъ группы $g$.

Докажемъ, что внутри площади $c$ нѣтъ ни одной пары точекъ, эквивалентныхъ относительно подстановокъ группы $g$.

Допустимъ, что мы нашли пару точекъ $u$ и $u'$, связанныхъ подстановкою $s_{i}$:

$u'=s_{i}(u)$

(13)

‎и лежащихъ внутри области $c$.

Точки $u$ и $u'$, эквивалентныя относительно группы $g$, эквивалентны и относительно $G$. Слѣдовательно онѣ не могутъ лежать внутри одной и той же изъ числа областей (12).

Если онѣ лежатъ въ двухъ различныхъ изъ числа областей (12), то онѣ связаны между собою одной изъ подстановокъ (11):

$u'=\sigma _{j}(u).$

(14)

‎Изъ равенствъ (13) и (14) слѣдуетъ, что подстановка $\sigma _{j}$ входитъ въ группу $g$; а это противорѣчитъ условію.

И такъ, дѣйствительно $c$ есть основная область группы $g$.

Покажемъ, что подстановки (11) всегда могутъ быть выбраны такъ, чтобы площадь $c$ была сплошная.

Пусть $\Gamma '$ есть область, смежная съ $C_{0}$ и не входящая въ число областей (12). Пусть подстановка, преобразующая $\Gamma _{0}$ въ $\Gamma '$, есть $\sigma '$. Такъ какъ $\sigma '$ есть подстановка группы $G$, то она представится одной изъ формулъ (8). Пусть, напр.,

$\sigma '=s_{i}\sigma _{1}.$

(15)

‎Изъ символическаго равенства (15) слѣдуетъ:

$\sigma _{1}=s_{i}^{-1}\sigma '.$

(16)

‎Внеся это выраженіе $\sigma _{1}$ во вторую строку таблицы (8), находимъ:

$s_{0}s_{i}^{-1}\sigma ',\ s_{1}s_{i}^{-1}\sigma ',\ s_{2}s_{i}^{-1}\sigma ',\ldots ,\ s_{n-1}s_{i}^{-1}\sigma '.$

(17)

‎Тѣ же подстановки, только въ иномъ порядкѣ, изобразятся формулами:

$s_{0}\sigma '=\sigma ',\ s_{1}\sigma ',\ s_{2}\sigma ',\ldots ,\ s_{n-1}\sigma '.$

(18)

‎Слѣдовательно, вторую строку таблицы (8) можно замѣнить строкой (18). Вмѣстѣ съ тѣмъ подстановка $\sigma _{1}$ замѣнилась подстановкой $\sigma '$, а область $\Gamma _{1}$ областью $\Gamma '$—смежною съ $\Gamma _{0}$.

Дѣлая подобныя же замѣны, мы достигнемъ того, что подстановки (9) замѣнятся новыми подстановками

$\sigma ',\ \sigma '',\ldots \ \sigma ^{(l-1)},$

(19)

‎а области:

$\Gamma _{0}=C_{0},\ \Gamma _{1},\ldots \ \Gamma _{l-1}$

(12)

‎областями:

$\Gamma _{0}=C_{0},\ \Gamma ',\ldots \ \Gamma ^{(l-1)},$

(20)

‎составляющими сплошную площадь.

Въ дальнѣйшемъ мы будемъ предполагать, что подстановки (11) уже съ самаго начала были выбраны такъ, чтобы соотвѣтствующія имъ области (12) составляли сплошную площадь.

Полученные результаты можно формулировать въ видѣ теоремы:

Теорема 2. Если группа $g$ порядка $n$ входитъ въ группу $G$ порядка $N$, то за основную область группы $g$ можно принять сплошную площадь, состоящую изъ

$l={\frac {N}{n}}$

‎рядомъ лежащихъ областей группы $G$.

Ту же теорему можемъ формулировать нѣсколько иначе:

Если группа $g$ порядка $n$ входитъ въ группу $G$ порядка $N$, то послѣ различныхъ возможныхъ измѣненій каждая основная область сѣти группы $g$ покроетъ собою какъ разъ

$l={\frac {N}{n}}$

‎основныхъ областей сѣти группы $G$.

Справедливость этого предложенія легко провѣрить на чертежахъ (27) и (29), (28) и (30).

§ 39. Понятіе объ аутоморфныхъ функціяхъ.

Пусть функція

$F(u)$

‎инваріантна по отношенію къ нѣкоторой линейной подстановкѣ:

${\bar {u}}={\frac {au+b}{cu+d}},$

(21)

‎т. е. пусть имѣетъ мѣсто тождество:

$F\left({\frac {au+b}{cu+d}}\right)=F(u).$

(22)

‎Въ такомъ случаѣ, слѣдуя Клейну, мы будемъ называть функцію $F(u)$—аутоморфною функціею.

Слѣдуя Клейну, мы будемъ имѣть въ виду исключительно однозначныя аутоморфныя функціи.

Само собою ясно, что если функція $F(u)$ инваріанта по отношенію къ подстановкѣ

$S(u)={\frac {au+b}{cu+d}},$

(23)

‎то она будетъ инваріантна и по отношенію къ степенямъ этой подстановки:

$S^{2},\ S^{3}\ldots$

‎Совокупность всѣхъ линейныхъ подстановокъ, по отношенію къ которымъ функція $F(u)$ инваріантна, образуютъ нѣкоторую группу. Эту группу мы обозначимъ буквою $G$ и будемъ называть ее группою аутоморфной функціи $F(u)$.

Порядокъ группы $G$ функціи $F(u)$ можетъ быть конеченъ или безконечно великъ.

Если порядокъ $N$ группы $G$ безконечно великъ, то функція $F(u)$ непремѣнно трансцендентная.

Въ самомъ дѣлѣ, пусть порядокъ группы $G$ безконечно великъ и пусть подстановки этой группы таковы:

$S_{0}=1,\ S_{1},\ S_{2},\ S_{3}\ldots$

(24)

‎Возьмемъ уравненіе:

$F(u)=0.$

(25)

‎Пусть $u_{0}$ есть одинъ изъ корней уравненія (25).

Ясно, что уравненію (25) удовлетворитъ весь безконечный рядъ величинъ:

$S_{0}(u_{0})=u_{0},\ S_{1}(u_{0})=u_{1},\ S_{2}(u_{0})=u_{2},\ S_{3}(u_{0})=u_{3},\ldots$

(26)

‎Уравненіе (25) имѣетъ безконечно большое число корней.

Функція $F(u)$ дѣйствительно трансцендентная.

Примѣры аутоморфныхъ функцій извѣстны въ математикѣ очень давно: всякая періодическая функція есть аутоморфная. Дѣйствительно, положивъ въ формулѣ (22):

$a=1,\ b=\omega ,\ c=0,\ d=1,$

‎находимъ:

$F(u+\omega )=F(u).$

‎Это равенство характеризуетъ періодическую функцію съ періодомъ $\omega$.

Функціи

${\frac {H^{\lambda _{1}}(u)}{cf^{\lambda }(u)}},$

(27)

‎съ которыми намъ приходилось часто встрѣчаться въ предшествующихъ главахъ—тоже аутоморфныя. Группою $G$ такой функціи, служитъ группа соотвѣтствующаго уравненія:

$H^{\lambda _{1}}(u):c'T^{\lambda _{2}}(u):cf^{\lambda }(u)=z:z-1:1.$

(28)

‎Функція (27) есть раціональная алгебраическая аутоморфная функція. Порядокъ ея группы конеченъ. Группа $G$ составлена изъ двухъ основныхъ подстановокъ. Въ этомъ отношеніи функція (27) имѣетъ нѣкоторую аналогію съ двояко-періодическими функціями^[3].

Болѣе общій примѣръ аутоморфной функціи представляетъ намъ функція, обратная функціи Шварца.

$u=s\left({\frac {1}{\lambda _{1}}},\;{\frac {1}{\lambda }},\;{\frac {1}{\lambda _{2}}},\;z\right),$

(29)

‎гдѣ $\lambda ,\ \lambda _{1},\ \lambda _{2}$ суть какія угодно цѣлыя положительныя числа.

Если

$z=F(u)$

(30)

‎есть аутоморфная функція, имѣющая группу $G$ линейныхъ подстановокъ, то обратная ей функція:

$u=F^{-1}(z),$

(31)

‎необходимо, многозначна и значенія ея связаны между собою подстановками группы $G$.

Можетъ случиться, что число значеній функціи (31) равно порядку группы $G$. Въ такомъ случаѣ подстановки группы $G$ связываютъ между собою всѣ значенія функціи (31).

Условимся называть въ такомъ случаѣ функцію $F(u)$ собственно аутоморфною.

Въ противномъ случаѣ будемъ называть ее несобственно аутоморфною^[4].

Докажемъ, что имѣетъ мѣсто

Теорема 3. Если группа $g$ аутоморфной функціи $f(u)$ входитъ въ группу $G$ аутоморфной функціи $F(u)$, и если функція $f(u)$ собственно аутоморфная, то $F(u)$ есть однозначная функція отъ $f(u)$.

Положивъ

$z=f(u),$

(32)

‎мы найдемъ, что

$u=f^{-1}(z),$

(33)

‎гдѣ $f^{-1}$ есть символъ функціи, обратной функціи $f$.

Подставивъ выраженіе (33) перемѣннаго $u$ въ $F(u)$, находимъ:

$F(u)=F[f^{-1}(z)].$

(34)

‎Если функція $f(u)$ собственно аутоморфная, то всѣ значенія функціи

$u=f^{-1}(z)$

(33)

‎связаны между собою всевозможными подстановками группы $g$. При всевозможныхъ обходахъ на плоскости $z$ величина $u$, опредѣляемая по формулѣ (33), будетъ испытывать различныя подстановки группы $g$. Такъ какъ всѣ подстановки группы $g$ входятъ въ $G$, то функція

$F(u)=F[f^{-1}(z)]$

(34)

‎послѣ всевозможныхъ сомкнутыхъ обходовъ на плоскости $z$ сохраняетъ свою величину: она есть однозначная функція $z$.

Обозначивъ эту однозначную функцію черезъ $R(z)$, находимъ:

$F(u)=R(z),$

(35)

‎или, вставляя вмѣсто $z$ его выраженіе (32):

$F(u)=F[f(u)].$

(36)

Теорема доказана.

Слѣдствіе 1. Если функціи $f(u)$ и $F(u)$ алгебраическія, то $F(u)$ есть раціональная алгебраическая функція отъ $f(u)$.

Дѣйствительно, если $f(u)$ и $F(u)$ суть функціи алгебраическія, то и функція $R(z)$ — алгебраическая раціональная функція.

Слѣдствіе 2. Если функціи $f(u)$ и $F(u)$ обѣ собственно аутоморфныя и при томъ обѣ алгебраическія, то функція $R(z)$ есть раціональная дробь степени

$l={\frac {N}{n}}$

‎относительно $z$.

Докажемъ справедливость этого предложенія.

Чтобы найти степень $R(z)$ относительно $z$, положимъ, что въ уравненіи

$F(u)=R(z)$

(35)

‎намъ дана величина $F(u)$ и найдемъ, сколько величинъ перемѣннаго

$z=f(u)$

(32)

‎соотвѣтствуетъ данной величинѣ $F(u)$.

Если функція $F(u)$ собственно аутоморфная, то всѣ значенія обратной ей функціи связаны между собою подстановками группы $G$. Сохраняя прежнія обозначенія, мы можемъ сказать, что подстановки группы $G$ расположены въ таблицѣ (8).

Слѣдовательно, значенія величины $u$, соотвѣтствующія данной величинѣ $F(u)$, таковы:

$\left.{\begin{array}{llll}s_{0}(u)=u,&s_{1}(u),&\ldots &s_{n-1}(u),\\s_{0}\sigma _{1}(u)=\sigma _{1}(u),&s_{1}\sigma _{1}(u),&\ldots &s_{n-1}\sigma _{1}(u),\\\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots &\cdots \cdots \cdots &\cdots &\cdots \cdots \cdots \cdots \\\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots &\cdots \cdots \cdots &\cdots &\cdots \cdots \cdots \cdots \\s_{0}\sigma _{l-1}(u)=\sigma _{l-1}(u),&s_{1}\sigma _{l-1}(u),&\ldots &s_{n-1}\sigma _{l-1}(u).\\\end{array}}\right\}$

(37)

‎Чтобы найти значенія функціи

$z=f(u),$

(32)

‎соотвѣтствующія данному значенію $F(u)$, мы должны подставить въ $f(u)$ вмѣсто $u$ всѣ величины (37).

Такъ какъ функція $f(u)$ не мѣняется отъ подстановокъ:

$s_{0}=1,\ s_{1},\ldots \ s_{n-1}$

(7)

‎группы $g$, то она будетъ имѣть всего $l$ значеній:

$f(u),\ f[\sigma _{1}(u))],\ldots \ f[\sigma _{n-1}(u)].$

(38)

‎Если данному значенію $F(u)$ соотвѣтствуетъ $l$ значеній функціи:

$z=f(u),$

(32)

‎то раціональная функція $R(z)$—степени $l$ относительно $z$.

Слѣдствіе 3. Если $f(u)$ есть собственно аутоморфная функція относительно подстановокъ группы $G$, то всякая собственно аутоморфная функція $F(u)$, соотвѣтствующая той же группѣ $G$, есть линейная функція отъ $f(u)$.

Дѣйствительно, въ данномъ случаѣ изъ предшествующаго слѣдствія мы заключаемъ, что функціи $F(u)$ и $f(u)$ связаны между собою соотношеніемъ вида (36), гдѣ R—раціональная функція 1-ой степени.

Слѣдствіе 4. Всякая аутоморфная алгебраическая функція $F(u)$ можетъ быть представлена въ видѣ:

$F(u)=R\left[{\frac {H^{\lambda _{1}}(u)}{cf^{\lambda }(u)}}\right],$

(39)

‎гдѣ:

${\frac {H^{\lambda _{1}}(u)}{cf^{\lambda }(u)}}$

(27)

‎есть уже извѣстная намъ аутоморфная функція, соотвѣтствующая группѣ $G$ функціи $F(u)$, а $R$ есть алгебраическая раціональная дробь.

Дѣйствительно, алгебраической аутоморфной функціи $F(u)$ соотвѣтствуетъ, какъ мы знаемъ, группа $G$ конечнаго порядка. Группы конечнаго порядка всѣ нами разсмотрѣны въ главахъ III и IV. Мы видѣли, что каждой группѣ конечнаго порядка соотвѣтствуетъ своя функція Шварца:

$u=s\left({\frac {1}{\lambda _{1}}},\;{\frac {1}{\lambda }},\;{\frac {1}{\lambda _{2}}},\;z\right)$

(29)

‎и одна обратная ей алгебраическая аутоморфная функція:

$z={\frac {H^{\lambda _{1}}(u)}{cf^{\lambda }(u)}}.$

(27')

‎Функція (27') есть собственно аутоморфная. На основаніи слѣдствія 1 изъ теоремы 3 мы можемъ сказать, что $F(u)$ есть раціональная алгебраическая функція $z$:

$F(u)=R(z)$

(35)

‎откуда, наконецъ:

$F(u)=R\left({\frac {H^{\lambda _{1}}(u)}{cf^{\lambda }(u)}}\right).$

(39)

‎Функцію собственно аутоморфную относительно подстановокъ группы $g$ мы условимся обозначать черезъ

$A_{g}(u).$

На основаніи только что доказанныхъ слѣдствій 1 и 3 можемъ сказать, что всякая другая функція собственно аутоморфная относительно подстановокъ группы $g$, есть линейная функція отъ

$A_{g}(u),$

‎а всякая несобственно аутоморфная функція есть вообще нѣкоторая раціональная функція отъ

$A_{g}(u).$

‎§ 40. Упрощеніе общей задачи объ алгебраическихъ уравненіяхъ, разрѣшимыхъ въ гипергеометрическихъ Функціяхъ.

Пусть алгебраическое уравненіе:

$\psi (Y,\;z)=0$

(40)

‎имѣетъ корнями алгебраическія раціональныя или ирраціональныя выразимыя въ радикалахъ функціи независимаго перемѣннаго $z$ и частныхъ интеграловъ гипергеометрическаго уравненія:

$z(1-z){\frac {d^{2}y}{dz^{2}}}+[\gamma -(\alpha +\beta +1)z]{\frac {dy}{dz}}-\alpha \beta \gamma =0.$

(41)

‎Иными словами, пусть корни уравненія (40) суть функціи вида:

$Y=\Phi (z,\;y_{1},\;y_{2},\ldots ),$

(42)

‎гдѣ $\Phi$ есть функція алгебраическая раціональная или ирраціональная, выразимая въ радикалахъ.

Въ такомъ случаѣ мы скажемъ, что уравненіе (40) разрѣшимо въ гипергеометрическихъ функціяхъ.

Главною задачею нашей работы служитъ нахожденіе вида и свойствъ алгебраическихъ уравненій, разрѣшимыхъ въ гипергеометрическихъ функціяхъ.

Мы налагаемъ на функцію $\Phi$ условіе, чтобы она была алгебраическою потому, что иначе мы ввели бы въ рѣшеніе уравненія (40) помимо гипергеометрическихъ функцій $y_{1},\ y_{2},\ldots$ еще новый элементъ: трансцендентную функцію $\Phi$. Это была бы задача болѣе широкая, чѣмъ та, которая составляетъ цѣль нашей работы^[5].

Мы говоримъ, что функція $\Phi$—раціональная или ирраціональная выразимая въ радикалахъ, потому что иначе мы не могли бы опредѣлить видъ этой функціи: ея видъ пришлось бы опредѣлять снова изъ алгебраическаго уравненія и мы вернулись бы къ первоначальной задачѣ.

Вотъ почему поставленную выше задачу можно назвать общей задачей объ алгебраическихъ уравненіяхъ, разрѣшимыхъ въ гипергеометрическихъ функціяхъ.

Приступимъ къ упрощенію этой общей задачи.

Выразимъ всѣ частные интегралы уравненія (41), входящіе въ формулу (42) въ видѣ линейныхъ функцій двухъ изъ нихъ: напримѣръ $y_{1}$ и $y_{2}$, и вставимъ въ функцію $\Phi$:

$Y=\varphi (z,\;y_{1},\;y_{2}),$

(43)

‎гдѣ $\varphi$—функція раціональная или ирраціональная, выразимая въ радикалахъ.

Положимъ:

${\frac {y_{1}}{y_{2}}}=u,$

(44)

‎и докажемъ слѣдующую теорему:

Теорема 4. Если алгебраическое уравненіе (40) разрѣшимо въ частныхъ интегралахъ гипергеометрическаго уравненія (41), то отношеніе всякихъ двухъ линейно независимыхъ частныхъ интеграловъ $y_{1},\ y_{2}$ гипергеометрическаго уравненія (41):

${\frac {y_{1}}{y_{2}}}=u$

(44)

‎есть алгебраическая функція перемѣннаго $z$.

Вставимъ выраженіе (43) въ уравненіе (40) и освободимъ полученное такимъ образомъ равенство отъ радикаловъ и отъ знаменателей. Въ результатѣ находимъ уравненіе вида:

$X(z,\;y_{1},\;y_{2})=0,$

(45)

‎гдѣ $X$ есть цѣлая раціональная функція отъ $z,\ y_{1},\ y_{2}$.

Расположимъ ее по степенямъ $z$:

$X_{0}(y_{1},\;y_{2})+X_{1}(y_{1},\;y_{2})z+X_{2}(y_{1},\;y_{2})z^{2}+\ldots =0.$

(46)

‎Совершимъ на плоскости перемѣннаго $z$ сомкнутый обходъ около одной изъ критическихъ точекъ: $0,\ 1,\ \infty$ функцій $y_{1},\ y_{2}$. Послѣ этого обхода перемѣнное $z$ приметъ свое прежнее значеніе, а функціи $y_{1},\ y_{2}$ преобразуются линейно:

$\left.{\begin{array}{l}{\bar {y}}_{1}=ay_{1}+by_{2},\\{\bar {y}}_{2}=cy_{1}+dy_{2}.\end{array}}\right\}$

(47)

‎Уравненіе (46) приметъ такой видъ:

$X_{0}({\bar {y}}_{1},\;{\bar {y}}_{2})+X_{1}({\bar {y}}_{1},\;{\bar {y}}_{2})z+X_{2}({\bar {y}}_{1},\;{\bar {y}}_{2})z^{2}+\ldots =0,$

(46)

‎или, послѣ замѣны величинъ ${\bar {y}}_{1},\ {\bar {y}}_{2}$ ихъ выраженіями (47):

${\bar {X}}_{0}(y_{1},\;y_{2})+{\bar {X}}_{1}(y_{1},\;y_{2})z+{\bar {X}}_{2}(y_{1},\;y_{2})z^{2}+\ldots =0.$

(49)

‎Уравненіе (49) можетъ оказаться или тождественнымъ съ уравненіемъ (46), или отличнымъ отъ уравненія (46).

Если бы послѣ двухъ различныхъ обходовъ мы получили два уравненія вида (49), не тождественныхъ ни между собою, ни съ уравненіемъ (46), то мы имѣли бы три не тождественныхъ между собою уравненія съ тремя неизвѣстными:

$z,\ y_{1},\ y_{2}.$

‎Изъ этихъ уравненій можно было бы найти всѣ три неизвѣстныхъ. Въ такомъ случаѣ всѣ три величины: $z,\ y_{1},\ y_{2}$ были бы постоянными, что, конечно, нелѣпо.

Итакъ, мы въ правѣ предполагать, что уравненіе (49) тождественно съ уравненіемъ (46). Коэффиціенты ихъ пропорціональны:

$\left.{\begin{array}{l}X_{0}(y_{1},\;y_{2})=C{\bar {X}}_{0}(y_{1},\;y_{2}),\\X_{1}(y_{1},\;y_{2})=C{\bar {X}}_{1}(y_{1},\;y_{2}),\\\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \end{array}}\right\}$

(50)

‎Между функціями $X_{0}(y_{1},\;y_{2}),\ X_{1}(y_{1},\;y_{2}),\ldots$ могутъ оказаться такія, которыя нулевой степени относительно $y_{1},\ y_{2}$, т. е. не зависятъ отъ $y_{1},\ y_{2}$, но всѣ онѣ не могутъ быть нулевой степени потому, что иначе уравненіе (46) было бы справедливо при всякихъ значеніяхъ $y_{1},\ y_{2}$, а уравненіе (40) могло бы быть разрѣшено въ радикалахъ безъ посредства гипергеометрическихъ функцій.

