Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/320

$S(u)=e^{\frac {2\pi i}{m}}u,\ {\mathfrak {T}}(u)={\frac {1}{u}}.$

(41)

‎Мы видѣли, что интересъ представляетъ только одна резольвента этого уравненія: резольвента, соотвѣтствующая подгруппѣ $g$ двупирамиднаго типа порядка $2m_{1}$, гдѣ $m_{1}$ есть наибольшій изъ дѣлителей числа $m$, отличныхъ отъ самого числа $m$. Положивъ:

${\frac {m}{m_{1}}}=l,$

‎мы представимъ основныя подстановки подгруппы $g$ въ такомъ видѣ:

$S^{l}(u)=e^{\frac {2\pi i}{m_{1}}}u,\ {\mathfrak {T}}(u)={\frac {1}{u}}.$

(42)

‎Функція собственно аутоморфная относительно подстановокъ подгруппы $g$ такова:

$\zeta =u^{m_{1}}+{\frac {1}{u^{m_{1}}}}.$

(43)

‎Для составленія резольвенты, которой удовлетворяетъ функція $\zeta$, мы представимъ уравненіе (40) въ такомъ видѣ:

$\{(u^{m_{1}})^{l}+(u^{-m_{1}})^{l}+2\}:\{(u^{m_{1}})^{l}+(u^{-m_{1}})^{l}-2\}:4=z:z-1:1.$

(44)

‎Изъ уравненія (43) находимъ:

$\left.{\begin{array}{l}u^{m_{1}}+u^{-m_{1}}=\zeta ,\\(u^{m_{1}})^{2}+(u^{-m_{1}})^{2}=\zeta ^{2}-2,\\(u^{m_{1}})^{3}+(u^{-m_{1}})^{3}=\zeta ^{3}-3\zeta ,\\(u^{m_{1}})^{4}+(u^{-m_{1}})^{4}=\zeta ^{4}-4\zeta ^{2}+2.\\\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \end{array}}\right\}$

(45)

‎Каково бы ни было число $l$, продолжая составленіе формулъ (45), мы найдемъ выраженіе функціи:

Тот же текст в современной орфографии

$S(u)=e^{\frac {2\pi i}{m}}u,\ {\mathfrak {T}}(u)={\frac {1}{u}}.$

(41)

‎Мы видели, что интерес представляет только одна резольвента этого уравнения: резольвента, соответствующая подгруппе $g$ двупирамидного типа порядка $2m_{1}$, где $m_{1}$ есть наибольший из делителей числа $m$, отличных от самого числа $m$. Положив:

${\frac {m}{m_{1}}}=l,$

‎мы представим основные подстановки подгруппы $g$ в таком виде:

$S^{l}(u)=e^{\frac {2\pi i}{m_{1}}}u,\ {\mathfrak {T}}(u)={\frac {1}{u}}.$

(42)

‎Функция собственно автоморфная относительно подстановок подгруппы $g$ такова:

$\zeta =u^{m_{1}}+{\frac {1}{u^{m_{1}}}}.$

(43)

‎Для составления резольвенты, которой удовлетворяет функция $\zeta$, мы представим уравнение (40) в таком виде:

$\{(u^{m_{1}})^{l}+(u^{-m_{1}})^{l}+2\}:\{(u^{m_{1}})^{l}+(u^{-m_{1}})^{l}-2\}:4=z:z-1:1.$

(44)

‎Из уравнения (43) находим:

$\left.{\begin{array}{l}u^{m_{1}}+u^{-m_{1}}=\zeta ,\\(u^{m_{1}})^{2}+(u^{-m_{1}})^{2}=\zeta ^{2}-2,\\(u^{m_{1}})^{3}+(u^{-m_{1}})^{3}=\zeta ^{3}-3\zeta ,\\(u^{m_{1}})^{4}+(u^{-m_{1}})^{4}=\zeta ^{4}-4\zeta ^{2}+2.\\\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \end{array}}\right\}$

(45)

‎Каково бы ни было число $l$, продолжая составление формул (45), мы найдем выражение функции: