Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/309

$\sigma _{k}s_{i}\sigma _{k}^{-1}=s_{h},$

(19)

‎гдѣ $h$ имѣетъ одно изъ значеній: $0,\ 1,\ 2,\ldots \ n-1$.

Если субституція, соотвѣтствующая подстановкѣ

$S^{-1}S'=s_{i},$

‎есть 1, то она не мѣняетъ ни одного изъ корней (14) уравненія (4).

Въ такомъ случаѣ символическое равенство (19) справедливо при всѣхъ значеніяхъ $k$ отъ $k=0$ до $k=n-1$. Если такъ, то подстановка $s_{i}$ группы $g$, будучи преобразована всѣми подстановками группы $G$, даетъ въ результатѣ подстановки той же группы $g$. Группа $g$ есть особая или полуособая часть группы $G$.

Это заключеніе противорѣчитъ условію теоремы.

Итакъ, дѣйствительно, каждой подстановкѣ группы $G$ соотвѣтствуетъ и при томъ единственная субституція группы $\Gamma$. Порядки обѣихъ группъ одинаковы.

Теорема 3. Если группа $g$ неособая часть группы $G$, то группы $G$ и $\Gamma$ изоморфны между собою.

Это—ближайшее слѣдствіе изъ предшествующей теоремы: если двѣ группы $G$ и $\Gamma$ одинаковаго порядка и каждой подстановкѣ группы $G$ соотвѣтствуетъ единственная субституція группы $\Gamma$, то онѣ не могутъ не быть изоморфны между собою.

Если измѣрять сложность уравненія порядкомъ его группы, то мы можемъ сказать, что всѣ резольвенты (4) уравненія (3), соотвѣтствующія неособой части группы $G$, такъ же сложны, какъ и уравненіе (3). Онѣ проще только по виду: степень ихъ ниже степени $N$ уравненія (3).

Уравненіе (3) есть резольвента Галуа какъ для самого себя, такъ и для всѣхъ уравненій вида (4).

Значеніе уравненій (4) для алгебры заключается въ томъ, что мы можемъ данное намъ уравненіе, удовлетворяющее извѣстнымъ условіямъ (напр. всякое уравненіе 5-ой степени, какъ будетъ видно ниже), преобразовать въ одно изъ уравненій вида (4); а за тѣмъ рѣшить уравненіе (4), пользуясь

Тот же текст в современной орфографии

$\sigma _{k}s_{i}\sigma _{k}^{-1}=s_{h},$

(19)

‎где $h$ имеет одно из значений: $0,\ 1,\ 2,\ \ldots ,\ n-1$.

Если субституция, соответствующая подстановке

$S^{-1}S'=s_{i},$

‎есть 1, то она не меняет ни одного из корней (14) уравнения (4).

В таком случае символическое равенство (19) справедливо при всех значениях $k$ от $k=0$ до $k=n-1$. Если так, то подстановка $s_{i}$ группы $g$, будучи преобразована всеми подстановками группы $G$, дает в результате подстановки той же группы $g$. Группа $g$ есть особая или полуособая часть группы $G$.

Это заключение противоречит условию теоремы.

Итак, действительно, каждой подстановке группы $G$ соответствует и при том единственная субституция группы $\Gamma$. Порядки обеих групп одинаковы.

Теорема 3. Если группа $g$ неособая часть группы $G$, то группы $G$ и $\Gamma$ изоморфны между собой.

Это — ближайшее следствие из предшествующей теоремы: если две группы $G$ и $\Gamma$ одинакового порядка и каждой подстановке группы $G$ соответствует единственная субституция группы $\Gamma$, то они не могут не быть изоморфны между собой.

Если измерять сложность уравнения порядком его группы, то мы можем сказать, что все резольвенты (4) уравнения (3), соответствующие неособой части группы $G$, так же сложны, как и уравнение (3). Они проще только по виду: степень их ниже степени $N$ уравнения (3).

Уравнение (3) есть резольвента Галуа как для самого себя, так и для всех уравнений вида (4).

Значение уравнений (4) для алгебры заключается в том, что мы можем данное нам уравнение, удовлетворяющее известным условиям (напр. всякое уравнение 5-ой степени, как будет видно ниже), преобразовать в одно из уравнений вида (4); а за тем решить уравнение (4), пользуясь