Положимъ, для опредѣленности разсужденій, что функція $X_{0}(y_{1},\;y_{2})$ не нулевой степени.

Возьмемъ первое изъ тождествъ (50):

$X_{0}(y_{1},\;y_{2})=C{\bar {X}}_{0}(y_{1},\;y_{2}).$

(51)

‎Функціи $X_{0}(y_{1},\;y_{2})$ и ${\bar {X}}_{0}(y_{1},\;y_{2})$—цѣлыя относительно $y_{1},\ y_{2}$, но онѣ могутъ быть неоднородными.

Въ такомъ случаѣ мы разобьемъ ихъ на части такъ, чтобы каждая часть была однородна:

$\left.{\begin{array}{l}X_{0}(y_{1},\;y_{2})=\psi _{0}(y_{1},\;y_{2})+\psi _{1}(y_{1},\;y_{2})+\ldots ,\\{\bar {X}}_{0}(y_{1},\;y_{2})={\bar {\psi }}_{0}(y_{1},\;y_{2})+{\bar {\psi }}_{1}(y_{1},\;y_{2})+\ldots .\end{array}}\right\}$

(52)

‎Ясно, что тождество (51) возможно только при условіи, что имѣютъ мѣсто тождества:

$\left.{\begin{array}{l}\psi _{0}(y_{1},\;y_{2})=C{\bar {\psi }}_{0}(y_{1},\;y_{2}),\\\psi _{1}(y_{1},\;y_{2})=C{\bar {\psi }}_{1}(y_{1},\;y_{2}),\\\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \end{array}}\right\}$

(53)

Такъ какъ степень формы $X_{0}(y_{1},\;y_{2})$ выше 0, то въ числѣ однородныхъ формъ:

$\psi _{0}(y_{1},\;y_{2}),\ \psi _{1}(y_{1},\;y_{2})\cdots$

‎найдутся формы, степень которыхъ выше 0.

Пусть степень формы $\psi _{0}(y_{1},\;y_{2})$ отлична отъ 0.

Возьмемъ первое изъ тождествъ (53):

$\psi _{0}(y_{1},\;y_{2})=C{\bar {\psi }}_{0}(y_{1},\;y_{2}).$

(54)

‎Положивъ снова:

${\frac {y_{1}}{y_{2}}}=u,$

(44)

‎находимъ:

$\psi _{0}(u)=C{\bar {\psi }}_{0}(u).$

(55)

‎Тождество (55) показываетъ, что уравненіе:

$\psi _{0}(u)=0$

(56)

‎инваріантно по отношенію къ линейнымъ подстановкамъ группы $G$, соотвѣтствующей группѣ тѣхъ бинарныхъ подстановокъ, которыя испытываютъ частные интегралы $y_{1},\ y_{2}$ уравненія (41) при обходахъ на плоскости перемѣннаго $z$.

Уравненіе (56) алгебраическое; слѣдовательно порядокъ группы $G$ конеченъ.

Отсюда заключаемъ, что функція:

${\frac {y_{1}}{y_{2}}}=u,$

(44)

‎есть алгебраическая функція Шварца, ибо она имѣетъ конечную группу линейныхъ подстановокъ. Она служитъ корнемъ алгебраическаго уравненія вида:

$H^{\lambda _{1}}(u):c'T^{\lambda _{2}}(u):cf^{\lambda }(u)={\frac {1}{c}}R(z):{\frac {1}{c}}R(z)-1:1$

(57)

‎Теорема доказана.

---

Величина $y_{2}$, какъ мы знаемъ изъ главы I, выражается черезъ $u$ и $z$ такою формулою:

$y_{2}={\sqrt {\dfrac {T(u)R(z)}{f(u)H(u){\dfrac {dR(z)}{dz}}}}}e^{-{\frac {1}{2}}\int p_{1}\,dz},$

(58)

‎гдѣ, $p_{1}$, въ данномъ случаѣ, выражается такъ:

$p_{1}={\frac {\gamma -(\alpha +\beta +1)z}{z(1-z)}}.$

(59)

‎Возникаетъ вопросъ, будетъ ли выраженіе:

$e^{-{\frac {1}{2}}\int p_{1}\,dz}$

‎алгебраическою функціею $z$, или, что то же, будетъ ли $y_{2}$ алгебраическою функціею $z$.

Изъ равенства (44) слѣдуетъ, что

$y_{1}=uy_{2}.$

‎Внеся это выраженіе $y_{1}$ въ формулу (43), находимъ:

$Y=\varphi (z,\;uy_{2},\;y_{2}).$

(60)

‎Въ этомъ равенствѣ $u$ есть алгебраическая функція $z$, $\varphi$ есть алгебраическая функція входящихъ въ нее аргументовъ:

$z,\ u,\ y_{2},$

‎и все выраженіе, служащее правою частью равенства (60), равно $Y$—алгебраической функціи $z$.

Отсюда слѣдуетъ, что если $y_{2}$ дѣйствительно входитъ явнымъ образомъ въ выраженіе (60), то и она есть алгебраическая функція $z$.

И такъ возможны только два случая:

1) Функція $y_{2}$ въ равенствѣ (60) явно не входитъ.

2) Функція $y_{2}$ есть алгебраическая функція $z$.

