Эта теорема есть слѣдствіе предшествующихъ: если группа изоморфна группѣ , то основныя субституціи группы должны соотвѣтствовать основнымъ подстановкамъ и группы .
Теорема 5. Если порядки группъ и одинаковы, то подгруппа есть неособая часть группы .
Эта теорема есть слѣдствіе, вытекающее изъ тѣхъ разсужденій, которыя мы приводили при доказательствѣ теоремы 2: если бы подгруппа была особою или полуособою частью группы , то нашлись бы такія различныя подстановки группы , которымъ соотвѣтствуетъ одна и та же субституція группы . Порядокъ группы былъ бы ниже порядка группы .
Въ нашихъ дальнѣйшихъ изслѣдованіяхъ наибольшій интересъ будутъ представлять неособыя части группъ. Особыя части группъ: тетраэдрической и октаэдрической приводятъ къ рѣшенію уравненій: тетраэдрическаго и октаэдрическаго въ радикалахъ.
Эти рѣшенія были нами уже разсмотрѣны въ главѣ VII и больше о нихъ говорить мы не будемъ.
§ 42. Подгруппы конечныхъ порядковъ.
Разсмотримъ другъ за другомъ всѣ конечныя группы линейныхъ подстановокъ и найдемъ, каковы входящія въ нихъ подгруппы.
Подстановки двупирамидной группы соотвѣтствуютъ поворотамъ сферы двоякаго рода:
1) Поворотамъ на углы, кратные около оси, соединяющей двѣ противоположныя вершины двупирамиды. Подстановка , соотвѣтствующая повороту на уголъ , есть одна изъ двухъ основныхъ подстановокъ группы.
2) Поворотамъ на углы, кратные около осей, лежащихъ въ плоскости основанія обѣихъ пирамидъ, составляющихъ
Эта теорема есть следствие предшествующих: если группа изоморфна группе , то основные субституции группы должны соответствовать основным подстановкам и группы .
Теорема 5. Если порядки групп и одинаковы, то подгруппа есть неособая часть группы .
Эта теорема есть следствие, вытекающее из тех рассуждений, которые мы приводили при доказательстве теоремы 2: если бы подгруппа была особой или полуособой частью группы , то нашлись бы такие различные подстановки группы , которым соответствует одна и та же субституция группы . Порядок группы был бы ниже порядка группы .
В наших дальнейших исследованиях наибольший интерес будут представлять неособые части групп. Особые части групп: тетраэдрической и октаэдрической приводят к решению уравнений: тетраэдрического и октаэдрического в радикалах.
Эти решения были нами уже рассмотрены в главе VII и больше о них говорить мы не будем.
§ 42. Подгруппы конечных порядков.
Рассмотрим друг за другом все конечные группы линейных подстановок и найдем, каковы входящие в них подгруппы.
Подстановки двупирамидной группы соответствуют поворотам сферы двоякого рода:
1) Поворотам на углы, кратные , около оси, соединяющей две противоположные вершины двупирамиды. Подстановка , соответствующая повороту на угол , есть одна из двух основных подстановок группы.
2) Поворотам на углы, кратные , около осей, лежащих в плоскости основания обеих пирамид, составляющих