Алгебраические уравнения, разрешимые в гипергеометрических функциях (Лахтин)/Глава X/ДО

Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ — Глава X. Резольвенты уравненій, имѣющихъ группу линейныхъ подстановокъ
авторъ Л. К. Лахтинъ

Опубл.: 1893 год.

§ 41. Свойства резольвентъ уравненій, имѣющихъ группу линейныхъ подстановокъ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

87

§ 42. Подгруппы конечныхъ порядковъ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

95

§ 43. Резольвента уравненія двупирамиднаго типа  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

103

§ 44. Резольвента уравненія тетраэдрическаго типа  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

107

§ 45. Резольвенты уравненія октаэдрическаго типа  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

110

§ 46. Резольвенты уравненія икосаэдрическаго типа  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

115

§ 47. Нѣкоторыя замѣчанія о группахъ уравненій, найденныхъ въ предыдущихъ параграфахъ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

139

---

Глава X.

Резольвенты уравненій, имѣющихъ группу линейныхъ подстановокъ.

§ 41. Свойства резольвентъ уравненій, имѣющихъ группу линейныхъ подстановокъ.

Въ главѣ IX мы привели рѣшеніе нашей основной задачи къ нахожденію всевозможныхъ преобразованій вида:

$\zeta =A_{g}(u),$

(1)

‎понижающихъ степень уравненія:

$H^{\lambda _{1}}(u):c'T^{\lambda _{2}}(u):cf^{\lambda }(u)={\frac {1}{c}}R(z):{\frac {1}{c}}R(z)-1:1,$

(2)

‎и къ составленію резольвентъ уравненія (2), получаемыхъ преобразованіемъ его посредствомъ подстановокъ вида (1).

Для упрощенія формулъ мы можемъ ввести въ уравненіе (2) новое независимое перемѣнное, обозначивъ функцію ${\frac {1}{c}}R(z)$ одною буквою.

Мы будемъ предполагать это упрощеніе уже выполненнымъ и замѣнимъ въ уравненіи (2) функцію ${\frac {1}{c}}R(z)$ перемѣннымъ $z$, какъ это мы дѣлали неоднократно выше.

Уравненіе (2) будетъ таково:

$H^{\lambda _{1}}(u):c'T^{\lambda _{2}}(u):cf^{\lambda }(u)=z:z-1:1.$

(3)

‎Итакъ, ближайшая наша задача состоитъ въ слѣдующемъ:

1) Зная группу $G$ уравненія (3), мы должны найти всѣ группы $g$, входящія въ $G$. Мы будемъ ихъ называть подгруппами (Untergruppen) по отношенію къ $G$.

2) Для каждой подгруппы $g$ мы должны составить соотвѣтствующую ей аутоморфную функцію:

$\zeta =A_{g}(u).$

(1)

‎3) Зная функцію (1), мы должны преобразовать уравненіе (3) подстановкою (1), при чемъ, какъ намъ извѣстно, получится уравненіе вида:

$F_{1}(\zeta ):F_{2}(\zeta ):F(\zeta )=z:z-1:1.$

(4)

‎Сказанные вопросы мы должны рѣшить для каждаго изъ четырехъ типовъ уравненія (3).

Прежде чѣмъ приступить къ выполненію намѣченнаго плана, займемся раскрытіемъ нѣкоторыхъ свойствъ резольвентъ вида (4).

Пусть группа $G$ уравненія (3)—порядка $N$, пусть въ группу $G$ входитъ подгруппа $g$ порядка $n$, а въ $g$ пусть входитъ подгруппа $g'$ порядка $n'$.

Положимъ:

${\frac {N}{n}}=l,\ {\frac {n}{n'}}=l\,'.$

(5)

‎Собственно аутоморфная функція, соотвѣтствующая группѣ $g$, такова:

$\zeta =A_{g}(u).$

(1)

‎Собственно аутоморфную функцію, соотвѣтствующую группѣ $g'$ мы обозначимъ такъ:

$\zeta \,'=A_{g'}(u).$

(6)

‎Такъ какъ функція $\zeta$ тоже аутоморфна относительно подстановокъ группы $g'$, то $\zeta$ есть раціональная функція $\zeta \,'$ степени ${\frac {n}{n'}}=l\,'$:

$\zeta =\psi (\zeta \,').$

(7)

‎Преобразуя уравненіе (3) подстановкою (1), находимъ уравненіе степени $l$ относительно $\zeta$:

$F_{1}(\zeta ):F_{2}(\zeta ):F(\zeta )=z:z-1:1.$

(4)

‎Преобразуя уравненіе (3) подстановкою (6), находимъ уравненіе степени $ll\,'$ относительно $\zeta \,'$:

$F'_{1}(\zeta \,'):F'_{2}(\zeta \,'):F'(\zeta \,')=z:z-1:1.$

(8)

‎Изъ уравненій (4), (8), (7) слѣдуетъ, что:

$F'_{1}(\zeta \,'):F'_{2}(\zeta \,'):F'[\psi (\zeta \,')]=F_{1}[\psi (\zeta \,')]:F_{2}[\psi (\zeta \,')]:F[\psi (\zeta \,')].$

(9)

‎Иными словами, уравненіе (8) можетъ быть получено изъ уравненія (4), если мы въ уравненіи (4) вмѣсто $\zeta$ вставимъ раціональную функцію $\psi (\zeta \,')$ степени $l\,'$ относительно $\zeta \,'$, при чемъ, понятно, степень его относительно неизвѣстнаго повышается въ $l\,'$ разъ.

Интересъ представляетъ только уравненіе (4), ибо, внося въ него вмѣсто $\zeta$ различныя функціи новаго неизвѣстнаго $\zeta \,'$, мы можемъ получить сколько угодно уравненій вида (9).

Отсюда слѣдуетъ, что составляя резольвенты уравненія (3), мы можемъ ограничиться разсмотрѣніемъ тѣхъ изъ нихъ, которыя соотвѣтствуютъ наиболѣе широкимъ подгруппамъ группы $G$ уравненія (3).

Посмотримъ, какова группа Галуа для уравненія (4).

Слѣдуя обозначеніямъ главы IX, мы положимъ, что подстановки подгруппы $g$ таковы:

$s_{0}=1,\ s_{1},\ s_{2},\ldots \ s_{n-1}.$

(10)

‎Подстановки группы $G$ могутъ быть расположены въ таблицѣ:

$\left.{\begin{array}{lllll}s_{0}=1,&s_{1},&s_{2},&\ldots &s_{n-1},\\s_{0}\sigma _{1}=\sigma _{1},&s_{1}\sigma _{1},&s_{2}\sigma _{1},&\ldots &s_{n-1}\sigma _{1},\\s_{0}\sigma _{2}=\sigma _{2},&s_{1}\sigma _{2},&s_{2}\sigma _{2},&\ldots &s_{n-1}\sigma _{2},\\\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots &\cdots \cdots &\cdots \cdots &\cdots &\cdots \cdots \cdots \\\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots &\cdots \cdots &\cdots \cdots &\cdots &\cdots \cdots \cdots \\s_{0}\sigma _{l-1}=\sigma _{l-1},&s_{1}\sigma _{l-1},&s_{2}\sigma _{l-1},&\ldots &s_{n-1}\sigma _{l-1},\\\end{array}}\right\}$

(11)

‎гдѣ

$\sigma _{1},\ \sigma _{2},\ldots \ \sigma _{l-1}$

(12)

‎суть различныя между собою и извѣстнымъ образомъ выбранныя подстановки группы $G$, не входящія въ группу $g$.

Подъ вліяніемъ подстановокъ:

$\sigma _{0}=1,\ \sigma _{1},\ \sigma _{2},\ldots \ \sigma _{l-1}$

(13)

‎функція

$\zeta =A_{g}(u).$

(1)

‎пріобрѣтаетъ $l$ различныхъ между собою значеній:

$\zeta _{0}=1,\ \zeta _{1},\ \zeta _{2},\ldots \ \zeta _{l-1}.$

(14)

‎Эти $l$ значеній суть какъ разъ всѣ тѣ значенія, которыя функція (1) пріобрѣтаетъ подъ вліяніемъ подстановокъ группы $G$. Это суть $l$ корней уравненія (4). Каждой линейной подстановкѣ $S$ группы $G$ соотвѣтствуетъ нѣкоторая перестановка, совершаемая надъ $l$ корнями (14) уравненія (4).

Мы будемъ называть эти перестановки, совершаемыя надъ $l$ корнями (14) уравненія (3), субституціями въ отличіе отъ линейныхъ подстановокъ группъ $G$ и $g$.

Найдемъ $N$ субституцій надъ количествами (14), соотвѣтствующихъ $N$ линейнымъ подстановкамъ группы $G$. Обозначимъ эту совокупность субституцій буквою $\Gamma$.

Докажемъ слѣдующую теорему:

Теорема 1. Совокупность субституцій $\Gamma$ есть группа Галуа для уравненія (4).

Субституціи группы $\Gamma$ суть всевозможныя субституціи, испытываемыя величинами (14) при обходахъ на плоскости перемѣннаго $z$. Отсюда слѣдуетъ, что онѣ образуютъ группу.

Всякая функція величинъ (14), инваріантная относительно субституцій группы $\Gamma$, будучи выражена черезъ $u$, есть функція аутоморфная относительно подстановокъ группы $G$ и поэтому выражается раціонально черезъ $z$. На оборотъ: всякая раціонально извѣстная функція величинъ (14) есть раціональная функція $z$, будучи выражена черезъ $u$, она инваріантна относительно подстановокъ группы $G$. Поэтому всякая раціонально извѣстная функція величинъ (14) инваріантна относительно субституцій группы $\Gamma$. Сказанныя два свойства группы $\Gamma$ суть характерные признаки того, что группа $\Gamma$ есть группа Галуа для уравненія (4).

Условимся въ слѣдующей терминологіи:

1) Если каждая изъ подстановокъ группы $g$, будучи преобразована каждою изъ подстановокъ группы $G$, даетъ въ результатѣ подстановку группы $g$, то мы назовемъ по общепринятому группу $g$ особою частью группы $G$.

2) Если нѣкоторыя изъ подстановокъ группы $g$, будучи преобразованы каждою изъ подстановокъ группы $G$, даютъ въ результатѣ подстановку группы $g$, то мы назовемъ $g$ полуособою частью группы $G$.

3) Если ни одна изъ подстановокъ группы $g$ не обладаетъ сказаннымъ свойствомъ, то мы назовемъ $g$ неособою частью группы $G$.

Теорема 2. Если подгруппа $g$ есть неособая часть группы $G$, то группа $\Gamma$ соотвѣтствующей ей резольвенты—такого же порядка $N$, какъ и группа $G$.

Пусть $g$ есть неособая часть группы $G$. Мы видѣли, что каждой подстановкѣ группы $G$ соотвѣтствуетъ своя субституція группы $\Gamma$. Посмотримъ, не можетъ ли нѣсколькимъ различнымъ подстановкамъ группы $G$ соотвѣтствовать одна и та же субституція группы $\Gamma$.

Допустимъ, что двумъ различнымъ подстановкамъ $S$ и $S'$ группы $G$ соотвѣтствуетъ одна и та же субституція группы $\Gamma$.

Въ такомъ случаѣ подстановкѣ

$S^{-1}S',$

‎отличной отъ 1, соотвѣтствуетъ субституція 1.

Подстановка $S^{-1}S'$ есть одна изъ подстановокъ группы $G$; слѣдовательно она приводится къ виду:

$s_{i}\sigma _{j}.$

‎Будемъ различать два случая:

1) Индексъ $j$ отличенъ отъ 0,

2) Индексъ $j$ равенъ 0.

I. Пусть индексъ $j$ отличенъ отъ 0.

Возьмемъ корень:

$\zeta _{0}=A_{g}(u).$

(1')

‎уравненія (4).

Совершимъ надъ нимъ подстановку:

$s_{i}\sigma _{j}.$

‎Послѣ подстановки функція $\zeta _{0}$ переходитъ въ ${\bar {\zeta }}_{0}$, при чемъ:

$\zeta _{0}=A_{g}[s_{i}\sigma _{j}(u)].$

(15)

‎Такъ какъ функція $A_{g}(u)$ не мѣняется отъ подстановки $s_{i}$, то:

${\bar {\zeta }}_{0}=A_{g}[s_{i}\sigma _{j}(u)]=\zeta _{j}.$

(16)

‎Итакъ, субституція, соотвѣтствующая подстановкѣ

$S^{-1}S'=s_{i}\sigma _{j},$

‎мѣняетъ корень $\zeta _{0}$ на отличный отъ него корень $\zeta _{j}$.

Это противорѣчитъ сдѣланному ранѣе заключенію, что субституція, соотвѣтствующая подстановкѣ $S^{-1}S'$, есть 1.

II. Пусть индексъ $j$ равенъ 0:

$S^{-1}S'=s_{i}.$

‎Эта подстановка не мѣняетъ корня:

$\zeta _{0}=A_{g}(u).$

(1')

‎Возьмемъ какой нибудь изъ остальныхъ корней уравненія (4), напр.

$\zeta _{k}=A_{g}[\sigma _{k}(u)].$

(17)

‎Послѣ подстановки $S^{-1}S'=s_{i}$ этотъ корень перейдетъ въ ${\bar {\zeta }}_{k}$, при чемъ:

${\bar {\zeta }}_{k}=A_{g}[\sigma _{k}s_{i}(u)].$

(18)

‎Эта величина только въ томъ случаѣ равна $\zeta _{k}$ при произвольномъ $u$, если имѣетъ мѣсто символическое равенство вида:

$\sigma _{k}s_{i}\sigma _{k}^{-1}=s_{h},$

(19)

‎гдѣ $h$ имѣетъ одно изъ значеній: $0,\ 1,\ 2,\ldots \ n-1$.

Если субституція, соотвѣтствующая подстановкѣ

$S^{-1}S'=s_{i},$

‎есть 1, то она не мѣняетъ ни одного изъ корней (14) уравненія (4).

Въ такомъ случаѣ символическое равенство (19) справедливо при всѣхъ значеніяхъ $k$ отъ $k=0$ до $k=n-1$. Если такъ, то подстановка $s_{i}$ группы $g$, будучи преобразована всѣми подстановками группы $G$, даетъ въ результатѣ подстановки той же группы $g$. Группа $g$ есть особая или полуособая часть группы $G$.

Это заключеніе противорѣчитъ условію теоремы.

Итакъ, дѣйствительно, каждой подстановкѣ группы $G$ соотвѣтствуетъ и при томъ единственная субституція группы $\Gamma$. Порядки обѣихъ группъ одинаковы.

Теорема 3. Если группа $g$ неособая часть группы $G$, то группы $G$ и $\Gamma$ изоморфны между собою.

Это—ближайшее слѣдствіе изъ предшествующей теоремы: если двѣ группы $G$ и $\Gamma$ одинаковаго порядка и каждой подстановкѣ группы $G$ соотвѣтствуетъ единственная субституція группы $\Gamma$, то онѣ не могутъ не быть изоморфны между собою.

Если измѣрять сложность уравненія порядкомъ его группы, то мы можемъ сказать, что всѣ резольвенты (4) уравненія (3), соотвѣтствующія неособой части группы $G$, такъ же сложны, какъ и уравненіе (3). Онѣ проще только по виду: степень ихъ ниже степени $N$ уравненія (3).

Уравненіе (3) есть резольвента Галуа какъ для самого себя, такъ и для всѣхъ уравненій вида (4).

Значеніе уравненій (4) для алгебры заключается въ томъ, что мы можемъ данное намъ уравненіе, удовлетворяющее извѣстнымъ условіямъ (напр. всякое уравненіе 5-ой степени, какъ будетъ видно ниже), преобразовать въ одно изъ уравненій вида (4); а за тѣмъ рѣшить уравненіе (4), пользуясь тѣмъ, что корни его выражаются раціонально помощью формулы:

$\zeta =A_{g}(u)$

(1)

‎черезъ корни уравненія (3), разрѣшимаго въ гипергеометрическихъ функціяхъ.

Если мы припомнимъ, что корни уравненія (3) суть функціи Шварца

$u=s\left({\frac {1}{\lambda _{1}}},\;{\frac {1}{\lambda }},\;{\frac {1}{\lambda _{2}}},\;z\right),$

(20)

‎то замѣтимъ, что корни уравненія (4) выражаются такою формулою:

$\zeta =A_{g}\left[s\left({\frac {1}{\lambda _{1}}},\;{\frac {1}{\lambda }},\;{\frac {1}{\lambda _{2}}},\;z\right)\right].$

(21)

‎Итакъ, корни уравненія (4) представляются въ видѣ функціи отъ функціи перемѣннаго $z$, при чемъ эта вторая, внутренняя функція есть многозначная функція Шварца, соотвѣтствующая группѣ $G$, а наружная функція есть функція аутоморфная, обратная функціи Шварца, соотвѣтствующей подгруппѣ $g$ группы $G$^[1].

Теорема 4. Если подгруппа $g$ есть неособая часть группы $G$, то группа субституцій $\Gamma$ можетъ быть составлена изъ двухъ основныхъ субституцій $\sigma$ и $\tau$, соотвѣтствующихъ основнымъ подстановкамъ $S$ и ${\mathfrak {T}}$ группы $G$.

Эта теорема есть слѣдствіе предшествующихъ: если группа $\Gamma$ изоморфна группѣ $G$, то основныя субституціи группы $\Gamma$ должны соотвѣтствовать основнымъ подстановкамъ $S$ и ${\mathfrak {T}}$ группы $G$.

Теорема 5. Если порядки группъ $G$ и $\Gamma$ одинаковы, то подгруппа $g$ есть неособая часть группы $G$.

Эта теорема есть слѣдствіе, вытекающее изъ тѣхъ разсужденій, которыя мы приводили при доказательствѣ теоремы 2: если бы подгруппа $g$ была особою или полуособою частью группы $G$, то нашлись бы такія различныя подстановки группы $G$, которымъ соотвѣтствуетъ одна и та же субституція группы $\Gamma$. Порядокъ группы $\Gamma$ былъ бы ниже порядка группы $G$.

Въ нашихъ дальнѣйшихъ изслѣдованіяхъ наибольшій интересъ будутъ представлять неособыя части группъ. Особыя части группъ: тетраэдрической и октаэдрической приводятъ къ рѣшенію уравненій: тетраэдрическаго и октаэдрическаго въ радикалахъ.

Эти рѣшенія были нами уже разсмотрѣны въ главѣ VII и больше о нихъ говорить мы не будемъ.

§ 42. Подгруппы конечныхъ порядковъ.

Разсмотримъ другъ за другомъ всѣ конечныя группы линейныхъ подстановокъ и найдемъ, каковы входящія въ нихъ подгруппы.

I. Группа двупирамидная порядка $2\,\,m$.

Подстановки двупирамидной группы соотвѣтствуютъ поворотамъ сферы двоякаго рода:

1) Поворотамъ на углы, кратные ${\frac {2\pi }{m}}$ около оси, соединяющей двѣ противоположныя вершины двупирамиды. Подстановка $S$, соотвѣтствующая повороту на уголъ ${\frac {2\pi }{m}}$, есть одна изъ двухъ основныхъ подстановокъ группы.

2) Поворотамъ на углы, кратные $\pi$ около осей, лежащихъ въ плоскости основанія обѣихъ пирамидъ, составляющихъ двупирамиду. Подстановка ${\mathfrak {T}}$, соотвѣтствующая одному изъ этихъ поворотовъ на уголъ $\pi$, есть вторая основная подстановка группы.

Ясно, что повороты группъ: тетраэдрической, октаэдрической и икосаэдрической мѣняютъ положеніе двупирамиды.

Въ двупирамидную группу могутъ входить только подгруппы слѣдующихъ типовъ:

1) Подгруппы циклическаго типа порядка $m_{1}$:

$(S^{l})^{0}=1,\ S^{l},\ S^{2l},\ldots ,S^{(m_{1}-1)l},$

(22)

‎гдѣ $l$ есть дѣлитель числа $m$, а $m_{1}$ есть дѣлитель, ему дополнительный:

$lm_{1}=m.$

(23)

‎2) Подгруппы циклическаго типа порядка 2:

$(S^{k}{\mathfrak {T}})^{0}=1,\ S^{k}{\mathfrak {T}},$[2]

(24)

‎гдѣ $k$—какое угодно цѣлое число.

3) Подгруппы двупирамиднаго типа порядка $2m_{1}$, составленныя изъ основныхъ подстановокъ.

$S^{l},\ S^{k}{\mathfrak {T}},$

(25)

‎гдѣ $l$ есть дѣлитель числа $m$, число $m_{1}$ есть дѣлитель ему дополнительный:

$lm_{1}=m,$

‎а $k$ какое-либо цѣлое число.

Другихъ подгруппъ двупирамидная группа порядка $2m$ въ себѣ не содержитъ.

Первая и вторая изъ перечисленныхъ подгруппъ входятъ въ третью.

Такъ какъ мы въ правѣ ограничиться разсмотрѣніемъ наиболѣе широкихъ подгруппъ, то мы будемъ строить только резольвенту порядка:

$l={\frac {2m}{2m_{1}}},$

‎соотвѣтствующую третьей изъ перечисленныхъ подгруппъ двупирамидной группы. При этомъ мы примемъ число $m_{1}$ равнымъ наибольшему изъ дѣлителей числа $m$, отличному отъ самого числа $m$.

(Если число $m$—простое, то наибольшій его дѣлитель, отличный отъ $m$, есть 1, число $l$ равно $m$, подстановка $S^{l}$ равна 1. Въ этомъ случаѣ подгруппа двупирамиднаго типа порядка $2m$, замѣняется циклической порядка 2).

II. Группа тетраэдрическая.

Въ тетраэдрическую группу входятъ подстановки, соотвѣтствующія поворотамъ двоякаго рода:

1) Поворотамъ на углы, кратные ${\frac {2\pi }{3}}$, около осей, соединяющихъ вершины тетраэдра съ центрами противоположныхъ граней. Одна изъ этихъ подстановокъ есть основная подстановка $S$ тетраэдрической группы.

2) Поворотамъ на углы, кратные $\pi$ около осей, соединяющихъ средины противоположныхъ реберъ тетраэдра. Одна изъ этихъ подстановокъ ${\mathfrak {T}}$ есть вторая основная подстановка тетраэдрической группы.

Ясно, что группы: октаэдрическая и икосаэдрическая не могутъ входить въ тетраэдрическую. Изъ группъ двупирамиднаго типа можетъ быть вопросъ только о двупирамидныхъ группахъ 4-го и 6-го порядковъ.

Группа 4-го порядка, т. е. четверичная дѣйствительно, какъ мы знаемъ, входитъ въ тетраэдрическую. Группа 6-го порядка въ тетраэдрическую не входитъ, потому что повороты на уголъ $\pi$ около осей, лежащихъ въ плоскости основания двупирамиды, приводятъ тетраэдръ въ положеніе, соотвѣтствующее тетраэдру, ему дополнительному.

Итакъ, мы въ правѣ сказать, что въ тетраэдрическую группу входятъ только слѣдующія подгруппы:

1) Подгруппа циклическаго типа порядка 3:

$S^{0}=1,\ S,\ S^{2}.$

(26)

‎2) Подгруппа циклическая порядка 2:

${\mathfrak {T}}^{0}=1,\ {\mathfrak {T}}.$

(27)

‎3) Подгруппа четверичная.

Послѣдняя изъ перечисленныхъ подгруппъ есть особая часть тетраэдрической группы. Она приводитъ къ рѣшенію тетраэдрическаго уравненія въ радикалахъ, которое было уже разсмотрѣно въ главѣ VII.

Подгруппа 2-го порядка входитъ въ четверичную. Слѣдовательно мы можемъ ограничиться разсмотрѣніемъ резольвенты порядка:

$l={\frac {12}{3}}=4,$

соотвѣтствующей подгруппѣ 3-го порядка.