Въ первомъ случаѣ $Y$ есть алгебраическая функція отъ $z$ и $u$ раціональная или ирраціональная, выразимая въ радикалахъ:

$Y=\omega (z,\;u).$

(61)

Во второмъ случаѣ, вставивъ въ формулу (60) вмѣсто $y_{2}$ выраженіе (58), мы приведемъ формулу (60) къ тому же виду (61), гдѣ $\omega$ есть снова функція алгебраическая раціональная или ирраціональная, выразимая въ радикалахъ.

Уравненіе (40) можно разсматривать, какъ результатъ преобразованія уравненія (57) подстановкою (61).

Это заключеніе можно формулировать въ видѣ такой теоремы.

Теорема 4^[6]. Всякое алгебраическое уравненіе, разрѣшимое въ гипергеометрическихъ функціяхъ, можетъ быть получено изъ уравненія вида (57) преобразованіемъ перемѣннаго:

$Y=\omega (z,\;u),$

(61)

‎гдѣ $\omega$—функція раціональная или ирраціональная выразимая въ радикалахъ.

I.

Пусть функція $\omega$ раціональна.

Посмотримъ, какъ составляется въ такомъ случаѣ уравненіе (40).

Перенесемъ всѣ члены уравненія (61) влѣво:

$Y-\omega (z,\;u)=0,$

(62)

‎и станемъ совершать въ формулѣ

$Y-\omega (z,\;u)$

(63)

‎надъ перемѣннымъ $u$ линейныя преобразованія группы $G$ уравненія (57), считая $Y$ и $z$ постоянными параметрами.

Функція (63) можетъ оказаться аутоморфною по отношенію къ нѣкоторымъ изъ подстановокъ группы $G$.

Выпишемъ всѣ различныя значенія функціи (63):

$Y-\omega _{0}(z,\;u),\ Y-\omega _{1}(z,\;u),\ldots \ Y-\omega _{l-1}(z,\;u).$

(64)

‎Перемноживъ величины (64) и приравнявъ произведеніе ихъ нулю, мы получимъ уравненіе, которому удовлетворяютъ значенія $Y$:

${\overset {i=l-1}{\underset {i=0}{P}}}\{Y-\omega _{i}(z,\;u)\}=0.$

(65)

Функція, стоящая въ лѣвой части уравненія (65), аутоморфна относительно подстановокъ группы $G$. По слѣдствію 4 изъ теоремы 3 ее можно представить въ видѣ раціональной функціи отъ собственно аутоморфной функціи

${\frac {H^{\lambda _{1}}(u)}{cf^{\lambda }(u)}}$

(27)

‎и параметровъ $Y$ и $z$:

${\overset {i=l-1}{\underset {i=0}{P}}}\{Y-\omega _{i}(z,\;u)\}={\mathfrak {R}}\left(Y,\;z,\;{\frac {H^{\lambda _{1}}(u)}{cf^{\lambda }(u)}}\right),$

(66)

‎гдѣ ${\mathfrak {R}}$—раціональная функція входящихъ въ нее аргументовъ.

Степень функціи ${\mathfrak {R}}$ относительно $Y$ равна $l$.

Изъ уравненія (57) слѣдуетъ:

${\frac {H^{\lambda _{1}}(u)}{cf^{\lambda }(u)}}={\frac {1}{c}}R(z).$

(57')

‎Внеся эту величину въ формулу (66) и положивъ:

${\mathfrak {R}}\left\{Y,\;z,\;{\frac {1}{c}}R(z)\right\}=\psi (Y,\;z),$

(67)

‎находимъ:

${\overset {i=l-1}{\underset {i=0}{P}}}\{Y-\omega _{i}(z,\;u)\}=\psi (Y,\;z).$

(68)

‎Приравнявъ эту функцію нулю, находимъ искомое уравненіе

$\psi (Y,\;z)=0.$

(40)

‎Оно степени $l$ относительно $Y$. Число $l$, какъ мы видѣли, равно числу различныхъ значеній, пріобрѣтаемыхъ функціею $\omega (Y,\;z)$ подъ вліяніемъ подстановокъ группы $G$.

II.

Перейдемъ къ общему случаю: пусть функція $\omega$, входящая въ формулу (61), какая-нибудь ирраціональная функція, выразимая въ радикалахъ.

Освободимъ уравненіе (61) отъ радикаловъ. Пусть оно приметъ видъ:

$X(Y,\;z,\;u)=0,$

(69)

‎гдѣ $X$ раціональная функція отъ $Y,\ z,\ u$.

Положимъ:

$H=X(Y,\;z,\;u).$

(70)

‎Будемъ разсматривать величины $Y$ и $z$, какъ постоянные параметры, и совершимъ надъ перемѣннымъ $u$ въ выраженіи

$X(Y,\;z,\;u)$

(71)

‎всевозможныя подстановки группы $G$.

Пусть всѣ различныя значенія, пріобрѣтаемыя функціею (71) подъ вліяніемъ этихъ подстановокъ, таковы:

$X_{0}(Y,\;z,\;u),\ X_{1}(Y,\;z,\;u),\ldots \ X_{l-1}(Y,\;z,\;u).$

(72)

‎Функція:

${\overset {i=l-1}{\underset {i=0}{P}}}\{H-X_{i}(Y,\;z,\;u)\}$

(73)

‎по отношенію къ перемѣнному $u$ есть аутоморфная функція, соотвѣтствующая группѣ $G$.

Повторяя разсужденія, приведенныя при разсмотрѣніи предыдущаго случая, найдемъ, что функцію (73) можно представить въ видѣ раціональной функціи аргументовъ.