III. Группа октаэдрическая.

Подстановки октаэдрической группы соотвѣтствуютъ поворотамъ троякаго рода:

1) Поворотамъ на углы кратные ${\frac {\pi }{2}}$ около осей, соединяющихъ противоположныя вершины октаэдра. Одна изъ этихъ подстановокъ $S$, соотвѣтствующая повороту на уголъ ${\frac {\pi }{2}}$, есть основная подстановка группы.

2) Поворотамъ на углы, кратные ${\frac {2\pi }{3}}$, около осей, соединяющихъ центры противоположныхъ граней октаэдра. Одна изъ этихъ подстановокъ $S\,'$, соотвѣтствующая повороту на ${\frac {2\pi }{3}}$, можетъ быть принята за вторую основную подстановку группы.

3) Поворотамъ на углы, кратные $\pi$ около осей, соединяющихъ средины противоположныхъ реберъ октаэдра. Одна изъ этихъ подстановокъ ${\mathfrak {T}}$ можетъ быть принята за вторую основную подстановку группы вмѣсто указанной выше подстановки $S\,'$.

Ясно, что икосаэдрическая группа въ октаэдрическую войти не можетъ.

Группы всѣхъ остальныхъ типовъ входятъ въ октаэдрическую.

Итакъ, въ октаэдрическую группу входятъ слѣдующія подгруппы:

1) Подгруппы циклическаго типа порядка 4:

$S^{0}=1,\ S,\ S^{2},\ S^{3}.$

(28)

‎2) Подгруппы циклическаго типа порядка 3:

$S\,'^{0}=1,\ S\,',\ S\,'^{2}.$

(29)

‎3) Подгруппы циклическаго типа порядка 2:

${\mathfrak {T}}^{0}=1,\ {\mathfrak {T}}.$

(30)

‎4) Подгруппы двупирамиднаго типа порядка 8 составленныя изъ основныхъ подстановокъ $S$ и $U$, гдѣ $U$ есть подстановка 2-го порядка, выбранная такъ, чтобы повороты, соотвѣтствующіе подстановкамъ $S$ и $U$, а также $S\,'$ и $U$ совершались около взаимно перпендикулярныхъ осей.

5) Подгруппа двупирамиднаго типа порядка 6, составленная изъ основныхъ подстановокъ $S\,'$ и $U$.

6) Подгруппа двупирамиднаго типа порядка 4, т. е. четверичная, составленная изъ основныхъ подстановокъ $S^{2}$ и $U$.

7) Подгруппа тетраэдрическаго типа.

Кромѣ того входятъ подгруппы, входящія въ подгруппы перечисленныхъ типовъ.

Для насъ представляютъ интересъ резольвенты, соотвѣтствующія лишь нѣкоторымъ изъ подгруппъ октаэдрической группы. Разсмотримъ, какія именно.

Подгруппа тетраэдрическаго типа есть особая часть октаэдрической группы. Она ведетъ къ разрѣшенію октаэдрическаго уравненія въ радикалахъ, о чемъ мы говорили уже въ главѣ VII.

Четверичная подгруппа входитъ въ тетраэдрическую.

Подгруппы циклическаго типа порядковъ 4, 3, 2 тоже входятъ въ другія подгруппы октаэдрической группы. Резольвенты, соотвѣтствующія этимъ подгруппамъ интереса не представляютъ.

Остаются подгруппы двухъ типовъ:

1) Подгруппы двупирамиднаго типа порядка 8.

2) Подгруппы двупирамиднаго типа порядка 6.

Этимъ двумъ подгруппамъ соотвѣтствуютъ резольвенты степеней:

$l_{1}={\frac {24}{8}}=3$ и $l_{2}={\frac {24}{6}}=4.$

‎Только объ этихъ двухъ резольвентахъ мы и будемъ говорить.

IV. Группа икосаэдрическая.

Подстановки икосаэдрической группы соотвѣтствуютъ поворотамъ троякаго рода:

1) Поворотамъ на углы, кратные ${\frac {2\pi }{5}}$ около осей, соединяющихъ противоположныя вершины икосаэдра. Одна изъ этихъ подстановокъ $S$, соотвѣтствующая повороту на уголъ ${\frac {2\pi }{5}}$, можетъ быть принята за основную подстановку группы.

2) Поворотамъ на углы кратные ${\frac {2\pi }{3}}$ около осей, соединяющихъ центры противоположныхъ граней икосаэдра. Одна изъ этихъ подстановокъ $S\,'$, соотвѣтствующая повороту на уголъ ${\frac {2\pi }{3}}$, можетъ быть принята за основную подстановку икосаэдрической группы вмѣсто подстановки $S$, указанной выше.

3) Поворотамъ на углы, кратные $\pi$, около осей, соединяющихъ средины противоположныхъ реберъ икосаэдра. Одна изъ этихъ подстановокъ ${\mathfrak {T}}$ можетъ быть принята за вторую основную подстановку икосаэдрической группы.

Мы знаемъ, что октаэдрическая группа въ икосаэдрическую не входитъ.

Группы всѣхъ остальныхъ типовъ въ нее входить могутъ.

Итакъ, въ икосаэдрическую группу входятъ слѣдующія подгруппы:

1) Подгруппы циклическаго типа порядка 5:

$S^{0}=1,\ S,\ S^{2},\ S^{3},\ S^{4}.$

(31)

‎2) Подгруппы циклическаго типа порядка 3:

$S\,'^{0}=1,\ S\,',\ S\,'^{2}.$

(32)

‎3) Подгруппы циклическаго типа порядка 2:

${\mathfrak {T}}^{0}=1,\ {\mathfrak {T}}.$

(33)

‎4) Подгруппы двупирамиднаго типа порядка 10, составленныя изъ основныхъ подстановокъ $S$ и $U$, гдѣ $U$ есть подстановка 2-го порядка, выбранная такъ, чтобы повороты, соотвѣтствующіе подстановкамъ $S$ и $U$, а также $S\,'$ и $U$ совершались около двухъ взаимно перпендикулярныхъ осей.

5) Подгруппы двупирамиднаго типа порядка 6, составленныя изъ основныхъ подстановокъ $S\,'$ и $U$.