$H,\ Y,\ z:$

${\overset {i=l-1}{\underset {i=0}{P}}}\{H-X_{i}(Y,\;z,\;u)\}={\mathfrak {R}}(H,\;Y,\;z).$

(74)

‎Положивъ въ обѣихъ частяхъ этого равенства

$H=0,$

‎и введя обозначеніе:

${\mathfrak {R}}(0,\;Y,\;z)=\psi (Y,\;z),$

(75)

‎находимъ:

$(-1)^{l}{\overset {i=l-1}{\underset {i=0}{P}}}\{X_{i}(Y,\;z,\;u)\}=\psi (Y,\;z).$

(76)

‎Приравнявъ нулю найденную функцію $\psi (Y,\;z)$, мы получимъ искомое уравненіе:

$\psi (Y,\;z)=0,$

(40)

‎которому удовлетворяютъ значенія функціи $Y$.

Это уравненіе есть результатъ преобразованія уравненія (57) ирраціональною подстановкою (61).

Разсматривая сдѣланныя нами вычисленія, мы находимъ, что преобразованіе уравненія (57) подстановкою (61) можетъ быть достигнуто слѣдующимъ пріемомъ.

1) Освободивъ уравненіе

$Y=\omega (z,\;u)$

(61)

‎отъ радикаловъ, находимъ уравненіе:

$X(Y,\;z,\;u)=0.$

(69)

‎2) Преобразуемъ уравненіе (57) раціональною подстановкою:

$H=X(Y,\;z,\;u),$

(70)

‎гдѣ $H$ есть новое перемѣнное, а $Y$ и $z$—параметры.

Въ результатѣ этого раціональнаго преобразованія находимъ уравненіе:

${\mathfrak {R}}(H,\;Y,\;z)=0.$

‎3) Положивъ въ этомъ уравненіи

$H=0,$

‎находимъ уравненіе

${\mathfrak {R}}(0,\;Y,\;z)=0,$

‎или, введя обозначеніе (75)

$\psi (Y,\;z)=0.$

(40)

‎Уравненіе (40) и есть искомое.

---

Такимъ образомъ нахожденіе уравненія (40) во всякомъ случаѣ приводится къ раціональному преобразованію уравненія (57).

---

Простѣйшій случай ирраціональнаго преобразованія таковъ:

$Y={\sqrt[{m}]{{\bar {\omega }}(z,\;u)}},$

(77)

‎гдѣ ${\bar {\omega }}$—раціональная функція величинъ $z$ и $u$.

Въ этомъ случаѣ указанный выше пріемъ можетъ быть упрощенъ.

Положивъ:

$H=Y^{m}={\bar {\omega }}(z,\;u),$

(78)

‎мы преобразуемъ уравненіе (57) раціональною подстановкою:

$H={\bar {\omega }}(z,\;u).$

(79)

‎Найдя результатъ этого преобразованія:

$\psi _{1}(H,\;z)=0,$

(80)

‎и замѣнивъ $H$ величиною $Y^{m}$, находимъ уравненіе:

$\psi _{1}(Y^{m},\;z)=0.$

(81)

‎или, что то же, искомое уравненіе:

$\psi (Y,\;z)=0.$

(40)

‎Уравненія, разсмотрѣнныя нами въ главахъ I и VIII получаются изъ уравненія (57) преобразованіемъ вида:

$y={\sqrt {\dfrac {T(u)R(z)}{f(u)H(u){\dfrac {dR(z)}{dz}}}}}e^{-{\frac {1}{2}}\int p_{1}\,dz}.$

‎Это—преобразованіе вида (77).

---

Изъ сказаннаго выше слѣдуетъ, что наибольшую важность представляетъ раціональное преобразованіе уравненія (57). Поэтому въ дальнѣйшихъ нашихъ изслѣдованіяхъ мы будемъ говорить исключительно о раціональныхъ преобразованіяхъ уравненія (57).

Итакъ, пусть $\omega$ есть раціональная функція $z$ и $u$.

Мы сказали, что функція:

$\omega (z,\;u)$

‎подъ вліяніемъ подстановокъ группы $G$ порядка $N$ пріобрѣтаетъ $l$ различныхъ значеній.

Найдемъ совокупность подстановокъ группы $G$, не мѣняющихъ функцію $\omega (z,\;u)$. Эти подстановки образуютъ нѣкоторую группу $g$ порядка $n$, входящую въ $G$. Отношеніе порядковъ этихъ группъ равно числу $l$:

$l={\frac {N}{n}}$

‎(Можетъ случиться, что группа $g$ есть группа единица. Это будетъ тогда, когда всѣ подстановки группы $G$ мѣняютъ функцію $\omega (z,\;u)$. Въ такомъ случаѣ $l=N$).

Составимъ собственно аутоморфную функцію:

$\zeta =A_{g}(u),$

(82)

‎соотвѣтствующую группѣ $g$.

Изъ теоремы 3 слѣдуетъ, что $\omega (z,\;u)$ есть раціональная функція отъ $\zeta$ и параметра $z$:

$Y=\omega (z,\;u)=\chi (\zeta ,\;z).$

(83)

‎Такъ какъ функціи:

${\frac {H^{\lambda _{1}}(u)}{cf^{\lambda }(u)}},\ {\frac {c'T^{\lambda _{2}}(u)}{cf^{\lambda }(u)}}$

‎тоже аутоморфны относительно подстановокъ группы $g$, то ихъ также можно представить въ видѣ раціональныхъ функцій величины $\zeta$:

$\left.{\begin{array}{l}{\dfrac {H^{\lambda _{1}}(u)}{cf^{\lambda }(u)}}={\dfrac {F_{1}(\zeta )}{F(\zeta )}},\\{\dfrac {c'T^{\lambda _{2}}(u)}{cf^{\lambda }(u)}}={\dfrac {F_{2}(\zeta )}{F(\zeta )}},\end{array}}\right\}$

(84)

‎гдѣ $F(\zeta ),\ F_{1}(\zeta ),\ F_{2}(\zeta )$ суть цѣлыя раціональныя алгебраическія функціи $\zeta$.