6) Подгруппы двупирамиднаго типа порядка 4, т. е. четверичныя.

7) Подгруппы тетраэдрическаго типа.

Для насъ представляютъ интересъ резольвенты, соотвѣтствующія только нѣкоторымъ изъ этихъ подгруппъ.

Разсмотримъ, какія это подгруппы.

Подгруппы: четверичныя и циклическія порядковъ 5, 3, 2 входятъ въ другія изъ числа перечисленныхъ подгруппъ и потому интереса не представляютъ.

Остаются подгруппы:

1) Двупирамиднаго типа порядка 10.

2) Двупирамиднаго типа порядка 6.

3) Тетраэдрическаго типа.

Резольвента, соотвѣтствующая второй изъ этихъ подгруппъ, какъ мы сейчасъ увидимъ, можетъ быть получена изъ резольвенты, соотвѣтствующей подгруппѣ тетраэдрическаго типа и поэтому самостоятельнаго интереса не представляетъ.

Въ самомъ дѣлѣ, пусть:

$H^{\lambda _{1}}(u):c'T^{\lambda _{2}}(u):cf^{\lambda }(u)=z:z-1:1.$

(3)

‎есть уравненіе икосаэдрическаго типа.

Обозначимъ собственно аутоморфныя функціи, соотвѣтствующія подгруппамъ: тетраэдрической, двупирамидной 6-го порядка и циклической 3-го порядка буквами:

$\zeta ,\ \zeta _{6},\ \zeta _{3}.$

‎Пусть резольвента уравненія (3), соотвѣтствующая тетраэдрической подгруппѣ, такова:

$F_{1}(\zeta ):F_{2}(\zeta ):F(\zeta )=z:z-1:1.$

(4)

‎Циклическая подгруппа 3-го порядка входитъ какъ въ тетраэдрическую подгруппу, такъ и въ двупирамидную подгруппу 6-го порядка. Слѣдовательно, обѣ функціи: $\zeta$ и $\zeta _{6}$ суть раціональныя функціи величины $\zeta _{3}$:

$\zeta =\psi _{4}(\zeta _{3}),$

(34)

$\zeta _{6}=\psi _{2}(\zeta _{3}),$

(35)

‎гдѣ $\psi _{4}$ и $\psi _{2}$ суть раціональныя функціи степеней соотвѣтственно равныхъ 4 и 2.

Обозначимъ функцію, обратную $\psi _{2}$ черезъ $\psi _{2}^{-1}$: это ирраціональная функція, содержащая въ себѣ одинъ квадратный радикалъ.

Изъ уравненія (35) имѣемъ:

$\zeta _{3}=\psi _{2}^{-1}(\zeta _{6}),$

(36)

‎а изъ уравненій (34) и (36):

$\zeta =\psi _{4}{\big [}\psi _{2}^{-1}(\zeta _{6}){\big ]},$

(37)

‎или:

$\zeta =\omega (\zeta _{6}),$

(38)

‎гдѣ $\omega$ есть ирраціональная функція, содержащая въ себѣ одинъ квадратный радикалъ.

Вставивъ выраженіе (38) въ уравненіе (4), находимъ:

$F_{1}[\omega (\zeta _{6})]:F_{2}[\omega (\zeta _{6})]:F[\omega (\zeta _{6})]=z:z-1:1.$

(39)

‎Такова резольвента степени:

${\frac {60}{6}}=10,$

‎соотвѣтствующая подгруппѣ двупирамиднаго типа 6-го порядка. Она получается изъ резольвенты (4) подстановкою вмѣсто $\zeta$ ирраціональнаго выраженія (38), содержащаго въ себѣ одинъ квадратный радикалъ.

Итакъ, изучая резольвенты икосаэдрическаго уравненія, мы въ правѣ ограничиться разсмотрѣніемъ тѣхъ изъ нихъ, которыя соотвѣтствуютъ:

1) подгруппѣ тетраэдрическаго типа,

2) подгруппѣ двупирамиднаго типа 10-го порядка.

Этимъ подгруппамъ соотвѣтствуютъ резольвенты степеней:

$l_{1}={\frac {60}{12}}=5,\ l_{2}={\frac {60}{10}}=6.$

‎§ 43. Резольвенты уравненія двупирамиднаго типа.

Возьмемъ нормальное уравненіе двупирамиднаго типа:

$\left({\dfrac {u^{m}+1}{2}}\right)^{2}:\left({\dfrac {u^{m}-1}{2}}\right)^{2}:u^{m}=z:z-1:1.$

(40)

‎Группа $G$ этого уравненія состоитъ изъ двухъ основныхъ подстановокъ:

$S(u)=e^{\frac {2\pi i}{m}}u,\ {\mathfrak {T}}(u)={\frac {1}{u}}.$

(41)

‎Мы видѣли, что интересъ представляетъ только одна резольвента этого уравненія: резольвента, соотвѣтствующая подгруппѣ $g$ двупирамиднаго типа порядка $2m_{1}$, гдѣ $m_{1}$ есть наибольшій изъ дѣлителей числа $m$, отличныхъ отъ самого числа $m$. Положивъ:

${\frac {m}{m_{1}}}=l,$

‎мы представимъ основныя подстановки подгруппы $g$ въ такомъ видѣ:

$S^{l}(u)=e^{\frac {2\pi i}{m_{1}}}u,\ {\mathfrak {T}}(u)={\frac {1}{u}}.$

(42)

‎Функція собственно аутоморфная относительно подстановокъ подгруппы $g$ такова:

$\zeta =u^{m_{1}}+{\frac {1}{u^{m_{1}}}}.$

(43)

‎Для составленія резольвенты, которой удовлетворяетъ функція $\zeta$, мы представимъ уравненіе (40) въ такомъ видѣ:

$\{(u^{m_{1}})^{l}+(u^{-m_{1}})^{l}+2\}:\{(u^{m_{1}})^{l}+(u^{-m_{1}})^{l}-2\}:4=z:z-1:1.$

(44)

‎Изъ уравненія (43) находимъ:

$\left.{\begin{array}{l}u^{m_{1}}+u^{-m_{1}}=\zeta ,\\(u^{m_{1}})^{2}+(u^{-m_{1}})^{2}=\zeta ^{2}-2,\\(u^{m_{1}})^{3}+(u^{-m_{1}})^{3}=\zeta ^{3}-3\zeta ,\\(u^{m_{1}})^{4}+(u^{-m_{1}})^{4}=\zeta ^{4}-4\zeta ^{2}+2.\\\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \end{array}}\right\}$

(45)

‎Каково бы ни было число $l$, продолжая составленіе формулъ (45), мы найдемъ выраженіе функціи:

$(u^{m_{1}})^{l}+(u^{-m_{1}})^{l}$

‎черезъ величину $\zeta$. Это будетъ цѣлый многочленъ степени $l$ относительно $\zeta$. Вставивъ полученное выраженіе функціи $(u^{m_{1}})^{l}+(u^{-m_{1}})^{l}$ въ уравненіе (44), мы найдемъ искомую резольвенту, корнемъ которой служитъ величина $\zeta$.

Разсмотримъ подробно случай, когда $m=3$. Наибольшій дѣлитель числа 3, отличный отъ самого числа 3, есть 1. Преобразуемъ уравненіе:

$\left({\dfrac {u^{3}+1}{2}}\right)^{2}:\left({\dfrac {u^{3}-1}{2}}\right)^{2}:u^{3}=z:z-1:1$

(46)

‎подстановкою:

$\zeta =u+{\frac {1}{u}}.$

(47)

‎Въ результатѣ находимъ кубичное уравненіе:

$(\zeta ^{3}-3\zeta +2):(\zeta ^{3}-3\zeta +2):4=z:z-1:1.$

(48)

‎Положивъ:

$\zeta =hY,$

(49)

‎гдѣ $h$—произвольное постоянное число, находимъ:

$(h^{3}Y^{3}-3hY+2):(h^{3}Y^{3}-3hY+2):4=z:z-1:1.$

(50)

‎Посмотримъ, какова группа уравненія (48).

Функція:

$\zeta =u+{\frac {1}{u}}$

(47)

‎подъ вліяніемъ подстановокъ группы уравненія (46) должна пріобрѣтать всего три значенія.

Основныя подстановки $S$ и ${\mathfrak {T}}$ группы уравненія (46) таковы:

$S(u)=\varepsilon u,\ {\text{гдѣ }}\varepsilon =e^{\frac {2\pi i}{3}},\ {\mathfrak {T}}(u)={\frac {1}{u}}.$

(51)

‎Совершивъ надъ функціей (47) подстановки:

$S^{0}=1,\ S,\ S^{2},$

‎находимъ:

$\zeta _{0}=u+{\frac {1}{u}},\ \zeta _{1}=\varepsilon u+{\frac {\varepsilon ^{2}}{u}},\ \zeta _{2}=\varepsilon ^{2}u+{\frac {\varepsilon }{u}}.$

(52)

‎Эти три значенія различны между собою и исчерпываютъ всѣ корни уравненія (48).

Подстановки, которыя мы обозначали буквами:

$\sigma _{1},\ \sigma _{2},\ldots \ \sigma _{l-1}$

‎въ данномъ случаѣ суть:

$S,\ S^{2}.$

‎Подстановка $S$ преобразуетъ величины $\zeta _{0},\ \zeta _{1},\ \zeta _{2}$ въ ${\bar {\zeta }}_{0},\ {\bar {\zeta }}_{1},\ {\bar {\zeta }}_{2}$, при чемъ:

${\bar {\zeta }}_{0}=\zeta _{1},\ {\bar {\zeta }}_{1}=\zeta _{2},\ {\bar {\zeta }}_{1}=\zeta _{0}.$

(53)

‎Слѣдовательно основная субституція $\sigma$ группы $\Gamma$ уравненія (48) такова:

$\sigma =(\zeta _{0},\;\zeta _{1},\;\zeta _{2}).$

(54)

‎Подстановка ${\mathfrak {T}}$ преобразуетъ величины $\zeta _{0},\ \zeta _{1},\ \zeta _{2}$ въ ${\bar {\bar {\zeta }}}_{0},\ {\bar {\bar {\zeta }}}_{1},\ {\bar {\bar {\zeta }}}_{2}$, при чемъ:

${\bar {\bar {\zeta }}}_{0}=\zeta _{0},\ {\bar {\bar {\zeta }}}_{1}=\zeta _{2},\ {\bar {\bar {\zeta }}}_{2}=\zeta _{1}.$

(55)

‎Слѣдовательно основная субституція $\tau$ группы $\Gamma$ уравненія (48) такова:

$\tau =(\zeta _{0})(\zeta _{1},\;\zeta _{2}).$

(56)

‎Корни уравненія (50) разнятся отъ корней уравненія (48) только постояннымъ множителемъ $h$. Группы этихъ уравненій одинаковы.

Основныя субституціи группы уравненія (50) таковы:

$\left.{\begin{array}{l}\Sigma =(Y_{0},\;Y_{1},\;Y_{2}),\\T=(Y_{0})(Y_{1},\;Y_{2}).\end{array}}\right\}$

(57)

§ 44. Резольвента уравненія тетраэдрическаго типа.

Мы видѣли въ § 42, что изъ числа резольвентъ тетраэдрическаго уравненія представляетъ интересъ только та резольвента, которая соотвѣтствуетъ циклической подгруппѣ 3-го порядка.

Возьмемъ тетраэдрическое уравненіе во второй нормальной формѣ:

${\begin{matrix}(2{\sqrt {2}}u^{3}+1)^{3}:(u^{6}+5{\sqrt {2}}u^{3}-1)^{2}:-(u^{3}-{\sqrt {2}})^{3}u^{3}=\\=z:z-1:1.\end{matrix}}$

(58)

‎Основныя подстановки группы этого уравненія таковы:

$\left.{\begin{array}{l}S(u)=\varepsilon u,\ {\mathfrak {T}}(u)={\dfrac {{\sqrt {2}}-u}{{\sqrt {2}}u+1}},\\{\text{гдѣ }}\varepsilon =e^{\frac {2\pi i}{3}}.\end{array}}\right\}$

(59)

‎Основная подстановка циклической подгруппы 3-го порядка есть $S$.