Внеся эти выраженія въ уравненіе (57), находимъ:

$F_{1}(\zeta ):F_{2}(\zeta ):F(\zeta )={\frac {1}{c}}R(z):{\frac {1}{c}}R(z)-1:1.$

(85)

‎Такъ какъ функціи, стоящія въ лѣвой части равенствъ (84) суть собственно аутоморфныя функціи, соотвѣтствующія группѣ $G$, то по слѣдствію 2 теоремы 3 мы можемъ сказать, что какъ вторыя части равенствъ (84), такъ и уравненіе (85)—степени

$l={\frac {N}{n}}$

‎относительно $\zeta$.

Возьмемъ уравненія:

$H^{\lambda _{1}}(u):c'T^{\lambda _{2}}(u):cf^{\lambda }(u)={\frac {1}{c}}R(z):{\frac {1}{c}}R(z)-1:1,$

(57)

$\zeta =A_{g}(u),$

(82)

$F_{1}(\zeta ):F_{2}(\zeta ):F(\zeta )={\frac {1}{c}}R(z):{\frac {1}{c}}R(z)-1:1,$

(85)

$Y=\chi (\zeta ,\;z),$

(83')

$\psi (Y,\;z)=0.$

(40)

‎Эти уравненія мы можемъ разсматривать съ такой точки зрѣнія:

1) Уравненіе (57), степени $N$ относительно неизвѣстнаго $u$, преобразовано раціональною подстановкою (82). Въ результатѣ получилось уравненіе (85), степень котораго относительно новаго неизвѣстнаго $\zeta$ равна

$l={\frac {N}{n}},$

‎а относительно независимаго перемѣннаго $z$ такая же, какъ и степень уравненія (57).

2) Уравненіе (85) преобразовано раціональною подстановкою (83').

Въ результатѣ получилось окончательное уравненіе (40), степень котораго относительно новаго неизвѣстнаго $Y$ такова же, какъ и степень уравненія (85): оно степени $l$ относительно $Y$, какъ мы видѣли выше. Степень уравненія (40) относительно $z$, вообще говоря, иная, чѣмъ степень уравненія (85): она могла какъ понизиться, такъ и повыситься.

Итакъ, мы разбили разсматриваемое преобразованіе на двѣ стадіи.

Первое преобразованіе имѣетъ цѣлью понизить степень уравненія (57) относительно неизвѣстнаго, не измѣняя степени его относительно $z$. Число такихъ преобразованій строго опредѣленное; каждое преобразованіе (82) соотвѣтствуетъ одной изъ числа группъ, входящихъ въ группу $G$.

Второе преобразованіе (83') оставляетъ степень уравненія относительно неизвѣстнаго безъ перемѣны, а степень его относительно $z$, вообще говоря, мѣняетъ. Такихъ преобразованій существуетъ безконечное множество: всякая раціональная функція, за исключеніемъ весьма ограниченнаго числа функцій, пригодна для этой цѣли.

Ясно, что это второе преобразованіе играетъ второстепенную роль: имъ мы можемъ воспользоваться или для того, чтобы упростить уравненіе (85) по внѣшнему виду, или для того, чтобы привести данное алгебраическое уравненіе (40) къ уравненію (85), корни котораго выражаются помощью формулы (82) черезъ величину $u$.

---

Только что полученными нами результатами опредѣляется планъ нашихъ дальнѣйшихъ изслѣдованій: въ слѣдующей X главѣ мы разсмотримъ для каждаго изъ четырехъ типовъ, всѣ виды подстановки (82), способной понизить степень уравненія (57), найдемъ видъ и свойства полученныхъ такимъ образомъ выводныхъ уравненій или резольвентъ, какъ мы ихъ будемъ называть, а также и нѣкоторыя упрощенія, которыя въ нихъ можно сдѣлать преобразованіемъ (83'). Въ главѣ XI мы разсмотримъ, какъ привести нѣкоторыя наиболѣе интересныя уравненія извѣстныхъ и напередъ заданныхъ типовъ къ виду (85) при помощи подстановокъ вида (83'), и какъ затѣмъ выразить ихъ корни въ функціи величины $u$.

---

Сноски

1. Площадь $c_{0}$ можетъ состоять даже изъ нѣсколькихъ не смежныхъ между собою весьма малыхъ площадей, выбранныхъ такъ, чтобы внутри площади $c_{0}$ лежала только одна изъ числа точекъ совокупности (2)—именно точка $u_{0}$.
2. Это справедливо въ предположеніи, что числа $n$ и $N$ конечны. Ради сокращенія рѣчи мы будемъ называть $l$ отношеніемъ порядковъ группъ даже и въ томъ случаѣ, когда эти порядки безконечно велики.
3. Проф. Васильевъ посвятилъ теоріи функцій вида: ${\frac {H^{\lambda _{1}}(u)}{cf^{\lambda }(u)}}$
   свою диссертацію: О функціяхъ раціональныхъ, аналогичныхъ съ функціями двояко-періодическими. Казань. 1880.
4. У Клейна нѣтъ этого различія.
5. Эта болѣе широкая задача и есть та задача, о трансцендентномъ рѣшеніи алгебраическихъ уравненій, о которой уже было упомянуто въ предисловіи. Ее я надѣюсь разсмотрѣть въ слѣдующей своей работѣ, для которой настоящая служитъ только какъ бы введеніемъ.
6. Вероятнее всего, имелась в виду Теорема 5. — Примѣчаніе редактора Викитеки.