Функція аутоморфная относительно подстановокъ этой группы есть:

$\zeta =u^{3}.$

(60)

‎Преобразуя уравненіе (58) подстановкою (60), находимъ:

$(2{\sqrt {2}}\zeta +1)^{3}:(\zeta ^{2}+5{\sqrt {2}}\zeta -1)^{2}:-(\zeta -{\sqrt {2}})^{3}\zeta =z:z-1:1.$

(61)

‎Такова резольвента 4-ой степени тетраэдрическаго уравненія.

Посмотримъ, какова группа $\Gamma$ этого уравненія.

Совершивъ надъ функціей (60) подстановки:

$1,\ {\mathfrak {T}},\ {\mathfrak {T}}S,\ {\mathfrak {T}}S^{2},$

(62)

‎находимъ:

${\begin{matrix}\zeta _{0}=u^{3},\ \zeta _{1}=\left({\dfrac {{\sqrt {2}}-u}{{\sqrt {2}}u+1}}\right)^{3},\ \zeta _{2}=\left({\dfrac {{\sqrt {2}}-\varepsilon u}{{\sqrt {2}}\varepsilon u+1}}\right)^{3},\\\zeta _{3}=\left({\dfrac {{\sqrt {2}}-\varepsilon ^{2}u}{{\sqrt {2}}\varepsilon ^{2}u+1}}\right)^{3}.\end{matrix}}$

(63)

‎Подстановка $S$ преобразуетъ функціи $\zeta _{0},\ \zeta _{1},\ \zeta _{2},\ \zeta _{3}$ въ ${\bar {\zeta }}_{0},\ {\bar {\zeta }}_{1},\ {\bar {\zeta }}_{2},\ {\bar {\zeta }}_{3}$, при чемъ:

${\bar {\zeta }}_{0}=\zeta _{0},\ {\bar {\zeta }}_{1}=\zeta _{2},\ {\bar {\zeta }}_{2}=\zeta _{3},\ {\bar {\zeta }}_{3}=\zeta _{1}.$

(64)

‎Слѣдовательно, основная субституція $\sigma$ группы $\Gamma$ уравненія (61) такова:

$\sigma =(\zeta _{0})(\zeta _{1},\;\zeta _{2},\;\zeta _{3}).$

(65)

‎Подстановка ${\mathfrak {T}}$ преобразуетъ функціи $\zeta _{0},\ \zeta _{1},\ \zeta _{2},\ \zeta _{3}$ въ ${\bar {\bar {\zeta }}}_{0},\ {\bar {\bar {\zeta }}}_{1},\ {\bar {\bar {\zeta }}}_{2},\ {\bar {\bar {\zeta }}}_{3}$, при чемъ:

${\bar {\bar {\zeta }}}_{0}=[{\mathfrak {T}}(u)]^{3},\ {\bar {\bar {\zeta }}}_{1}=u^{3},\ {\bar {\bar {\zeta }}}_{2}=[{\mathfrak {T}}S{\mathfrak {T}}(u)]^{3},\ {\bar {\bar {\zeta }}}_{3}=[{\mathfrak {T}}S^{2}{\mathfrak {T}}(u)]^{3}.$

(66)

‎Изъ чертежа 28 видно, что подстановка $S{\mathfrak {T}}$ соотвѣтствуетъ повороту сферы на уголъ ${\frac {2\pi }{3}}$ около оси, одинъ изъ полюсовъ которой проектируется въ точку $c$. Слѣдовательно подстановка $S{\mathfrak {T}}$—третьяго порядка:

$S{\mathfrak {T}}S{\mathfrak {T}}S{\mathfrak {T}}=1.$

(67)

‎Отсюда слѣдуетъ:

$\left.{\begin{array}{l}{\mathfrak {T}}S{\mathfrak {T}}=S^{2}{\mathfrak {T}}S^{2},\\{\mathfrak {T}}S^{2}{\mathfrak {T}}=S{\mathfrak {T}}S.\end{array}}\right\}$

(68)

‎Изъ формулъ (66) и (68) слѣдуетъ, что:

$\left.{\begin{array}{l}{\bar {\bar {\zeta }}}_{0}=\zeta _{1},\ {\bar {\bar {\zeta }}}_{1}=\zeta _{0},\ {\bar {\bar {\zeta }}}_{2}=[S^{2}{\mathfrak {T}}S^{2}(u)]^{3}=[{\mathfrak {T}}S^{2}(u)]^{3}=\zeta _{3},\\{\bar {\bar {\zeta }}}_{3}=[S{\mathfrak {T}}S(u)]^{3}=[{\mathfrak {T}}S(u)]^{3}=\zeta _{2}.\end{array}}\right\}$

(69)

Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/325 Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/326 Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/327 Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/328 Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/329 Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/330 Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/331 Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/332 Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/333 Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/334 Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/335 Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/336 Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/337 Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/338 Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/339 Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/340 Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/341 Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/342 Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/343 Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/344 Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/345 Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/346 Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/347 Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/348 Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/349 Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/350 Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/351 Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/352 Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/353 Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/354 Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/355 Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/356 Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/357 Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/358 Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/359 Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/360

Сноски

1. Весьма интересно то обстоятельство, что одну и ту же алгебраическую функцію $\zeta$ можно выражать различно, комбинируя различныя пары функцій, обладающихъ сказанными свойствами. Въ формулѣ (21) обѣ функціи суть алгебраическія по самому условію рѣшаемой нами задачи, но можно подобрать пару трансцендентныхъ функцій, комбинація которыхъ выражаетъ ту же самую алгебраическую функцію. Таково рѣшеніе уравненія 5-ой степени, предложенное Эрмитомъ.
   ‎Я не касаюсь этого интереснаго вопроса, чтобы не выдти за предѣлы, указываемыя заглавіемъ моей работы. Объ этой задачѣ о трансцендентномъ рѣшеніи уравненій я упоминалъ уже во введеніи и въ главѣ IX.
2. Подстановка $S^{k}{\mathfrak {T}}$—втораго порядка. Она соотвѣтствуетъ повороту сферы на уголъ $\pi$ около одной изъ осей, лежащихъ въ плоскости основанія двупирамиды.